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1、第八章第八章 不等式不等式知识体系知识体系 第四节第四节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用基础梳理基础梳理2. 几个重要的不等式(1)a2+b2 (a,bR).(2) (a,b同号).(3)ab (a,bR).a0,b0a=b2ab21. 基本不等式 (1)基本不等式成立的条件: .(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.3. 利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时,x+y有 值是 .(简记:积定和最小)()如果和x+y是定值p,那么当且仅当 时, xy有 是 .(简记:和定积最大)典例分析典例分析题型一题型一 证明不等式证明不等式【例1】已
2、知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证: 9.x=y最小最大x=y证明 = (a+b+c)+ (a+b+c)+ (a+b+c) =3+ + + + + + = 3+2+2+2=9.学后反思 本题如果改为a0,b0,c0,求(a+b+c)（ ）9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.分析 将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明.举一反三举一反三1. 设a0,b0,c0,求证: 证明: a0,b0, 同理, , 即 题型二题型二 求最值求最值【例2
3、】(1)设0x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.分析 (1)由0x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得(2)原式变为 ,再讨论a-4的正负.(3)由 ,再用基本不等式求最值.解 (1)0x2,03x20, ,当且仅当3x=8-3x,即 时取等号,当 时, 的最大值是4.(2)显然a4,当a4时,a-40, ,当且仅当 时,取等号;(3)x0,y0,且x+y=1, ,当且仅当 ,即x=2y时等号成立，当 时， 有最小值18.当a4时,a-40,m0),g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=
4、1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：x0,y0, .此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a4,即a-40时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.举一反三举一反三2. 求f(x)= +x的值域.解析： 由已知得 (1)若x2,则x-20.故 当且仅当 ,即x=3时，取等号.(2)若x2,则x-20.故所以f(x)0,当且仅当
5、 ,即x=1时，取等号.由（1）、(2)可知， 的值域为（-,04,+）.分析 这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用；（3）草坪费.题型三题型三 实际应用实际应用【例3】(14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 的十字型区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/ ,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ ，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/ .(1
6、)设总造价为S元，AD的边长为x m,试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区?解 （1）设DQ=y则 , ,.3 .7(2) 10当且仅当 ,即x=10时取等号.即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14.学后反思 用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条件最值的方法来求最值.举一反三举一反三3.
7、 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元.其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.(1)若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?(2)若使每个同学游4次,每人最少应交多少元钱?解析： 可设买x张游泳卡,总开支y元,则(1)每批去x名同学,共需 批.总开支又分为:买卡所需费用240x;包车所需费用 (0x48,xN*), 当且仅当 ,即x=8时取等号.每人最少应交 =80(元).(2)每批去x名同学,共需去 批.总开支又分为:买卡所需费用240x;
8、包车所需费用 (00恒有a+1a2,从而 4,所以z的最小值为4.方法二：x+y=1,x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy, = (x2y2+x2+y2+1) .错解分析 方法一中z=4成立的条件是 且 ，即x=1且y=1，与x+y=1相矛盾；方法二中z=2（ -1）的条件是 =xy，即xy=2,这与0xy 相矛盾.正解 由x+y=1知x2+y2+2xy=1,x2+y2=1-2xy,从而有z= = (x2y2+x2+y2+1)= (2+x2y2-2xy)= ,令xy=t(00,b0.广告的面积为S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40
9、b18 500+=18 500+ =24 500,当且仅当25a=40b时等号成立，此时b= ,代入式得a=120,从而b=75,即当a=120,b=75时，S取得最小值24 500，故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.方法二:设广告的高和宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20, ,其中x20,y25.两栏面积之和为2(x-20) =18 000,由此得y= +25,广告的面积S=xy=x( +25)= x+25x,整理得S= +25(x-20)+18 500因为x-200,所以S +18 500=24 500,当且仅当 =25(x-20)时等号
10、成立.此时有(x-20)2=14 400(x20),解得x=140,代入y= +25,得y=175.即当x=140,y=175,时,S取得最小值24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.第六节第六节 椭圆椭圆基础梳理基础梳理1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.2. 椭圆的标准方程和几何性质F1、F2标准方程 图形性质 范围 xa yb xb ya对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1
11、 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 .焦距 F1F2=离心率 e= a,b,c的关系 c2=-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求
12、c,然后求b.解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2= , a= .在方程 中,令x=c,得y= ；在方程 中,令y=c,得x= .依题意知 = ,b2= .即椭圆的方程为方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1= ,PF2= .由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .由PF1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定
13、椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1P
14、F2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北
15、京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到
16、交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x
17、2+mk(x1+x2)+m2= 8以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). 14学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭
18、圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x
19、-9y+25=0.【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0xr).S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，
20、长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 ,
21、 .故所求椭圆方程为 12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
