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1、-一元二次方程综合复习知识点 1一元二次方程概念定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2 次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。注意点：一元二次方程是整式方程；方程中只含有一个未知数；化为一般形态后，未知数的最高次数为2 次。【例 1】下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为_。k2x5k6=02x2113x ；3x2 2=0；42𝑥3x22x2 = 0；( 3x )2=1；4x25=( x1 )( 4x3 )【例 2】已知关于 x 的方程(m21)x2(m1)xm=0.(1)m 为何值时，此方程是一元一次方程?(2)m 为何值时，此方程是一
2、元二次方程?知识点 2一元二次方程的解能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根） 。判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 只需将这个数值分别代入一元二次方程的左右两边， 看方程两边的值是否相等， 若相等， 则是方程的解； 若不相等， 则不是方程的解。【例 3】关于 x 的一元二次方程（a1）x2x|a|1=0 的一个根是 0，则实数 a 的值为（）A.1B.0C.1D.1 或 1-知识点 3一元二次方程的解法用因式法解法解下列方程【例 4】x2=3x用开平方法解下列方程【例 5】4x2=9用配方法解下列方程【例 6】x28x9=0-用公式法解下列方程一元二次方程求根
3、公式：【例 6】3x2x1=0知识点 4一元二次方程的根的判别式当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=𝑏2𝑎当 b24ac0 时，无意义，故方程没有实数根。【例 7】不解方程，判断下列方程根的情况3x22=26x；x2x1=0；x22mxm2=0（x 为未知数）-【例 8】已知关于 x 的一元二次方程=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。知识点 5一元二次方程的应用数字问题【例 9】一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数。利润问题【例 10】单位利润=
4、单位售价单位进价；总利润=单位利润销售量将进价为 40 元的商品按 50 元售出时，能卖出 500 个，经市场调查得知，该商品每涨价 1元，其销售量就减少 10 个，为了赚取 8000 元的利润，每个商品的售价应定为多少元?-增长率问题题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1x)，二次增长后的值为 a(1x)2，以此类排，n 次增长后的值为 a(1x)n.如果增长后的值为 b，则可列方程为：b=a(1x)n.降低率问题：设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a(1x)，二次降低后的值为 a(1x)2，以此类推，n 次降低后的值为 a(1x)n.如果降低后的值为 b则可列
5、方程为:b=a(1x)n.【例 11】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为 2.6 万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为 x.用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为_万元。如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.结合图像根据图形中的线段长度、 面积之间的相互关系建立方程， 从而实现利用一元二次方程解决实际问题的目的。【例 12】如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求
6、羊圈的边长AB，BC 各为多少米?例 12-知识点 6一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2bxc=0（a0）的两个根式 x1，x2，那么 x1x2= ，x1x2= 。𝑎𝑏𝑐𝑎【例 13】不解方程22x 4x 3 = 0，求两根之和与两根之积.1. 下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（）A. ax2bxc=0B. (x2)(x3)=(x1)2C. x21=0D. x=1𝑥12.一元二次方程 3x25x=7 的一次项系数和常数项分别是（）A.5，7B.5，7C.5，0D.3，53. k 为何值
7、时，关于 x 的方程（k3） （k1）x2（k1）x5=0.（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？4.选择适当的方法解一元二次方程3x(x5)=5(x5)3x2=4x15x2=4x1(x5)236=0-5.6. 已知关于 x 的方程 k2x2(2k1)x1=0 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。7. 已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，请判断关于x 的方程(ab)x22cx(ab)=0 根的情况已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，且方程 x22(bc)x(ab)(ca)=0 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状。-8. 如图，在ABC 中B=90，AB=5cm，BC=7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后PBQ 的面积等于 4cm2？（2）在（1）中PBQ 的面积能否等于 7？请说明理由第 8 题9.10. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2mx2m1=0 的两根的平方和是 294，求 m 的值。-
