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1、随机试验的三个特点 1. 可以在相同条件下重复进行；2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验记作 E。若无特别申明,以后提到的试验均指随机试验 样本点 : E的每一个可能结果。记 。样本空间: E的全体组成的集合。记 S。随机事件: E所产生的结果，即S的子集。记 A, B, C基本事件: 只包含一个试验结果的事件，即单点集。记。例 掷一枚硬币，观察其正、反面出现的情况。令1“出现正面”， 2“出现反面”，则S1 ， 2例 将一枚硬币连掷两次，观察其正、反面出现的情况。令1(正，正)， 2 (正，反)， 3 (
2、反，正)， 4 (反，反)，则S1 ， 2 ， 3 ， 4例 掷一颗骰子，观察其出现的点数。该试验共有6个基本事件，i=“出现的点数为i”，则S 1，2，3，4，5，6 若设A=“出现的点数为偶数”，B =“出现的点数小于5”，则A=2，4，6，B=1，2，3，4例 测量某块地中玉米的株高。（单位：厘米）则Sx|a xb 必然事件 : 每次试验都发生的事件，即全集、样本空间。记 S。不可能事件: 每次试验都不发生的事件，即空集。记 。例 掷一颗骰子，观察其出现的点数。该试验共有6个基本事件，i=“出现的点数为i”，则S 1，2，3，4，5，6 若设A=“出现的点数小于8”，B =“出现的点数小
3、于1”，则A是必然事件，B是不可能事件。 1.事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A, 或称事件A包含于事件B。记作BA 或A B。2.事件的相等 如果A B且B A, 即事件A与B中任一事件的发生必然导致另一事件的发生, 则称事件A与B相等。 记A=B。例 将一枚硬币连掷两次，观察其正、反面出现的情况。令1(正，正)， 2 (正，反)， 3 (反，正)， 4 (反，反)，则S1 ， 2 ， 3 ， 4设A“只出现一次反面”,B= “至少出现一次反面”,则A=2 ， 3，B1 ， 2 ， 3，于是AB。例 掷一颗骰子，观察其出现的点数。该试验共有6个基本事件，i=
4、“出现的点数为i”，则S 1，2，3，4，5，6 若设A=“出现的点数为偶数”，B=2，4，6，则A=B3.事件的和 事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与B的和。记作AB。 n个事件A1，A2，An中至少有一个发生的事件称为A1，A2，,An的和，记作 可列个事件A1，A2，An中至少有一个发生的事件称为A1，A2，An的和，记作4.事件的积 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与B的积。记作AB或AB。 n个事件A1，A2，An同时发生的事件称为A1，A2，An的积，记作 可列个事件A1，A2，An同时发生的事件称为A1，A2，An的积，记作例 将一枚硬币连掷两次，观察其正、反面
5、出现的情况。令1(正，正)， 2 (正，反)， 3 (反，正)， 4 (反，反)，则S1 ， 2 ， 3 ， 4若设A=2 ， 3，B1 ， 2 ， 3，则AB=1 ， 2 ， 3,AB=2 ， 3。5.事件的差 事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记作AB。6.互不相容事件 如果事件A与事件B不能同时发生, 即AB=, 则称事件A与事件B是互不相容的(或互斥的)。7.对立事件 如果事件A与事件B互不相容，并且它们中必有一事件发生，即则称事件A与事件B为对立事件（或逆事件），记作 例 某人打靶并观察击中的环数. 令i=“击中i环”表示基本事件(i=0,1, ,9).A=“击中
6、的环数为奇数”，B=“击中的环数等于5”，C=“击中的环数为小于5 的偶数”.试用集合的列举表示法表示下列事件：频率定义 若在相同条件下进行的n次试验中，事件A发生了nA次，则称为事件A在n次试验中出现的频率，nA 称为事件A 的频数。频率具有下述性质：1. 0fn(A) 1；2.fn(S)=1；3.有限可加性 设A1, A2, , An是两两不相容的事件, 则定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(.)满足下列条件：1.0P(A) 1；2.P(S)=1；3.设A1, A2, 是两两不相容的事件, 则 性质1 不可
7、能事件的概率等于0, 即 P()=0。 性质2 有限可加性 设A1, A2, , An是两两不相容的事件, 则 性质3 若B A, 则 P(AB)=P(A) P(B)。 性质4 任何事件A的概率介于0到1之间，即 0P（A）1 。性质5 对任何事A, 性质6 对于任意事件A, B有概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB) 如果随机试验具有以下两个特点：（1）试验的基本事件的总数是有限的，即 =1，2，n；（2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即则称此试验为古典概型。假设随机试验为古典概型，它的基本事件空间中含有n个基本事件，而事件A是由某k个基本事件组成，则事件A的概率公式
8、为例 将一枚硬币连抛2次，设事件A=“恰有一次出现正面”。求P(A)。例 从一批由90件正品、3件次品组成的产品中任取一件，求取得正品的概率。例 上例中连续地任意抽取两件产品，第一次取出的产品不放回去，再抽取第二件产品，求第一次取得次品且第二次取得正品的概率。例 三人被等可能地分配到四个宿舍中的每一间中，试求：(1)三人都分在同一个宿舍的概率；(2)三人分配在不同宿舍的概率。例 设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求例 从0,1,2,9十个数中任取一个，设事件B=“取得的数为3的倍数”，A=“取得的数小于8”。 (1)求P(B)； (2)求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，记为
9、P(B|A) 。定义 设A、B为随机试验E的二事件，且P（A）0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。例 一盒中混有新旧二种乒乓球，在新乒乓球中有白色的40只，红色的30只；在旧乒乓球中有白色的20只，红色的10只。在盒中任取一只发现是新的，问这个球是白色的概率是多少？乘法定理 设P（B）0，则 P（AB）= P（B）P（A | B）。 设P（A） 0，则 P（AB）= P（A）P（B | A）。乘法公式对多个事件的情形： P（A1A2A3An）= P(A1)P(A2 |A1)P(A3 |A1A2) P(An|A1A2An-1)例 100件产品中有5件是不合格品，用下列两种方法抽取
10、2件，求2件都是合格品的概率：(1)不放回抽取；(2)放回抽取。例 盒中有三个阄，其中只有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记Ai=“第i个人抓到有物之阄”,求P(Ai)(i=1,2,3).例 甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，现从甲箱中任取1个球放入乙箱中，然后从乙箱中任取1球，问从乙箱取得白球的概率是多少？定义 设S为试验E的样本空间， B1，B2 ， Bn为E的一组事件，若() BiBj=，ij，i,j=1,2, ,n；() B1B2 Bn= S，则称B1，B2， Bn为样本空间S的一个划分。定理 设S为试验E的样本空间，A为E的事件，B1,B2 ,Bn为E
11、的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,n)，则有全概率公式。例 一个工厂有甲、乙丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量占总产品的25、35 、40 ，如果每个车间成品中的次品率分别占产品的5 、4 、2 .(1)从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率；(2)从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？定理 设S为试验E的样本空间，A为E的事件，B1,B2 ,Bn为E的一个划分，且P(A)0，(Bi)0(i=1,2,n)，则有贝叶斯公式。定义 如果对于事件A、B有 P(AB)= P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。定理 设A、B是两事件，且P(A)0，则A、B相互独立P(B|A)=P(B)。结论：若P(A)0， P(B)0，则A、B相互独立与A、B 互不相容不能同时成立。定理 若A与B相互独立，则有分别相互独立。例 甲、乙、丙三人同时彼此独立地向同一目标射击，已知三人射中的概率分别为0.4，0.5和0.7，求目标被击中的概率。例 已知一批玉米种子的出苗率为 0.9，现穴种两粒，求一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 定义 如果对于事件A、B、C有 P(AB)= P(A)P(B)P(BC)= P(B)P(C)P(AC)= P(A)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。
