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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第五章 微分方程第一节 一些物理规律的数学描述微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例 7/30/2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 第三节 微分方程在生微分方程在生物医学中的应用实例物医学中的应用实例 一、指数增长的应用模型一、指数增长的应用模型二、线性微分方程的应用模型二、线性微分方程的应用模型三、抑制增长方程的应用模型三、抑制增长方程的应用模型 四、药物动力学中的应用模型药物动力学中的应用模型 2数
2、学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1. (1. (指数增长模型指数增长模型) )肿瘤的生长过程可以认为是：肿瘤的体积增长率与现时的肿瘤体积 成正比.假设增长速率常数为 ，则肿瘤的体积增长遵循下面的微分方程和初始条件：方程式的左端是肿瘤的体积随时间的变化率，方程式的右端的正号表示变化率为正，即是增长率，其值与当时的肿瘤的体积成正比，比例系数是 ， 为正常数.这是可分离变量的微分方程，写成微分的形式：3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 两端积分，得通解：由初始条件取定任意常数C，得
3、特解：这是一个随时间迅速增长的模型，描述肿瘤早期的增长比较合适.在研究肿瘤增长时，有一个称之为倍增时间的参数 ，它具有临床意义， 是体积增长一倍所需的时间.由体积增长一倍所满足的公式 得4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. (2. (线性微分方程线性微分方程) )在研究细胞膜的渗透问题时，认为细胞处在均匀的溶液中，由于存在渗透，细胞外溶液的分子会通过细胞膜进入细胞内，同时细胞内的分子也可以通过细胞膜流入溶液中.假设细胞外的溶液的浓度不变，记为 ，细胞内的浓度是随时间变化的，记为C(t)，又假设细胞体积不变，记为V，细胞膜面积为A
4、，那么细胞内的浓度C(t)与质量M(t)的关系是M(t)=VC(t).细胞内的质量随时间的变化率与细胞膜的面积和细胞膜内外的浓度差的乘积成正比，比例系数为k，得微分方程5数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 把M(t)=VC(t)代入上式，得一阶线性微分方程初始条件是 ,解该线性微分方程，得特解 从特解可以看出，当初始时刻细胞的浓度C(0)高于细胞外溶液的浓度时，细胞内浓度 将随时间减小，例如，初始浓度 单位单位体积，细胞外溶浓度50单位单位体积， ，特解可写成： 6数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformati
5、cs Group 例例3. (3. (抑制增长方程，即抑制增长方程，即LogisticLogistic方程方程) )细菌在培养基中的数量 的增长率正比于当时的细菌数量 与最大可容纳细菌量M与当时的细菌数量 之差的乘积，比例系数为k，因此 满足下面的微分方程和初始条件.这个方程说明细菌的数量随时间增长，但不能无限增长，当数量接近最大可容纳量时，增长率放慢. 所以，这个方程可以描写许多具有同样性质的过程，如人口增长、肿瘤增长等等.7数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 上述方程是可分离变量的微分方程，分离变量后写成微分的形式两端积分得 上述解也
6、可写成 代入初始条件后得特解 8数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 名家名言 数学是科学的大门和钥匙, 忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。 -培根(F. Bacon,15611626)9数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例4 4. (药物动力学中的一室模型)研究血液中药物浓度随时间的变化规律，对于了解药物作用的特点，特别是指导临床用药具有重要意义和使用价值.使用一室模型能比较好地反映药物动力学的规律，数学上的工具就是微分方
7、程.下面就静脉一次性注射给药、口服给药和静脉恒速滴注给药三种给药方式来研究血药浓度随时间的变化规律.(1)静脉注射给药在快速静脉注射给药时，血药浓度C(t)下降率与浓度成正比，比例系数k为消除速率常数，C(t)满足下面一阶微分方程和初始条件10数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 它是一阶可分离变量的微分方程，求特解得：它是一阶可分离变量的微分方程，求特解得：该浓度曲线是一条指数衰减曲线.(2)口服给药 在口服给药时，血药浓度C(t)的增长率使药物释放率(Df)与药物浓度衰减率的差值，这里有两个比例系数，k1表示药物的释放率，k2表示药物浓
8、度的衰减率( )，C(t)满足下面的一阶微分方程和初始条件.11数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 这是一阶线性微分方程.(a) 当 时，求特解得(b) 当 时，求特解得：12数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group (3)静脉恒速滴注给药 在静脉恒速滴注给药时，血药浓度C(t)增长率是滴注浓度速率(k1)与药物浓度衰减率的差值，这里还有一个药物浓度衰减比例系数k2,C(t)满足下面一阶微分方程和初始条件它是一阶线性微分方程，求特解得13数学与生物信息学教研室Mathematics & B
9、ioinformatics Group 注：使用微分方程描述生理过程时，有两种提法，一是解正问题，另一是解反问题.解正问题指：用微分方程和初始值求出问题的解，研究解随时间的变化，预言生理指标在不同时刻的值.在解正问题时，必须要知道微分方程中各种参数，可是，有时某些参数是不能事先知道的，而是要靠实验数据决定的.因此，求解正问题有时是受到限制的，不能实现.解反问题指：用实验数据决定微分方程中的参数，所用的方法是拟合方法(关于拟合方法参见 ).拟合出微分方程中的参数，就回到了解正问题.因为，微分方程是驱动过程的本质，如果从专业知识知道了生理过程所满足的微分方程，那么，根据微分方程的解的形式，选择拟合函数就容易了.总之，这里介绍的是最简单的一阶常微分方程在生理学和医学中的部分应用，描述更复杂的问题时，还要用到诸如常微分方程组(如肾透析问题)和高阶常微分方程，甚至用到偏微分方程.请参考有关书籍.14数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 数学家名言形式上不美，那就是一种理论还不够成熟的标志，说明理论有缺陷，需要改进。狄拉克(P. A. M. DIRAC，1902-1984)15
