高等数学课件：一元导数在经济分析中的应用

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1、高等数学在经济中的应用高等数学在经济中的应用应应用用数数学学系系 陈陈华华石石油油大大学学（华华东东）一、边际分析一、边际分析1 一元导数在经济分析中的应用一元导数在经济分析中的应用2石油大学（华东）应用数学系 陈华注：边际函数反映的是绝对变化率，因而，它所反映注：边际函数反映的是绝对变化率，因而，它所反映因变量因变量y关于自变量变动的敏感程度时离不开计量单关于自变量变动的敏感程度时离不开计量单位，这使得难以比较使用不同计量单位产品的变化情位，这使得难以比较使用不同计量单位产品的变化情况。况。例如：例如：3石油大学（华东）应用数学系 陈华在经济学中，弹性是指经济变量之间存在函数关系时，在经济学

2、中，弹性是指经济变量之间存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度，其大小可以用两个变因变量对自变量变动的反应程度，其大小可以用两个变量变动的百分比之比，即弹性数来表示。量变动的百分比之比，即弹性数来表示。设函数设函数Yf(X)可微，其中变量可微，其中变量 X 为自变量，为自变量，Y为因变量，为因变量，E =则则E称为称为函数函数f(X)从从X到到X+X两点间的弹性。两点间的弹性。称为称为f(x)在在x出的弹性。出的弹性。二、弹性分析二、弹性分析4石油大学（华东）应用数学系 陈华取定取定 则则其其经济意义：在经济意义：在 时，当时，当x产生产生1的改变时的改变时f(x)近似改变近似改变 注：

3、注： 两点间的弹性是有方向性的，因为两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性相对性”是对初是对初始值而言的。始值而言的。 另外其性质见课本，此略。另外其性质见课本，此略。5石油大学（华东）应用数学系 陈华1。基本概念。基本概念成本是指生产某产品时为消耗的生产要素（劳动力、设成本是指生产某产品时为消耗的生产要素（劳动力、设备、原料等）所支付的费用。备、原料等）所支付的费用。总成本是指生产一定数量的产品总成本是指生产一定数量的产品(Q)所需要的成本总额，所需要的成本总额，它有固定成本它有固定成本C1和可变成本和可变成本C2(Q)两部分组成。即两部分组成。即Q为产量为产量注：固定成本注：固定成本C1是

4、指一定限度内不随产量变动而变动的费是指一定限度内不随产量变动而变动的费用，入场费费用，机器设备折旧费，职工工资等。用，入场费费用，机器设备折旧费，职工工资等。可变成本可变成本C2使之随产量变动而变动的费用，如原材料，能使之随产量变动而变动的费用，如原材料，能源费用等。源费用等。三、成本三、成本6石油大学（华东）应用数学系 陈华平均成本：当生产一定量产品时，平均每单位产品的成本。平均成本：当生产一定量产品时，平均每单位产品的成本。平均成本函数平均成本函数边际成本（边际成本（MC)：总成本的变化率。总成本的变化率。边际成本函数边际成本函数2。常用成本函数模型。常用成本函数模型 在不同经济环境下，函

5、数形式也有所不同，函数中的在不同经济环境下，函数形式也有所不同，函数中的系数一般利用给定的统计数据进行拟合（最小二乘法），系数一般利用给定的统计数据进行拟合（最小二乘法），然后根据有关的经济理论来确定一个与所给数据近似程度然后根据有关的经济理论来确定一个与所给数据近似程度最好的函数关系。最好的函数关系。7石油大学（华东）应用数学系 陈华3。最低成本问题。最低成本问题 在既定的生产规模条件下，如何生产使平均成本最低？在既定的生产规模条件下，如何生产使平均成本最低？分析：分析：为使成本最小，应有为使成本最小，应有上式导出经济学中一个重要命题：使平均成本最小的生产上式导出经济学中一个重要命题：使平均

6、成本最小的生产水平，正是使边际成本等于平均成本的生产水平。水平，正是使边际成本等于平均成本的生产水平。8石油大学（华东）应用数学系 陈华例：已知某商品的成本函数为例：已知某商品的成本函数为 ，当产量，当产量Q为多少时，平均成本最小？为多少时，平均成本最小？解解I：解解I：解解II：即即9石油大学（华东）应用数学系 陈华四、需求四、需求 1。定义。定义 ：一种商品的：一种商品的需求需求是指消费者在一定时期内在各是指消费者在一定时期内在各种可能的价格水平下种可能的价格水平下愿意愿意而且而且能够（有支付能力）能够（有支付能力）购买的购买的该商品的数量。该商品的数量。影响需求的因素很多，主要有：影响需

7、求的因素很多，主要有：商品本身的价格、商品本身的价格、消费者消费者的偏好、消费者货币收入、相关商品的价格、人们对未来的偏好、消费者货币收入、相关商品的价格、人们对未来的预期等，如果把消费者的偏好、收入等因素在一段时间的预期等，如果把消费者的偏好、收入等因素在一段时间内看成不变的，商品的需求量内看成不变的，商品的需求量 Qd主要依赖于价格主要依赖于价格P，即即称为需求函数称为需求函数称为边际需求称为边际需求10石油大学（华东）应用数学系 陈华2。需求函数的性质。需求函数的性质一般来讲，一般来讲， 是单调减少函数（商品价格低，是单调减少函数（商品价格低，需求大，价格高，需求小）需求大，价格高，需求

8、小）, 还可写为还可写为原因原因1：收入效应（商品价格引起了消费者实际收入的：收入效应（商品价格引起了消费者实际收入的提高）提高）原因原因2：替代效应（用相近的商品替代，如高档衣服可：替代效应（用相近的商品替代，如高档衣服可用棉布衣或化纤衣服替代）用棉布衣或化纤衣服替代）3。常用的需求函数模型。常用的需求函数模型11石油大学（华东）应用数学系 陈华4。需求的价格弹性（需求弹性）。需求的价格弹性（需求弹性）由于由于 是单调减少函数是单调减少函数为负数为负数令令经济学中有如下解释：经济学中有如下解释：若若 1， 称该商品的需求量对价格富有弹性，即价格的变称该商品的需求量对价格富有弹性，即价格的变化

9、将引起需求量的较大变化（价格上涨化将引起需求量的较大变化（价格上涨1，需求减少，需求减少 ）若若 =1， 称该商品具有单位弹性，对价格的变化与需求量称该商品具有单位弹性，对价格的变化与需求量变化一样（价格上涨变化一样（价格上涨1，需求减少，需求减少 1 ）若若 1表示价格每提高表示价格每提高1，供给量增加，供给量增加Es%.18石油大学（华东）应用数学系 陈华六、均衡价格六、均衡价格均衡价格是指市场上需求量和供给量相等时的价格。均衡价格是指市场上需求量和供给量相等时的价格。1。静态均衡价格（需求量、供给量仅与价格有关）。静态均衡价格（需求量、供给量仅与价格有关）QPQdQsQ0P0Q0称为均衡

10、商品量称为均衡商品量P0称为均衡价格称为均衡价格当当PQs 供不应求，必然导致价格上涨，供不应求，必然导致价格上涨，最后又回到均衡状态。最后又回到均衡状态。当当PP0，这时这时QdQs 供过于求，必然导致价格下跌，供过于求，必然导致价格下跌，最后又回到均衡状态。最后又回到均衡状态。19石油大学（华东）应用数学系 陈华2。动态均衡价格（蛛网模型）。动态均衡价格（蛛网模型） 在市场条件下，商品的供给量依赖于前一时期的成交在市场条件下，商品的供给量依赖于前一时期的成交价格，而现在时期内成交价格又会影响下一时期的供给量，价格，而现在时期内成交价格又会影响下一时期的供给量，但该时期的成交价格决定该时期的

11、需求量，讨论这种经济但该时期的成交价格决定该时期的需求量，讨论这种经济模式下的动态均衡价格称为时间延迟的动态均衡价格。模式下的动态均衡价格称为时间延迟的动态均衡价格。求解该一阶常系数线性非齐次差分方程即可求解该一阶常系数线性非齐次差分方程即可20石油大学（华东）应用数学系 陈华蛛网图蛛网图21石油大学（华东）应用数学系 陈华七、收益七、收益1。总收益：生产者出售一定量产品所得到的全部收入。总收益：生产者出售一定量产品所得到的全部收入。P价格，Qd需求量（产量）平均收益函数平均收益函数边际收益函数边际收益函数22石油大学（华东）应用数学系 陈华2。用需求弹性分析总收益的变化。用需求弹性分析总收益

12、的变化ERE=1E123石油大学（华东）应用数学系 陈华(1)若若E1，需求变化的幅度小于价格变动的幅度，此时需求变化的幅度小于价格变动的幅度，此时R递递增，即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。增，即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。如果提高生活必需品如果提高生活必需品(E1，需求变化的幅度大于价格变动的幅度，此时需求变化的幅度大于价格变动的幅度，此时R递递减，即价格上涨，总收益增减；价格下跌，总收益减加减，即价格上涨，总收益增减；价格下跌，总收益减加。对于奢侈品来讲，价格上涨，总收益不升反降（需求量对于奢侈品来讲，价格上涨，总收益不升反降（需求量的减少）。的减少）。(3)

13、若若E=1，总收益取得最大值。总收益取得最大值。综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，它随商品需综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，它随商品需求弹性的变化而变化，其关系如上图。求弹性的变化而变化，其关系如上图。24石油大学（华东）应用数学系 陈华3。最大利润原则。最大利润原则设利润函数为收益减成本，即设利润函数为收益减成本，即因此，利润函数取得最大值的必要条件为其导数等于零。因此，利润函数取得最大值的必要条件为其导数等于零。25石油大学（华东）应用数学系 陈华26石油大学（华东）应用数学系 陈华27石油大学（华东）应用数学系 陈华28石油大学（华东）应用数学系 陈华实际问题有解实际问题有

14、解29石油大学（华东）应用数学系 陈华例例7 某旅行社组织风景区旅游团，若每团人数不超过某旅行社组织风景区旅游团，若每团人数不超过30人，飞人，飞机票每张收费机票每张收费900元；若每团人数多于元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每人，则给予优惠，每多多1人，机票每张减少人，机票每张减少10元，直至每张降到元，直至每张降到450元。每团乘飞机，元。每团乘飞机，旅行社须付给航空公司包机费旅行社须付给航空公司包机费15000元。元。（1）写出飞机票的价格函数。写出飞机票的价格函数。（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？30石油大学（华东）应用数学系

15、 陈华例例8(1997) 设某商品的销售量设某商品的销售量x与价格与价格p的函数关系为的函数关系为p=7-0.2x(万万元元/吨吨)，成本，成本C与销售量与销售量x的函数关系为的函数关系为C=3x+1(万元万元)。（1）若每销售若每销售1吨商品，政府要征税吨商品，政府要征税t(万元万元)，求销售量为多少求销售量为多少 时，可使商家获利最大？时，可使商家获利最大？（2） t为何值，政府税收总额最大？为何值，政府税收总额最大？31石油大学（华东）应用数学系 陈华2 一元积分学在经济分析中的应用一元积分学在经济分析中的应用一、经济总量的计算一、经济总量的计算由边际函数求总函数，设由边际函数求总函数，

16、设另外另外32石油大学（华东）应用数学系 陈华例例1 某产品的总成本某产品的总成本C(Q)（万元）的边际成本万元）的边际成本 （万元（万元/百台），总收益百台），总收益R(Q) （万元）的边际收益万元）的边际收益 （万元（万元/百台）。其中百台）。其中Q为产量，固定成本为为产量，固定成本为1万元，问：万元，问：（1）产量为多少事总利润最大？）产量为多少事总利润最大？（2）从利润最大是再生产一百台，总利润增加多少？）从利润最大是再生产一百台，总利润增加多少？例例2 设某商品每天生产单位是固定成本为设某商品每天生产单位是固定成本为20元，边际成本函数元，边际成本函数为为 （元（元/单位），如果这种

17、商品规定的销售价单位），如果这种商品规定的销售价为为18元，且产品可以全部售出，问每天生产多少单位时才能获元，且产品可以全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润？得最大利润？33石油大学（华东）应用数学系 陈华二、资本现值与投资问题二、资本现值与投资问题1。连续复利（复合利率）。连续复利（复合利率）向银行存款向银行存款x元，银行的年利率为元，银行的年利率为r，则则n年后的存款额为年后的存款额为 又又称为复利计算。称为复利计算。n为计算复利的次数为计算复利的次数如果一年之内结算如果一年之内结算m次，每个结算周期的利率为次，每个结算周期的利率为r/m， n年后年后计算复利的次数为计算复利的次

18、数为mn，则则n年后的存款额为年后的存款额为 ，结算周期变为无穷小，这意味着银行连结算周期变为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方式称为连续复利，此时续不断地向顾客付利息，这种存款方式称为连续复利，此时存款为存款为34石油大学（华东）应用数学系 陈华所以相当于以年利率所以相当于以年利率 进行按年计息结算。进行按年计息结算。所以用连续复利得到的存款比按年结算要大。所以用连续复利得到的存款比按年结算要大。2。在银行业务中有一种。在银行业务中有一种“均匀流均匀流”存款方式使货币像存款方式使货币像水流一样以定常流量水流一样以定常流量a源源不断地流进银行，比如商店把固源源不断地流进银行

19、，比如商店把固定收入存入银行。（零存整取）定收入存入银行。（零存整取） 某业主向以均匀流方式向银行存款，年流量为某业主向以均匀流方式向银行存款，年流量为a元，年利元，年利率为率为r,按连续复利计算，则按连续复利计算，则n年后存款为多少？年后存款为多少？解：在解：在 内向银行存入内向银行存入 元，元，n年后这些存款的存年后这些存款的存期为期为T-t，相应存款为相应存款为 ，所以，所以n年后年后总存款为总存款为35石油大学（华东）应用数学系 陈华3。 贴现（现值）贴现（现值）与上面问题相反，如已知年利率与上面问题相反，如已知年利率r及及n年后的本利和年后的本利和y，求最初求最初的存款的存款x，称为

20、贴现。称为贴现。 x称为称为y的的贴现值或现值，贴现值或现值， r又又称为贴现称为贴现率。由（率。由（1）（）（2）（）（3）可得到按年结算、按连续复利计算和）可得到按年结算、按连续复利计算和按均匀流方式计算的贴现公式：按均匀流方式计算的贴现公式：(6)式中a可为f(t)36石油大学（华东）应用数学系 陈华例例3 假设对企业投资假设对企业投资800万元，据估计，该企业在万元，据估计，该企业在20年内可年内可按每年按每年200万元的均匀收入率获得收入，若存入银行时的年万元的均匀收入率获得收入，若存入银行时的年利率为利率为0.05，问该投资的纯收入贴现值是多少？收回该笔投，问该投资的纯收入贴现值是

21、多少？收回该笔投资的时间为多少？资的时间为多少？例例4 某一机器使用寿命为某一机器使用寿命为10年，如购进此机器需年，如购进此机器需35000元，元，如租用此机器每月租金为如租用此机器每月租金为600元，设资本的年利率为元，设资本的年利率为14，按连续复利计算，问购进机器与租用机器哪一种方式合算按连续复利计算，问购进机器与租用机器哪一种方式合算？ 37石油大学（华东）应用数学系 陈华3 多元微分学在经济分析中的应用多元微分学在经济分析中的应用1。偏弹性。偏弹性EP称为需求对价格的偏弹性，称为需求对价格的偏弹性，EM称为需求对收入的偏弹性称为需求对收入的偏弹性38石油大学（华东）应用数学系 陈华

22、2。效用（消费者行为理论）。效用（消费者行为理论）1)概念：对一个消费者来讲，在一定的收入条件下，假概念：对一个消费者来讲，在一定的收入条件下，假设有设有n种商品可供选择，第种商品可供选择，第i种商品选购数量为种商品选购数量为 ，则每，则每个有序个有序n元非负实数组元非负实数组 就确定一个对这就确定一个对这n元商品的消费组合，对在一定状况下的消费者来说，不元商品的消费组合，对在一定状况下的消费者来说，不同的购买组合所得到的满足感不同，这种满足感在经济同的购买组合所得到的满足感不同，这种满足感在经济学上称为效用。对于一个理智的消费者来讲，什么样的学上称为效用。对于一个理智的消费者来讲，什么样的消

23、费组合使消费者的效用最大。消费组合使消费者的效用最大。对于消费组合对于消费组合 ，效用函数设为，效用函数设为 ，其，其一般为连续可导函数。在实际中，一般为连续可导函数。在实际中， 与与 效用会相互影效用会相互影响。例如味精和盐，单独使用可能效用（口感）很小响。例如味精和盐，单独使用可能效用（口感）很小（发苦），加入菜汤中，则效用会大得多。（发苦），加入菜汤中，则效用会大得多。39石油大学（华东）应用数学系 陈华边际效用函数边际效用函数货币的边际效用货币的边际效用具体边际效用递减法则及其分析详见经济学著作。具体边际效用递减法则及其分析详见经济学著作。无差异曲线：对给定效用无差异曲线：对给定效用

24、，由方程，由方程 确确定的曲线。定的曲线。40石油大学（华东）应用数学系 陈华2)效用最大化（消费者均衡）效用最大化（消费者均衡） 设某消费者有设某消费者有M元钱，在市场价格元钱，在市场价格P1，P2下购买两种商下购买两种商品的数量分别为品的数量分别为 ， ，则效用最大化的数学模型为，则效用最大化的数学模型为 用拉格朗日乘数法解此问题用拉格朗日乘数法解此问题货币的边货币的边际效用际效用41石油大学（华东）应用数学系 陈华所以最大化原则：每种商品的货币的边际效用相等时，所以最大化原则：每种商品的货币的边际效用相等时，效用最大。效用最大。3。投入与产出的数量分析。投入与产出的数量分析 1)生产函数

25、：在商品生产中，必须投入的各生产要素生产函数：在商品生产中，必须投入的各生产要素（劳力、工具、原材料及其它设备等（劳力、工具、原材料及其它设备等）与产出产品之与产出产品之间关系的数学模型。一般地，设生产函数为间关系的数学模型。一般地，设生产函数为其中其中 分别称为劳动的边际产量（劳动的边际分别称为劳动的边际产量（劳动的边际生产力生产力）和资本的边际产量（资本的边际生产力）。和资本的边际产量（资本的边际生产力）。42石油大学（华东）应用数学系 陈华边际替代率：设产出量保持在某一水平边际替代率：设产出量保持在某一水平 上不变，即上不变，即其意义：表示产出量不变时，增加一个单位的劳动投其意义：表示产

26、出量不变时，增加一个单位的劳动投入量可以减少的资本投入量。入量可以减少的资本投入量。K关于关于L的弹性：的弹性：例如例如2001数三第一道填空题考察的此问题（辅导书数三第一道填空题考察的此问题（辅导书551页）页）43石油大学（华东）应用数学系 陈华2）生产函数模型）生产函数模型 经济学生产函数模型一般是齐次函数即满足经济学生产函数模型一般是齐次函数即满足 时，称生产规模报酬递增，即生产要素按比例时，称生产规模报酬递增，即生产要素按比例t增加时，产出量随因子增加时，产出量随因子 增加；增加； 时，称生产规模报酬递减，即生产要素按比例时，称生产规模报酬递减，即生产要素按比例t增加时，产出量随因子

27、增加时，产出量随因子 增减；增减； 时，不变。时，不变。44石油大学（华东）应用数学系 陈华45石油大学（华东）应用数学系 陈华3）最优投资组合）最优投资组合设生产函数设生产函数下面有三种优化目标下的数学模型下面有三种优化目标下的数学模型I 成本固定时，成本固定时， 产出最大产出最大46石油大学（华东）应用数学系 陈华II 产出固定时，产出固定时，成本最小成本最小III 利润最大化利润最大化47石油大学（华东）应用数学系 陈华例例1 设生产函数为设生产函数为 ,成本函数为成本函数为 ,当成本预算当成本预算 ，两种要素投入量为多少时产量最高，最高，两种要素投入量为多少时产量最高，最高产量为多少？

28、产量为多少？例例2 设生产函数为设生产函数为 ,成本函数为成本函数为 ,当产量为当产量为 ，求成本最低的投入组合及最低成本。求成本最低的投入组合及最低成本。例例3 设生产函数为设生产函数为 ,成本函数为成本函数为 。(1)求使利润最大化时的投入、产出及最大利润。求使利润最大化时的投入、产出及最大利润。(2)若产品的生产过程为半年，贴现率为若产品的生产过程为半年，贴现率为0.06，若按连续复利计算，若按连续复利计算，则最大利润为多少？则最大利润为多少？48石油大学（华东）应用数学系 陈华4 差分方程在经济分析中的应用差分方程在经济分析中的应用49石油大学（华东）应用数学系 陈华一阶非齐次差分方程一阶非齐次差分方程50石油大学（华东）应用数学系 陈华51石油大学（华东）应用数学系 陈华当当R=750时还款月数：时还款月数：52石油大学（华东）应用数学系 陈华