《一般项级数ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一般项级数ppt课件（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3 一般项级数一般项级数一一 对交错级数对交错级数定理定理12.11若交错级数若交错级数满足条件：满足条件： （1 1）(2)(2)则该级数收敛，则该级数收敛， 且其和且其和定理定理12.11(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) )若交错级数若交错级数满足条件：满足条件： （1 1）(2)(2)则该级数收敛，则该级数收敛， 且其和且其和证证: : 设级数的部分和数列为设级数的部分和数列为则则注意到各括号均为非负的注意到各括号均为非负的, ,故故为单调减为单调减, ,为单调增为单调增, ,且且即即为区间套为区间套, , 由区间套定理由区间套定理, , 存在唯一存在唯一S,S,使得使得故故收敛收敛
2、, , 即该级数收敛即该级数收敛. . 定理定理3若交错级数若交错级数满足条件：满足条件：（1 1）（2 2）则该级数收敛，则该级数收敛， 且其和且其和例例6 6 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性解：解：为交错级数为交错级数. .显然显然所以所以, ,该级数收敛该级数收敛. .定理定理3若交错级数若交错级数满足条件：满足条件：（1 1）（2 2）则该级数收敛，则该级数收敛， 且其和且其和例例6 6 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: :解解: :为交错级数为交错级数. .显然显然故该级数收敛故该级数收敛. .二二 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛若若收敛收敛, ,则称则称绝
3、对收敛绝对收敛. .若若收敛收敛, ,而而发散发散, , 则称则称条件收敛条件收敛. .关系及有关判别法关系及有关判别法定理定理4 4 若若收敛收敛, ,则则收敛收敛. . ( (绝对收敛则收敛绝对收敛则收敛) )定理定理5 5 设设为任意项级数为任意项级数, ,若若则则(1)(1) 当当时时, , 该级数绝对收敛该级数绝对收敛. .(2)(2) 当当时时, ,该级数发散该级数发散. .例例7 7 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)解解: :(1)(1)发散发散. .发散发散. .收敛收敛. .条件收敛条件收敛. .(2)(2)而而收敛收敛. .
4、故故绝对收敛绝对收敛. .例例7 7 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)解解: :(3)(3)A.A.当当时时, , 该级数绝对收敛该级数绝对收敛. .B.B.当当时时, , 该级数发散该级数发散. .C.C.当当时时, , 该级数发散该级数发散. .D.D.当当时时, , 该级数条件收敛该级数条件收敛. .1.级数重排级数重排自然数列自然数列11，2 2，n n，到它自身的映射：到它自身的映射：称作自然数据的重排。数列称作自然数据的重排。数列称作原数列称作原数列的重排。将的重排。将，则可将重排后的级数写作：，则可将重排后的级数写作：定理定理12
5、.1312.13绝对收敛绝对收敛, ,且其和为且其和为S,S,则任意重排后所得的级数则任意重排后所得的级数也绝对收敛也绝对收敛, ,并且有相同的和并且有相同的和( (相当于加法的交换律相当于加法的交换律).).设级数设级数2. 2. 级数的乘积级数的乘积乘积可能的项为乘积可能的项为 设设定理定理12.14 12.14 若级数若级数按任意顺序所得的级数按任意顺序所得的级数也绝对收敛也绝对收敛, ,且其和等于且其和等于AB.AB.都绝对收敛都绝对收敛, , 且其和分别为且其和分别为A,BA,B则对表中所有的乘积则对表中所有的乘积三三 阿贝耳判别法与狄利克雷判别法阿贝耳判别法与狄利克雷判别法 用于级
6、数用于级数的敛散性的判别的敛散性的判别. .引理引理( (分部求和公式，也称为阿贝耳变换分部求和公式，也称为阿贝耳变换) ) 设设为两组实数，若令为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立则有如下分部求和公式成立证：证：分别乘以分别乘以整理后就得所要证的公式整理后就得所要证的公式 以以引理引理( (分部求和公式，也称为阿贝耳变换分部求和公式，也称为阿贝耳变换) ) 设设为两组实数，若令为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立则有如下分部求和公式成立证：证：分别乘以分别乘以整理后就得所要证的公式整理后就得所要证的公式 以以推论推论( (阿贝耳引理阿贝耳引理) ) 若若是单调数组；是单调数组；则记则
7、记时，有时，有（iiii）对任一自然数）对任一自然数推论推论( (阿贝耳引理阿贝耳引理) ) 若若是单调数组；是单调数组；则记则记时，有时，有（iiii）对任一自然数）对任一自然数证：由（证：由（i i）知道）知道都是同号的都是同号的于是由分部求和公式及条件于是由分部求和公式及条件(ii)(ii)推得推得三三 阿贝耳判别法与狄利克雷判别法阿贝耳判别法与狄利克雷判别法 用于级数用于级数的敛散性的判别的敛散性的判别. .1.1.阿贝尔判别法阿贝尔判别法: : 定理定理12.15 12.15 若若为单调有界数列，为单调有界数列，收敛，则级数收敛，则级数(A)(A)收敛收敛且级数且级数(A)(A) 证
8、证 由于级数由于级数收敛，依柯西准则，对任给正数收敛，依柯西准则，对任给正数存在正数存在正数N N，使得当，使得当nNnN时及任一自然数时及任一自然数p p，都有，都有又由于数列又由于数列有界，所以存在有界，所以存在M0M0，使得，使得应用阿贝尔引理结果可得到应用阿贝尔引理结果可得到由级的柯西收敛准则知该级数收敛由级的柯西收敛准则知该级数收敛 1.1.阿贝尔判别法阿贝尔判别法: : 定理定理12.15 12.15 若若为单调有界数列，为单调有界数列，收敛，则级数收敛，则级数(A)(A)收敛收敛且级数且级数例例判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:若级数若级数收敛收敛 , ,2.狄利克雷判别
9、法狄利克雷判别法单调递减，且单调递减，且又级数又级数的部分和有界，则级数（的部分和有界，则级数（A A）收敛）收敛. .定理定理12.16 12.16 若数列若数列例例 若数列若数列具有性质：具有性质：讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性. .单调递减，且单调递减，且又级数又级数的部分和有界，则级数（的部分和有界，则级数（A A）收敛）收敛. .定理定理12.16 12.16 若数列若数列例例 若数列若数列具有性质：具有性质：讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性. .解解 因为因为当当时，时，故故所以，当所以，当时，时，有界，由狄利克雷判别法得级数有界，由狄利克雷判别法得级数收敛收敛. .收敛。收敛。同理可证：同理可证：
