第1章控制系统的状态空间表达式

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1、现代控制理论现代控制理论张涛张涛自动化专业学位课程自动化专业学位课程华北科技学院华北科技学院自动化系自动化系1.1 状态变量及状态空间表达式1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换)1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.6 从状态空间表达式求传递函数阵1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1.1.1 1.1.1 状态变量状态变量状态变量状态变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变确定系统

2、状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻量在任意初始时刻t=tt=t0 0 的值以及的值以及 tttt0 0 的系统输入，便能够完整的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻地确定系统在任意时刻 t t 的状态。的状态。状态状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 状态变量的特点：状态变量的特点：v状态变量的选择不唯一，但相互独立，各个变量线性无关，其状态变量的选择不唯一，但相互独立，各个变量线性无关，其个数为微分方程的阶数，也为

3、系统中独立储能元件的个数个数为微分方程的阶数，也为系统中独立储能元件的个数v多组状态变量间存在某种非奇异变换关系多组状态变量间存在某种非奇异变换关系v状态变量可选任何变量，但通常选易测量或易观察的量，以便状态变量可选任何变量，但通常选易测量或易观察的量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要满足实现状态反馈、改善系统性能的需要 1.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 如果如果 个状态变量用个状态变量用 表示，并把这些表示，并把这些状态变量看作是矢量状态变量看作是矢量 的分量，则的分量，则 就称为状态矢量，就称为状态矢量，记作：记作：1.1.2 1.1.2 状态矢量状

4、态矢量1.1.3 1.1.3 状态空间状态空间 以状态变量以状态变量 为坐标轴所构成为坐标轴所构成的的 维空间，称为状态空间维空间，称为状态空间。1.1.4 1.1.4 状态方程状态方程 反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的一阶微分反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的一阶微分（差分）方程组称为系统的状态方程。（差分）方程组称为系统的状态方程。用下图所示的用下图所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。网络，说明如何用状态变量描述这一系统。图1.1 此系统有两个独立储能元件，有两个状态变量，分别为此系统有两个独立储能元件，有两个状态变量，分别为uc和和i，容易写出两个含有状态变量

5、的一阶微分方程组：，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：亦即亦即（1） 式式(1)(1)就是图就是图1.11.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号符号 表示，即令表示，即令 并写成矢量矩阵式，并写成矢量矩阵式，则状态方程变为：则状态方程变为：或或1.1.5 1.1.5 输出方程输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间以及输入量在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间以及输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图之间的函数关系式，称为系统的输出方程。如在图1.11.1系统中，系统中，指定指定 作为输出，输出一般用作为输出，

6、输出一般用y y表示，则有：表示，则有：式中式中(2)式（式（3 3）就是图）就是图1.11.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：系统的输出方程，它的矩阵表示式为：或或（3）式中或（4） 在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以 作输出作输出时，从式时，从式(1)(1)消去中间变量消去中间变量i i，得到二阶微分方程为：，得到二阶微分方程为：其相应的传递函数为：其相应的传递函数为：（6）（5） 回到式（回到式（5 5）或式（）或式（6 6）的二阶系

7、统，若改选）的二阶系统，若改选 和和 作为两作为两个状态变量，即令个状态变量，即令 则得一阶微分方程组为：则得一阶微分方程组为：1.1.6 1.1.6 状态空间表达式状态空间表达式1.1.6 1.1.6 状态空间表达式状态空间表达式即：即：（8） 设单输入一单输出定常系统，其状态变量为设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 则状态方程的一般形式为：则状态方程的一般形式为：输出方程式则有如下形式：输出方程式则有如下形式：用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为： 多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：

8、式中，式中，x x和和A A分别为分别为n n维状态矢量和维状态矢量和n nn n系统系统矩阵；矩阵；为为r r维输入维输入( (或控制或控制) )矢量；矢量；为为m m维输出矢量；维输出矢量；（9）（10）1.1.7 1.1.7 状态空间表达式的系统框图状态空间表达式的系统框图 和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于式关系。对于式(9)(9)和式和式(10)(10)所描述的系统，它们的框图分别如图所描述的系统，它们的框图分别如图a a和和b b所示。所示。 为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输为了简便，下面

9、除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令入矢量的直接传递，即令D D = 0= 0 。1.2 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分积分器的数目应等于状态变量数器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。比例器

10、，最后用箭头将这些元件连接起来。对于一阶标量微分方程：对于一阶标量微分方程：它的模拟结构图示于下图它的模拟结构图示于下图再以三阶微分方程为例：再以三阶微分方程为例：将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成它的模拟结构图示于下图它的模拟结构图示于下图 同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。 下例是二输入二输出的二阶系统的模拟结构图。下例是二输入二输出的二阶系统的模拟结构图。 可见较复杂，所以多输入多输出系统的结构图多以矢量结可见较复

11、杂，所以多输入多输出系统的结构图多以矢量结构图的形式表示。构图的形式表示。1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (一一) ) 状态空间表达式一般可以从三个途径求得：状态空间表达式一般可以从三个途径求得：一一是由是由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间表达式；写出相应的状态空间表达式；二二是从系统的物理或化是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；学的机理出发进行推导；三三是由描述系统运动过程的是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。高阶微分方程或传递函数予以演化而

12、得。1.3.1 1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式从系统框图出发建立状态空间表达式 该法是首先将系统的各个环节，变成相应的模拟结构图，该法是首先将系统的各个环节，变成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量并把每个积分器的输出选作一个状态变量 其输入便是相应其输入便是相应的的 然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。一一、由系统框图建立状态空间描述、由系统框图建立状态空间描述例例例例1-11-1：系统框图如下：系统框图如下：关键：关键：关键：关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，

13、对结构图进行等效变换等效变换如下：等效变换如下：图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：写成写成矩阵形式：矩阵形式：系统系统1.3.2 1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式从系统的机理出发建立状态空间表达式 一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。

14、当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。v步骤：步骤：1) 1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；2) 2)选择有关的物理量作为状态变量；选择有关的物理量作为状态变量；3) 3)导出状态空间表达式。导出状态空间表达式。电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u ,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。 例例例例1-21-21-21-2 L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+ +_ _+ +_

15、 _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1 解解解解 ：1) 1) 选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，且为状态变量，且两者是独立的。两者是独立的。2 2）根据基尔霍夫电压定律，列写根据基尔霍夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：整理得：整理得：3 3）状态空间表达式为：状态空间表达式为： 例例例例1-31-31-31-3试列出在外力试列出在外力f f作作用下，以质量用下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的状态空间描述。状态空间描述。 解解解解 ：

16、该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：质量块受力图如下：则则有有：及及：将所选的将所选的状态变量状态变量代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得：输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：例例1-41-4 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块质量块 m 的重量已经和弹簧的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律即：即：选择状态变量选择状态变量则：则：机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为该系统的状态图如下该系统的

17、状态图如下例例1-51-5 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为系统运动方程式为系统运动方程式为（式中，（式中， 为电动势常数；为电动势常数； 为转矩常数；为转矩常数； 为为折合到电动机轴上的转动惯量；折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）性摩擦系数。）可选择电枢电流可选择电枢电流 和角速度和角速度 为状态变量，电动为状态变量，电动机的电枢电压机的电枢电压 为输入量，角速度为输入量，角速度 为输出量。为输出量。状态空间表达式状态空间表达式状态图如下：状态图如

18、下：1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3

19、）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。多出系统的描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各

20、综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。状态空间法具备如下优点：状态空间法具备如下优点： （1 1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。 （2 2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方程组的数学表示法。程组的数学表示法。 （3 3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感）在控制系统的

21、分析中，系统的初始条件对经典法感到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。 （4 4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应，不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统。入多输出系统。（5 5）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控）状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制，所以可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机制，所以

22、可应用求解大量的非线性系统、时变系统、随机过程和采样系统。过程和采样系统。（6 6）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。）利用现代空间法进行系统综合时，是非常有利的。1.4 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立( (二二) ) 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入态空间描述而不改变系统的输入- -输出特性，称此状态空输出特性，称此状态空间描述是系统的一个间描述是系统的一个状态空间实现状态空间实现。由于所选状态变量不。由于所选状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方法

23、有多种。同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。 考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个个 n n 阶线性常系数微分方程：阶线性常系数微分方程：相应的传递函数为相应的传递函数为:1.4 1.4 状态变量及状态空表达式的建立状态变量及状态空表达式的建立( (二二) ) 实现的存在条件是实现的存在条件是 ，当，当 时，时，d=0;当当m=n时，时，d=bm，不为零，此时，上式可写成如下形式：，不为零，此时，上式可写成如下形式： 这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量

24、数量最少，各矩阵的维数最小，态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现最小实现。1.4.1 1.4.1 传递函数中没有零点时的实现传递函数中没有零点时的实现在这种情况下，系统的微分方程为：在这种情况下，系统的微分方程为：1.4 1.4 状态变量及状态空表达式的建立状态变量及状态空表达式的建立( (二二) ) 相应的系统传递函数为：相应的系统传递函数为： 上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可可由相应的模拟结构图由相应的模拟结构图 ( (下图下图) )导

25、出导出。这种由中间变量。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。种最易求得的结构形式。 将图中将图中每个积分器的输出每个积分器的输出取作取作状态变量状态变量，有时称为相变量，有时称为相变量，它是输出它是输出 的各阶导数。至于每个积分器的输入，的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。显然就是各状态变量的导数。依据上图，容易列出系统的状态方程：依据上图，容易列出系统的状态方程： 输出方程为：输出方程为： 表示成矩阵形式，则为：表示成矩阵形式，则为： 顺便指出，当顺便指出，当 A A 矩阵具有

26、式上矩阵的形式时，称矩阵具有式上矩阵的形式时，称为为友矩阵友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1 1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。 下面看个例题。下面看个例题。例1 设 求（A，B，C，D） 解：选 则： 状态空间表达式为 1.4.2 1.4.2 传递函数中有零点时的实现传递函数中有零点时的实现 此时，系统的微分方程为：此时，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：相应地，系统传递函数为：（26）设待实现的系统传递函数为：设待实现的系统传递函数为：因为因为 n=m, n=m, 上式可变

27、换为上式可变换为 关键是选取合适的结构，关键是选取合适的结构，使状态方程中不包含输入使状态方程中不包含输入函数的导数项函数的导数项。先从三阶微分方程出发，找出其实现规。先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到律，然后推广到n阶系统。阶系统。令令则则对上式求拉氏反变换，可得：对上式求拉氏反变换，可得： 据此可得系统模拟结构图，如下图所示。据此可得系统模拟结构图，如下图所示。(先画出本先画出本页最上方传递函数的模拟结构图，再添加。页最上方传递函数的模拟结构图，再添加。) 每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式：空间表达式：或表

28、示为：或表示为：推广到推广到 n n 阶系统，式阶系统，式(26)(26)的实现可以为：的实现可以为：（28） 可见可见状态方程与无零点时是相同的状态方程与无零点时是相同的，只与传递函数，只与传递函数的分母有关。的分母有关。 由于实现非唯一，下图示出上例的由于实现非唯一，下图示出上例的另一种实现方法另一种实现方法，从输入、输出的关系看，二者是等效的。从输入、输出的关系看，二者是等效的。 可见可见输出方程与无零点时不同输出方程与无零点时不同。根据这个结论，由。根据这个结论，由传递函数中分子分母多项式的系数，可写出系统的状态传递函数中分子分母多项式的系数，可写出系统的状态空间表达式。空间表达式。

29、从图中可以看出，将输入函数的各阶导数作适当的从图中可以看出，将输入函数的各阶导数作适当的等效等效移动，可用下图表示。移动，可用下图表示。 将综合点等效地移到前面将综合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如，得到等效模拟结构图如下图所示。下图所示。由上图可求得其对应的传递函数为：由上图可求得其对应的传递函数为：（29） 为求得为求得 令式（令式（2929）与式（）与式（2626）相等，通过对）相等，通过对 多多项式系数的比较得：项式系数的比较得：故得：故得：（3030）也可将式也可将式(30)(30)写成式写成式(31)(31)的形式，以便记忆。的形式，以便记忆。（31） 将上图的每个积分器输出

30、选作状态变量，如图所示，得这种结将上图的每个积分器输出选作状态变量，如图所示，得这种结构下的状态空间表达式：构下的状态空间表达式：扩展到扩展到n n阶系统，其状态空间表达式为：阶系统，其状态空间表达式为：（33）式中：式中：或记为：或记为： 值得注意的是，这两种方法值得注意的是，这两种方法所选择的状态变量是不同的所选择的状态变量是不同的。这。这点从它们的模拟结构图可以清楚地看到。点从它们的模拟结构图可以清楚地看到。1.4.3 1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现多输入一多输出系统微分方程的实现 以双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微以双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为

31、：分方程为：（35） 同单输入同单输入单输出系统一样，式单输出系统一样，式(35)(35)系统的实现系统的实现也是非唯一的。现也是非唯一的。现采用模拟结构图的方法采用模拟结构图的方法，按高阶导，按高阶导数项求解：数项求解：1.4.3 1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现多输入一多输出系统微分方程的实现对每一个方程积分：对每一个方程积分：故得模拟结构图，如下图所示：故得模拟结构图，如下图所示： 取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（示。则式（3535）的一种实现为：）的一种实现为：或表示为：或表示为：（36）1.5 1.5 状态矢量

32、的线性变换状态矢量的线性变换( (坐标变换坐标变换) )1.5.1 1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说也就是说系统可以有多种结构形式系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢。所选取的状态矢量之间，实际上是一种量之间，实际上是一种矢量的线性变换矢量的线性变换( (或称坐标变换或称坐标变换) )。1.5 1.5 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换( (坐标变换坐标变换) )1.

33、5.1 1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性 设给定系统为：设给定系统为：（37） 我们总可以找到任意一个我们总可以找到任意一个非奇异矩阵非奇异矩阵 T T, , 将原状态矢将原状态矢量量X X 作线性变换，得到另一状态矢量作线性变换，得到另一状态矢量Z Z, , 设变换关系为：设变换关系为：即即代入式（代入式（3737），得到新的状态空间表达式：），得到新的状态空间表达式：（38） 由于由于T T为任意非奇异阵，故状态空间表达式非为任意非奇异阵，故状态空间表达式非唯一。通常唯一。通常称称T T为变换矩阵为变换矩阵。1.5.2 1.5.2 系统特征值的不变性及系

34、统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量 1. 1.系统特征值系统特征值系统系统系统特征值系统特征值就是就是系统矩阵系统矩阵 A A 的特征值的特征值，也即特征方程：，也即特征方程：（43）的根。的根。 方阵方阵A A共有共有n n个特征值；实际物理系统中，个特征值；实际物理系统中， 为实为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如；如 为实对为实对称方阵，则其特征值都是实数。称方阵，则其特征值都是实数。2 2系统的不变量与特征值的不变性系统的不变量与特征值的不变性同一系统，经非奇异变换后，得：同一系统，经非奇异变换后，得：其特征方程为：其特征

35、方程为：（44） 式式(43)(43)与式与式(44)(44)形式虽然不同，但实际是相等的，形式虽然不同，但实际是相等的，即即系统的非奇异变换，其特征值是不变的系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证。可以证明如下：明如下： 将特征方程写成多项式形式将特征方程写成多项式形式 由于特征值全由特征多项式的系数由于特征值全由特征多项式的系数 唯一确定，而唯一确定，而特征值经非奇异变换是不变的特征值经非奇异变换是不变的，那么，那么这些系数这些系数 也是也是不变的量。所以称不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变特征多项式的系数为系统的不变量量。 一个一个 维矢量维矢量 ：经过以：经过以 作为变换

36、阵的变换，得作为变换阵的变换，得到一个新的矢量到一个新的矢量 即即 如果此如果此 即矢量即矢量 ，经，经 线性变换后，方向不线性变换后，方向不变，仅长度变化变，仅长度变化 倍，则称倍，则称 为为 的对应于的对应于 的的特征矢量特征矢量，此时有此时有3 3特征矢量特征矢量1.5.3 1.5.3 状态空间表达式变换为约旦标准型状态空间表达式变换为约旦标准型这里的问题是这里的问题是将将 (45) 变换为：变换为：(46) 根据系统矩阵根据系统矩阵A A 求其特征值，可以直接写出系统的约求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵旦标准型矩阵J J无重根时无重根时有重根时有重根时 而欲得到变换的控制矩

37、阵而欲得到变换的控制矩阵 和输出矩阵和输出矩阵CTCT，则，则必须求出变换矩阵必须求出变换矩阵T T。下面根据。下面根据A A阵形式及有阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求无重根的情况，分别介绍几种求T T 的方法。的方法。 1.A1.A阵为任意形式阵为任意形式(1)A(1)A阵的特征值无重根时阵的特征值无重根时 设设 是是A A的的 个互异特征根，求出个互异特征根，求出A A的特征矢的特征矢量量 则变换矩阵由则变换矩阵由A A的特征矢量的特征矢量 构成，即构成，即2 2A A阵为标准型阵为标准型，即，即 (1)(1)A A的特征值无重根时，其变换是一个的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙范

38、德蒙德德(Vandermonde)(Vandermonde)矩阵矩阵，为：，为：(2)(2)A A特征值有重根时，以有特征值有重根时，以有 的三重根为例：的三重根为例：(3)(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即复根为例，即此时此时已知系统传递函数：已知系统传递函数：（55） 现将式现将式(55)(55)展开成部分分式。由于系统的特征根有展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均是互异的，一是有重根。两种情况：一是所有根均是互异的，一是有重根。 3 3系统的并联型实现系统的并联型实现讨论此系统：讨论此系统：也有一个也有一个q

39、 q重极点：重极点：分析：分析：分析：分析：既有互异极点：既有互异极点：实现方法：实现方法：实现方法：实现方法： 整理得整理得 系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用留数定理留数定理留数定理留数定理计算：计算：（1 1 1 1）对于互异极点部分：对于互异极点部分：对于互异极点部分：对于互异极点部分：令令拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：（2 2 2 2）对于重极点部分：对于重极点部分：对于重极点部分：对于重极点部分：令令则：则：联立上两式得：联立上两式得：拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：联立联立(1)(1)、(2)(2)、(4)(4)可得：可得：由由(3)(3)、(6)(6)、

40、(7)(7)可得状态空间描述为：可得状态空间描述为：xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1 1-q+1q+1-n n-1 1-1 1 c11 c12 c1qcq+1 cn约当标准型状态结构图约当标准型状态结构图约当标准型状态结构图约当标准型状态结构图1.6 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵1.6.1 1.6.1 传递函数传递函数( (阵阵) )1 1单输入一单输出系统单输入一单输出系统已知系统的状态空间表达式：已知系统的状态空间表达式： 式中，式中， 为为 维状态矢量；维状态矢量； 和和 为输出和输入，为输出和输入，它们都是标量；它们都是标量；A

41、A为为 方阵方阵; ; 为为 列阵；列阵；c c为为 行阵；行阵；d d为标量，一般为零。为标量，一般为零。（62）1.6 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵对式对式(62)(62)进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有：进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有： （63） 故故U UX X间的传递函数为：间的传递函数为：（64）它是一个它是一个 的列阵函数。的列阵函数。间的传递函数为：间的传递函数为：它是一个标量。它是一个标量。 2 2多输入一多输出系统多输入一多输出系统已知系统的状态空间表达式：已知系统的状态空间表达式：（66） 同前，对式同前，对式(66)(6

42、6)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：作拉氏变换并认为初始条件为零，得：间的传递函数为：间的传递函数为：（69）它是一个它是一个m mr r矩阵函数，即矩阵函数，即其中各元素其中各元素 都是标量函数，它表征第都是标量函数，它表征第 个输入对个输入对第第 个输出的传递关系。当个输出的传递关系。当 时时 ，意味着不同标号，意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系有耦合关系，这正是，这正是多变量系统的特点。多变量系统的特点。式式(69)(69)还可以表示为：还可以表示为： 可以看出，可以看出， 的分母，就是系统矩阵的分母，就是系统矩阵A A的特征多项的特征多项

43、式，式， 的分子是一个多项式矩阵。的分子是一个多项式矩阵。 应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变传递函数阵是不变的的。对于已知系统如式。对于已知系统如式(66)(66)，其传递函数阵为式，其传递函数阵为式(69)(69)。当。当做坐标变换，即令做坐标变换，即令 时，则该系统的状态空间表达时，则该系统的状态空间表达式为：式为：那么对应上式的传递函数阵那么对应上式的传递函数阵 应为：应为：即同一系统，其传递函数阵是唯一的。即同一系统，其传递函数阵是唯一的。（7

44、1）1.6.2 1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵子系统在各种连接时的传递函数阵 实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或或并联并联，或，或串联串联，或形成，或形成反馈反馈连接。现仅以两个子连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。设系统设系统1 1为：为：（72）简记为：简记为：设系统设系统2 2为为：简记为：简记为： 1 1并联连接并联连接 所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如

45、下图所统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如下图所示。示。 由式由式(72)(72)和式和式(73)(73)，并考虑，并考虑 得系统的状态空间表达式：得系统的状态空间表达式：从而系统的传递函数阵为：从而系统的传递函数阵为： 故子系统故子系统并联并联时，系统传递函数阵等于子系统传递时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的函数阵的代数和代数和。 2 2串联连接串联连接串联连接如下图所示：串联连接如下图所示：其串联连接传递函数阵为：其串联连接传递函数阵为： 即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递即子系统串联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之积。但应注意，传递函数阵相乘，先后次序不函数阵之积。但应注意，传递函数阵相乘，先后次序不能颠倒。能颠倒。3 3具有输出反馈的系统具有输出反馈的系统如下图所示，由图可得：如下图所示，由图可得：即即从而系统的传递函数阵为：从而系统的传递函数阵为：可推导出：可推导出：同理也可求得：同理也可求得：现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论自动化系张涛自动化系张涛n本章到此结束！本章到此结束！n谢谢您的观看！谢谢您的观看！n请提宝贵意见！请提宝贵意见！