《《高等数学》电子课件（同济第六版）：第七章 第6节 高阶线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》电子课件（同济第六版）：第七章 第6节 高阶线性微分方程（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一一. 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构二二. 二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构三、小结及作业2第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程一阶线性方程其通解为非齐次方程特解齐次方程通解推广高阶线性微分方程情形3二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程4定理得证定理得证 .一一. 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构定理定理 1 若函数是二阶线性齐次方程的两个解, 则也是该方程的解.叠加原理证证: 将代入方程左边 , 得说明说明: 解中形
2、式上含有两个任意常数时不一定是通解解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解例如,是齐次方程的解 ,也是齐次方程的解 ,并不是通解 .但是5定义定义: 设是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为不全为 0 的常数使得当时有则称这 n个函数在区间I 上线性相关线性相关 , 否则称为线性无关线性无关.例如例如 ,在 ( , ) 上都有故在任何区间 I 上都线性相关线性相关 ;又如又如 ,若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关 .6两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件
3、充要条件线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考: 若中有一个恒为 0 , 则必线性相关相关7定理定理 2 若是二阶线性齐次方程(1)的两个线性无关特解 , 则是该方程的例如例如, 方程有特解且常数则方程的通解为通解.8二二. 二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解 , 是相应齐次方程(2)的通解.定理定理 3 设则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端 , 得故是非齐次方程的解 , 又Y 中含有两个独立任意常数 , 从而也是通解 .例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为9定理定理 4 设分别是方程的特解 , 则是方程的特解 .设是对应齐次方程的 n 个线性无关的特解 , 定理定理 5 ( 推广 ) 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解 , 则非齐次方程的通解为1011设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解 , 是任意常数 , 则该方程的通解是 ( ) .例例2 .提示提示:都是对应齐次方程的解, 且线性无关, 因为假设它们线性相关 , 则有即从而推出线性相关 , 与已知条件矛盾.12三、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；1314练练 习习 题题 1516练习题答案练习题答案
