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1、b b、质点系的动能、质点系的动能a a、质点的动能、质点的动能8.3 8.3 动能定理动能定理 8.3.1 8.3.1 8.3.1 动能动能动能 功功功 势能势能势能(1) (1) 质点系动能的一般概念质点系动能的一般概念1. 1. 动能动能 动能是标量，恒为正值，它取决于质点的质量与速度的大小，动能是标量，恒为正值，它取决于质点的质量与速度的大小，而与速度的方向无关。而与速度的方向无关。在国际单位制中动能的单位为在国际单位制中动能的单位为J。u 运用运用柯尼希（柯尼希（KoenigKoenig）定理）定理常常可以简化质点系动能常常可以简化质点系动能的计算。的计算。 是质点系随质心平移的动能
2、，亦是质点系随质心平移的动能，亦可称为可称为牵连运动动能；牵连运动动能； 是质点系相对质心转动的动能，亦可是质点系相对质心转动的动能，亦可称为称为相对运动动能；相对运动动能；或或或 （a）平移刚体的动能）平移刚体的动能（b）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能 即即 即即 (2) (2) 刚体的动能刚体的动能 即即: :平面运动刚体的动能等于随平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。能之和。若速度瞬心为若速度瞬心为P（c）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动功是代数量功是代数量2
3、. 功功 （1）功的一般概念）功的一般概念单位单位 J（焦耳）焦耳） 1 J = 1 Nm a、常力在直线运动中的功、常力在直线运动中的功b、变力在曲线运动中的功记力F 在M1M2路程上的功为元功（2 2 2）质点系的内力的功）质点系的内力的功）质点系的内力的功若在若在若在d d dt t t时间内，时间内，时间内，A A A、B B B两点的无限两点的无限两点的无限小的位移分别是小的位移分别是小的位移分别是d d dr r rA AA与与与d d dr r rB BB，则内，则内，则内力在该位移上的元功之和为力在该位移上的元功之和为力在该位移上的元功之和为d d dr r rABABAB可以
4、分解为平行于可以分解为平行于可以分解为平行于F F FB BB与垂直于与垂直于与垂直于F F FB BB的两部分，即的两部分，即的两部分，即内力元功之和内力元功之和内力元功之和 当当当当当当A A A、B B B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。的距离变化时，内力的元功之和不等于零。的距离变化时，内力的元功之和不等于零。的距离变化时，内力的元功之和不等于零。的距离变化时，内力的元功之和不等于零。的距离变化时，内力的元功之和不等于零。 工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的刚度系数为刚度系数为刚度系
5、数为k k k，l l l0 00为自由长度，为自由长度，为自由长度，l l l是任一位置时弹簧的长是任一位置时弹簧的长是任一位置时弹簧的长度，则弹簧在此位置的变形量度，则弹簧在此位置的变形量度，则弹簧在此位置的变形量对于线性弹簧，在此位置的弹簧力对于线性弹簧，在此位置的弹簧力对于线性弹簧，在此位置的弹簧力因此，因此，因此，弹簧力的功弹簧力的功弹簧力的功为为为 设质点系内任一质点的质量为设质点系内任一质点的质量为设质点系内任一质点的质量为m m mi ii，当它由初位置点，当它由初位置点，当它由初位置点A A Ai ii（3 3 3） 质点系的外力（主动力）的功质点系的外力（主动力）的功质点系
6、的外力（主动力）的功 质点系的重力的功质点系的重力的功质点系的重力的功重力作功为重力作功为重力作功为设质点系的总质量为设质点系的总质量为设质点系的总质量为m m m，质心为点，质心为点，质心为点C C C质点系的重力的功质点系的重力的功质点系的重力的功 质点系的重力作的功，仅与质点系的质心的高度变质点系的重力作的功，仅与质点系的质心的高度变质点系的重力作的功，仅与质点系的质心的高度变化有关，而与质点系的运动轨迹无关。化有关，而与质点系的运动轨迹无关。化有关，而与质点系的运动轨迹无关。 运动到末位置点运动到末位置点运动到末位置点B B Bi ii 作用在平移刚体上的力的功作用在平移刚体上的力的功
7、作用在平移刚体上的力的功 设力设力设力F F F在质点系上的作用点的速度为在质点系上的作用点的速度为在质点系上的作用点的速度为v v v，则在时间，则在时间，则在时间d d dt t t内，力内，力内，力F F F的元功为的元功为的元功为 刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同，刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同，刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同，则作用在刚体上的力系的元功为则作用在刚体上的力系的元功为则作用在刚体上的力系的元功为 作用在平移刚体上的力系的功等于力系向质心简化作用在平移刚体上的力系的功等于力系向质心简化作用在平移刚体上的力系的功等于力系向质心简化的等
8、效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作的功。的功。的功。 作用在定轴转动刚体上的力的功作用在定轴转动刚体上的力的功作用在定轴转动刚体上的力的功作用在定轴转动刚体上的力系的元功为作用在定轴转动刚体上的力系的元功为作用在定轴转动刚体上的力系的元功为 作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚简化的等效力偶（其力偶矩
9、为力系对转轴的主矩）在刚体的角位移上所作的功。体的角位移上所作的功。体的角位移上所作的功。刚体从转角刚体从转角刚体从转角j j j1 11 转动到转动到转动到j j j2 22的过程中，力系作的功为的过程中，力系作的功为的过程中，力系作的功为 作用在平面运动刚体上的力的功作用在平面运动刚体上的力的功作用在平面运动刚体上的力的功 刚体作平面运动时，可将刚体的运动分解为随质心的刚体作平面运动时，可将刚体的运动分解为随质心的刚体作平面运动时，可将刚体的运动分解为随质心的平移与绕质心轴的转动，由以上平移刚体上力的功与定平移与绕质心轴的转动，由以上平移刚体上力的功与定平移与绕质心轴的转动，由以上平移刚体
10、上力的功与定轴转动刚体上力的功，可得作用于平面运动刚体上的力轴转动刚体上力的功，可得作用于平面运动刚体上的力轴转动刚体上力的功，可得作用于平面运动刚体上的力系的元功为系的元功为系的元功为 作用在平面运动刚体上的力系的功等于力系向质心作用在平面运动刚体上的力系的功等于力系向质心作用在平面运动刚体上的力系的功等于力系向质心简化的等效力与等效力偶作功之和。简化的等效力与等效力偶作功之和。简化的等效力与等效力偶作功之和。 这个结论也适用于作一般运动的刚体，而且计算这个结论也适用于作一般运动的刚体，而且计算这个结论也适用于作一般运动的刚体，而且计算功时基点不限于质心，可以是刚体上的任意一点。功时基点不限
11、于质心，可以是刚体上的任意一点。功时基点不限于质心，可以是刚体上的任意一点。（4 4 4） 约束力的功约束力的功约束力的功 约束力可以是质点系的外力，也可以是内力。光约束力可以是质点系的外力，也可以是内力。光约束力可以是质点系的外力，也可以是内力。光滑接触面、柔索、光滑铰链、固定端等等各种在第滑接触面、柔索、光滑铰链、固定端等等各种在第滑接触面、柔索、光滑铰链、固定端等等各种在第2 2 2章章章中介绍的约束，在不计摩擦的情况下的元功之和皆为零。中介绍的约束，在不计摩擦的情况下的元功之和皆为零。中介绍的约束，在不计摩擦的情况下的元功之和皆为零。约束力元功之和为零的约束称为约束力元功之和为零的约束
12、称为约束力元功之和为零的约束称为理想约束理想约束理想约束。 含有摩擦的约束一般不是理想约束含有摩擦的约束一般不是理想约束含有摩擦的约束一般不是理想约束。通常，摩擦力。通常，摩擦力。通常，摩擦力与物体的相对位移反向，所以摩擦力作负功。但是，如与物体的相对位移反向，所以摩擦力作负功。但是，如与物体的相对位移反向，所以摩擦力作负功。但是，如果摩擦力与相对位移同向，摩擦力作正功。物体在粗糙果摩擦力与相对位移同向，摩擦力作正功。物体在粗糙果摩擦力与相对位移同向，摩擦力作正功。物体在粗糙表面纯滚动时，由于接触点为瞬心，此时滑动摩擦力不表面纯滚动时，由于接触点为瞬心，此时滑动摩擦力不表面纯滚动时，由于接触点
13、为瞬心，此时滑动摩擦力不作功；作功；作功；在不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约在不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约在不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。束。束。3.3.3.势力场与势能势力场与势能势力场与势能 如果物体在某空间内的任一位置都受到一个大小和如果物体在某空间内的任一位置都受到一个大小和如果物体在某空间内的任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则这部分空间称方向完全由所在位置确定的力的作用，则这部分空间称方向完全由所在位置确定的力的作用，则这部分空间称为为为力场力场力场。 物体在力场中运动时，如果作用于物体的力所作的物体在力场中运动时，如果作用
14、于物体的力所作的物体在力场中运动时，如果作用于物体的力所作的功只与力作用点的初位置和末位置有关，而与该点的轨功只与力作用点的初位置和末位置有关，而与该点的轨功只与力作用点的初位置和末位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为迹形状无关，这种力场称为迹形状无关，这种力场称为势力场势力场势力场，或，或，或保守力场保守力场保守力场。在势。在势。在势力场中，物体受到的力称为力场中，物体受到的力称为力场中，物体受到的力称为有势力有势力有势力或或或保守力保守力保守力。重力场、。重力场、。重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。弹性力场、万有引力场都是势力场。弹性力场、万有引力场都是势力场。 在势力场中
15、，在势力场中，在势力场中，质点从点质点从点质点从点MMM运动到任选的点运动到任选的点运动到任选的点MMM0 00，有势，有势，有势力所作的功称为质点力所作的功称为质点力所作的功称为质点在点在点在点MMM相对于点相对于点相对于点MMM0 00的势能的势能的势能。以。以。以V V表表表示为示为示为 点点点MMM0 00的势能等于零，称为的势能等于零，称为的势能等于零，称为零势能点零势能点零势能点。在势力场中，。在势力场中，。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点可以势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点可以势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点可以任意选取，对于不同的零势能
16、点，在势力场中同一位任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。置的势能可有不同的数值。置的势能可有不同的数值。（1 1 1） 重力场中的势能重力场中的势能重力场中的势能 重力场中，以铅垂轴为重力场中，以铅垂轴为重力场中，以铅垂轴为z z z轴，轴，轴，z z z0 00处为零势能点。质点于处为零势能点。质点于处为零势能点。质点于z z z坐标处的势能坐标处的势能坐标处的势能V V V等于重力等于重力等于重力mgmgmg由由由z z z到到到z z z0 00处所作的功，即处所作的功，即处所作的功，即（2 2 2） 弹性力
17、场中的势能弹性力场中的势能弹性力场中的势能 以变形量为以变形量为以变形量为d d d0 00处为零势能点，则变处为零势能点，则变处为零势能点，则变形量为形量为形量为d d d处的弹簧势能处的弹簧势能处的弹簧势能V V V为为为 如果取弹簧的自然位置为零势如果取弹簧的自然位置为零势如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有能点，则有能点，则有 （3 3 3） 质点系的势能质点系的势能质点系的势能 若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系的自的零势能点。质点系的自的零势能点。质点系的“零势能位
18、置零势能位置零势能位置”是各质点都处是各质点都处是各质点都处于其零势能点的一组位置。于其零势能点的一组位置。于其零势能点的一组位置。质点系从某位置到其质点系从某位置到其质点系从某位置到其“零势零势零势能位置能位置能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。质点系在该位置的势能。质点系在该位置的势能。例如质点系在重力场中各质点的例如质点系在重力场中各质点的例如质点系在重力场中各质点的z z z坐标为坐标为坐标为时为零势能点位置，则各质点时为零势能点位置，则各质点时为零势能点位置，则各质点z
19、z z坐标为坐标为坐标为时的势能为时的势能为时的势能为质点系的重力势能可写为质点系的重力势能可写为质点系的重力势能可写为(4) (4) (4) 有势力的功有势力的功有势力的功 设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点点点MMM1 11到点到点到点MMM2 22，该力所作的功为，该力所作的功为，该力所作的功为WWW121212。若取。若取。若取MMM0 00为零势能点，为零势能点，为零势能点，则从则从则从MMM1 11到到到MMM0 00和从和从和从MMM2 22到到到MMM0 00有势力所作的功分别为
20、有势力所作的功分别为有势力所作的功分别为MMM1 11和和和MMM2 22位置的势能位置的势能位置的势能V V V1 11和和和V V V2 22。因有势力的功与轨迹形状无关，而。因有势力的功与轨迹形状无关，而。因有势力的功与轨迹形状无关，而由由由MMM1 11经过经过经过MMM2 22到达到达到达MMM0 00时，有势力的功为时，有势力的功为时，有势力的功为由于由于由于所以，有所以，有所以，有有势力所作的功等于质点系在运动有势力所作的功等于质点系在运动有势力所作的功等于质点系在运动过程的初位置与末位置势能之差。过程的初位置与末位置势能之差。过程的初位置与末位置势能之差。4.4.4.功率功率功
21、率 功率是用来衡量作功快慢程度的物理量。力在单功率是用来衡量作功快慢程度的物理量。力在单功率是用来衡量作功快慢程度的物理量。力在单位时间所作的功，称为功率，以位时间所作的功，称为功率，以位时间所作的功，称为功率，以P P P表示。在国际单位制表示。在国际单位制表示。在国际单位制中，功率的单位为中，功率的单位为中，功率的单位为WWW（瓦特），或（瓦特），或（瓦特），或kWkWkW（千瓦）。（千瓦）。（千瓦）。 v v v是力是力是力F F F的作用点速度。功率与功一样是个代数量。的作用点速度。功率与功一样是个代数量。的作用点速度。功率与功一样是个代数量。作用在定轴转动刚体上的力或力偶的功率为作用
22、在定轴转动刚体上的力或力偶的功率为作用在定轴转动刚体上的力或力偶的功率为 M M Mz zz为力对转轴为力对转轴为力对转轴z z z的力矩或力偶矩矢在转轴的力矩或力偶矩矢在转轴的力矩或力偶矩矢在转轴z z z上的投上的投上的投影，影，影，w w w是转动角速度。是转动角速度。是转动角速度。 8.3.2 8.3.2 8.3.2 动能定理动能定理动能定理1. 1. 1. 质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。质点动能的增量等于作用在质点上的力的元
23、功。 质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式 设质点在初位置的速度为设质点在初位置的速度为设质点在初位置的速度为设质点在初位置的速度为v v11在末位置的速度为在末位置的速度为在末位置的速度为在末位置的速度为v v22，作，作，作，作用在质点上的力从初位置到末位置作的功为用在质点上的力从初位置到末位置作的功为用在质点上的力从初位置到末位置作的功为用在质点上的力从初位置到末位置作的功为WW1212，则，则，则，则 质点在两个位置的动能的改变量等于作用在质点质点在两个位置的动能的改变量等于作用在质点质点在两个位置的动能的改变量等于作用在质点上的力在
24、这两个位置之间所作的功上的力在这两个位置之间所作的功上的力在这两个位置之间所作的功 2. 2. 2. 质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理 质点系动能的增量等于作用在质点系上的全部力的元质点系动能的增量等于作用在质点系上的全部力的元质点系动能的增量等于作用在质点系上的全部力的元功之和。功之和。功之和。质点系动能定理的质点系动能定理的质点系动能定理的微分形式微分形式微分形式uu 动能定理的另一种微分形式动能定理的另一种微分形式动能定理的另一种微分形式功率方程功率方程功率方程 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在质点系上质点系动能对时间的一阶导数等于作用在质点系上质点系动能对时间的一阶
25、导数等于作用在质点系上的全部力的功率的代数和。的全部力的功率的代数和。的全部力的功率的代数和。 对于机器而言，全部功率包含原动机的对于机器而言，全部功率包含原动机的对于机器而言，全部功率包含原动机的输入功率输入功率输入功率，工作部分需要的工作部分需要的工作部分需要的有用功率有用功率有用功率（或（或（或输出功率输出功率输出功率）与能量损耗）与能量损耗）与能量损耗的的的无用功率无用功率无用功率。所以对于机器的功率方程可写为。所以对于机器的功率方程可写为。所以对于机器的功率方程可写为或或或 uu 机器的功率方程机器的功率方程机器的功率方程 uu 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式质点系
26、动能定理的积分形式 质点系在两个位置的动能的改变量等于作用在质点质点系在两个位置的动能的改变量等于作用在质点质点系在两个位置的动能的改变量等于作用在质点系上的全部力在这两个位置之间所作的功的代数和系上的全部力在这两个位置之间所作的功的代数和系上的全部力在这两个位置之间所作的功的代数和 3. 3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能机械能机械能。 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律 质点系仅受有势力作用时，其机械能保持不变。质点系仅受有势力作用时，其机械能
27、保持不变。质点系仅受有势力作用时，其机械能保持不变。 仅受有势力作用的质点系称为仅受有势力作用的质点系称为仅受有势力作用的质点系称为保守系统保守系统保守系统。如果质。如果质。如果质点系还受到非有势力作用，则称为点系还受到非有势力作用，则称为点系还受到非有势力作用，则称为非保守系统非保守系统非保守系统。非保。非保。非保守系统的机械能是不守恒的。但是从能量的观点看，守系统的机械能是不守恒的。但是从能量的观点看，守系统的机械能是不守恒的。但是从能量的观点看，机械能不守恒只说明机械能与其它形式的能量发生了机械能不守恒只说明机械能与其它形式的能量发生了机械能不守恒只说明机械能与其它形式的能量发生了相互转
28、换，系统的总能量仍是守恒的。相互转换，系统的总能量仍是守恒的。相互转换，系统的总能量仍是守恒的。 8.3.3 8.3.3 8.3.3 动能定理的应用动能定理的应用动能定理的应用 在三个动力学普遍定理中，只有动能定理是标量方在三个动力学普遍定理中，只有动能定理是标量方在三个动力学普遍定理中，只有动能定理是标量方程，而且动能定理可以不必考虑理想约束力，在计算中程，而且动能定理可以不必考虑理想约束力，在计算中程，而且动能定理可以不必考虑理想约束力，在计算中使用比较方便，因此在使用比较方便，因此在使用比较方便，因此在解决动力学问题时，常常可以优解决动力学问题时，常常可以优解决动力学问题时，常常可以优先
29、考虑使用动能定理先考虑使用动能定理先考虑使用动能定理。其。其。其积分形式积分形式积分形式常用于分析两个不同常用于分析两个不同常用于分析两个不同位置的速度变化问题，其位置的速度变化问题，其位置的速度变化问题，其微分形式的功率方程微分形式的功率方程微分形式的功率方程常用于分常用于分常用于分析与加速度有关的问题。但是由于动能定理只提供一个析与加速度有关的问题。但是由于动能定理只提供一个析与加速度有关的问题。但是由于动能定理只提供一个标量方程，所以在有些比较复杂的问题中标量方程，所以在有些比较复杂的问题中标量方程，所以在有些比较复杂的问题中必须与其它方必须与其它方必须与其它方程结合使用程结合使用程结合
30、使用。求求:冲断试件需用的能量。冲断试件需用的能量。已知：已知：冲击试验机冲击试验机m=18kg=18kg，l=840=840mm, , 杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至例题例题得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为解解: 研究摆锤，由动能定理研究摆锤，由动能定理已知已知: :两均质轮两均质轮m , ,R ; ; 物块物块m ,纯滚动纯滚动, ,于弹簧原长处无于弹簧原长处无 初速释放初速释放. .求：重物下降求：重物下降h时速度和加速度。时速度和加速度。例题例题解解: 研究系统，设重物速度为研究系统，设重物速度为v将式（将式（a a）对）对t t 求导求导（a）得得
