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1、2.1 数列极限第二章第二章 极限与连续极限与连续 本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限与函数的连续性。与函数的连续性。2021/3/10称为称为数列数列， 记为记为其中其中 称为数列的称为数列的通项通项或或一般项一般项；正整数正整数n称为称为 的的下标下标。例如：例如：Def:无穷多个按自然数编号无穷多个按自然数编号1,2, 排列的一列数：排列的一列数：数列是自变量取正整数数列是自变量取正整数n的函数的函数(下标函下标函数数)2021/3/10（圆的面积）（圆的面积）正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积
2、. . .当当 n 无限增大时无限增大时, 无限逼近无限逼近 S.(1)(1)、割圆术：、割圆术： （刘徽割圆术）（刘徽割圆术） 数列极限概念的引入数列极限概念的引入2021/3/10(2)(2)、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”. .这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。法为微积分学中的一种基本方法。. .2021/3/10例例数列极限的定义：数列极限的定义：2021/3/10解解一个记号，不可称极限存在一个记号，不可称极限存在2021/3/102021/3/10数列
3、极限四则运算法则数列极限四则运算法则: (: (可推广到有限个情形可推广到有限个情形) )注意极限运算的条件，若不满足则将数列变形。注意极限运算的条件，若不满足则将数列变形。2021/3/10例例求下列数列极限：求下列数列极限：解解2021/3/10(3) 由于由于因为因为根式有理化根式有理化2021/3/10(4) 由于由于因此因此(5) 由于由于因此因此2021/3/10例例.求极限求极限( (数列求和法数列求和法) )分析：由于项数随分析：由于项数随n的增大而不断增加，故不是有限项，的增大而不断增加，故不是有限项，不能直接应用四则运算法则。不能直接应用四则运算法则。解解2021/3/10
4、性质性质2.1举例举例2021/3/10定理定理2.1（夹逼定理）（夹逼定理） 性质性质2.2性质性质2.3数列极限存在定理：数列极限存在定理：2021/3/10例例求下列数列的极限：求下列数列的极限：解解 (1) 由于由于因此因此2021/3/10注意到注意到由夹逼定理可得由夹逼定理可得(2) 注意到注意到2021/3/10定义定义2.1定义定义2.2举例举例举例举例2021/3/10从数轴上直观看：从数轴上直观看：定理定理2.2单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛. .2021/3/10例例证明证明其次我们来证明数列其次我们来证明数列是单调递增数列，是单调递增数列，2021/3/10数列数列是单调递减数列是单调递减数列. .事实上事实上2021/3/102021/3/10由定理由定理2.2 知道它们都收敛，且知道它们都收敛，且2021/3/102021/3/10
