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1、 Probability概率论起源于对赌博问题的研究概率论起源于对赌博问题的研究17世纪中，一法国赌徒向世纪中，一法国赌徒向帕斯卡帕斯卡（法国）提出的（法国）提出的赌博问题赌博问题。甲、乙两人赌技相同。各出甲、乙两人赌技相同。各出50法郎法郎作为赌本。赌局中无平局。规定：作为赌本。赌局中无平局。规定：谁先赢谁先赢3局谁将赢取全部赌注。当甲局谁将赢取全部赌注。当甲赢了两局、乙赢了一局时，赌局赢了两局、乙赢了一局时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。分配赌注才算公平合理。返回返回因此甲应该拿全部奖金的因此甲应该拿全部奖金的3/4（ ），即），即7
2、5法郎，而乙将拿法郎，而乙将拿25法郎。法郎。解法解法1（费马）：（费马）：若再比一场，这场将有两种结果：若再比一场，这场将有两种结果：两种情况出现的可能性相同，两种情况出现的可能性相同，甲胜和乙胜，甲胜和乙胜，若甲胜了，则甲拿全部奖金，若乙胜了，则不再若甲胜了，则甲拿全部奖金，若乙胜了，则不再比下去的话，甲和乙应该平分奖金，比下去的话，甲和乙应该平分奖金，解法解法2（帕斯卡）：（帕斯卡）：若再比两场，必将最终决出胜负。把未来的两若再比两场，必将最终决出胜负。把未来的两场的所有可能结果列出有：场的所有可能结果列出有：甲胜甲胜，甲胜甲胜，甲胜乙胜，甲胜乙胜，乙胜甲胜，乙胜甲胜，乙胜乙胜，乙胜乙胜
3、，最终甲胜最终甲胜最终乙胜最终乙胜故甲胜的故甲胜的机遇机遇有有3/4，乙胜，乙胜的的机遇机遇有有1/4。甲应该拿甲应该拿75法法郎，乙拿郎，乙拿25法法郎。郎。随机事件及其概率随机事件及其概率第一章第一章 确定性现象：确定性现象：结果总是确定的现象。结果总是确定的现象。随机现象：随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。结果的现象。确定性现象确定性现象 随机现象随机现象自然界与社会生活中的两类现象自然界与社会生活中的两类现象1.1 随机事件随机事件一、随机现象一、随机现象u确定性现象确定性现象 Certainty phenomenan 在在1标准大气压下
4、，将纯净水加热到标准大气压下，将纯净水加热到 100时必然沸腾时必然沸腾n 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 u随机现象随机现象 Random phenomenan掷一颗骰子，可能出现掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点点n抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果两种不同的结果概率论就是研究概率论就是研究随机现象随机现象的的统计规律性统计规律性的数学学科。的数学学科。二、随机试验二、随机试验 random Experiments1.可重复性可重复性：试验在相同的条件下可重复进行：试验在相同的
5、条件下可重复进行;2.可观察性可观察性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以确定试验的所有可能结果试验之前可以确定试验的所有可能结果;3. 不确定性不确定性：每次试验前不能准确预言试验后会出现哪：每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果一种结果 满足以下三点性质的随机现象称为满足以下三点性质的随机现象称为随机试验随机试验，简称，简称试验试验.记为记为E。三、三、 样本空间样本空间n样本点样本点 Sample Pointn 样本空间样本空间 Sample Space 随机试验中每一个可能发生的基本结果称随机试验中每一个可能发生的基本结果称为这
6、个试验的一个为这个试验的一个 样本点样本点 ，记作，记作 全体样本点组成的集合称为这个试验的全体样本点组成的集合称为这个试验的样本样本空间空间，记作，记作S或或即即（1）如果观察取出球的颜色；）如果观察取出球的颜色；（2）如果观察取出球的号码；）如果观察取出球的号码； (若白球记为若白球记为1，2，3号，黑球记为号，黑球记为4，5号号)例例2: 从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球例例1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数或者也可以简写为或者也可以简写为 S=1，2，3，4，5，6n写出下列试验的样本空间写出下列试
7、验的样本空间 例例2: 从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球（1）如果观察取出球的颜色；）如果观察取出球的颜色；（2）如果观察取出球的号码；）如果观察取出球的号码； (若白球记为若白球记为1，2，3号，黑球记为号，黑球记为4，5号号) 例例2: 从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球从装有三个白球与两个黑球的袋中任取两个球（1）如果观察取出球的颜色；）如果观察取出球的颜色；（2）如果观察取出球的号码；）如果观察取出球的号码； (若白球记为若白球记为1，2，3号，黑球记为号，黑球记为4，5号号)或者也可以写为或者也可以写为S=| 0+=0, +) 例
8、例4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命t例例3: 观察放射性物质在一段时间内放射的粒子数观察放射性物质在一段时间内放射的粒子数n写出下列试验的样本空间写出下列试验的样本空间或者也可以简写为或者也可以简写为 S= 0，1，2， n 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果叫做在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果叫做随随机事件机事件(random Events ) 简称事件。简称事件。n 随机事件通常用大写英文字母、等表示随机事件通常用大写英文字母、等表示例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上正面向上”是是一一
9、个随机事件，可用个随机事件，可用“正面向上正面向上”(或或正面正面向上向上)表示此时表示此时A是一个随机事件。是一个随机事件。 四、随机事件四、随机事件 random Events两个特殊事件两个特殊事件n 必然事件必然事件：在每次试验的结果中，某事件一定发生，：在每次试验的结果中，某事件一定发生，则该事件称为必然事件用字母则该事件称为必然事件用字母S(或或 )表示。表示。 n不可能事件不可能事件：在每次试验的结果中，某事件一定不发：在每次试验的结果中，某事件一定不发生，则该事件称为不可能事件用字母生，则该事件称为不可能事件用字母 表示。表示。为讨论方便，以上两个确定性事件均看作两个特殊的为讨
10、论方便，以上两个确定性事件均看作两个特殊的随机事件。随机事件。 “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为为 必然事件。必然事件。n例例“抛掷一颗骰子，出现的点数大于抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是是 不可能事件不可能事件n例例 在随机试验中，考虑在随机试验中，考虑随机事件与样本空间随机事件与样本空间的关系的关系 随机事件随机事件A = “出现奇数点出现奇数点”由三个样本点由三个样本点 “出出现现1点点”、“出现出现3点点” 、 “出现出现5 点点” 组合而成。组合而成。 任何一个事件都可以用任何一个事件都可以用样样本空间本空间S S的某一个子集表示的某一个子集表示
11、五、事件的集合表示五、事件的集合表示（Random Events)Random Events) 例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现出现1点点”、“出现出现2点点”、.、“出现出现6 点点”为该为该试验的样本点试验的样本点 属于事件属于事件A的样本点出现，则称事件的样本点出现，则称事件A发生。发生。 A=1，3，5反过来，反过来，样样本空间本空间S S的任何一个子集都表示某个事件的任何一个子集都表示某个事件仅含一个样本点的事件称为仅含一个样本点的事件称为基本事件基本事件 n 基本事件基本事件 即样本空间中的由单样本点所构成的子集都是一个即样本空
12、间中的由单样本点所构成的子集都是一个基本事件基本事件 例如，例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现出现1点点”、“出现出现2点点”、.、“出现出现6 点点”为该为该试验的基本事件试验的基本事件 含有两个或两个以上样本点的事件称为含有两个或两个以上样本点的事件称为复合事件复合事件 n 复合事件复合事件 从样本空间的角度研究必然事件从样本空间的角度研究必然事件Certainty Eventsn必然事件必然事件样本空间样本空间S也也是其自身的一个子集是其自身的一个子集S也是一个特殊也是一个特殊“随机随机”事件事件每次试验中必定有每次试验中必定有S中的一个样本
13、点出现中的一个样本点出现必然发生必然发生记作记作S（ ）从样本空间的角度研究不可能事件从样本空间的角度研究不可能事件Impossible Event空集空集也是样本空间的一个子集也是样本空间的一个子集不包含任何不包含任何样本点本点 n不可能事件不可能事件也是一个特殊的也是一个特殊的“随机随机”事件事件不可能发生不可能发生 记作记作 试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况u 随机事件随机事件=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTA=“正面出现两次正面出现两次”=HHT,HTH,THHB=“反面出现三次反面出现三次
14、”=TTTC=“正反次数相等正反次数相等”= D=“正反次数不等正反次数不等”= S ()根据随机试验写出试验的样本空间和给定的随机事件：根据随机试验写出试验的样本空间和给定的随机事件：设设H表示出现正面，表示出现正面，T表示出现反面，则表示出现反面，则随机试验：抛掷两颗骰子随机试验：抛掷两颗骰子 Rolling two die抛掷两颗骰子，观察出现的点数抛掷两颗骰子，观察出现的点数n 随机试验随机试验n 试验的样本点和基本事件试验的样本点和基本事件 样本空间样本空间 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（），（1，6），），.，（，（6，1），（），（
15、6，2），），.，（，（6，6）u 随机事件随机事件试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数A=“点数之和等于点数之和等于3”=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=B=“点数之和大于点数之和大于1111” =6=6，66C=C=“点数之和不小于点数之和不小于2 2”D=D=“点数之和大于点数之和大于1212” = = = = S六、六、 事件的关系与运算事件的关系与运算事件事件事件之间的关系与事件的运算事件之间的关系与事件的运算集合集合集合之间的集合之间的关系关系与集合的运算与集合的运算1.事件间的三种关系事件间的三种关系（1 1）包含关系）包含关系（
16、2 2）相等关系）相等关系（3 3）互不相容关系）互不相容关系若若事件发生必然导致事件发生事件发生必然导致事件发生，则称，则称 （1）事件的包含关系（）事件的包含关系（Contain ）BAu 事件的样本点都是事件的样本点事件的样本点都是事件的样本点. .例如例如抛掷一颗骰子，观察出现的点数抛掷一颗骰子，观察出现的点数A=A=出现出现1 1点点 B=B=出现奇数点出现奇数点 事件事件B B包含事件包含事件A A（事件（事件A A包含于事件包含于事件B B）。 记作记作（2）事件的相等关系（）事件的相等关系（Equal）A=BBA事件事件A与事件与事件B含有相同的样本点含有相同的样本点 例如：在
17、投掷一颗骰子的试验中，事件例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点出现偶数点” 与事件与事件“出现出现2，4或或6点点”是相等事件。是相等事件。（3）互不相容）互不相容 (互斥互斥)关系关系 Exclusive若事件若事件A A与事件与事件B B不能同时发生不能同时发生，则称称u 事件事件A A与事件与事件B B没有公共的样本没有公共的样本点点事件事件A与事件与事件B互不相容。互不相容。u n个事件互不相容：中任意两个事件不可能同时发生。2. 事件间的运算事件间的运算（1 1）和运算（并运算）和运算（并运算）（2 2）积运算（交运算）积运算（交运算）（3 3）差运算）差运算（4 4）逆运
18、算）逆运算u 由事件由事件A A与事件与事件B B所有样本点组成的事件称为所有样本点组成的事件称为A A事件事件与与B B事件的和事件事件的和事件。其含义为：事件其含义为：事件A A与事件与事件B B至少有一个发生。至少有一个发生。（1）事件的和）事件的和 Unionu n n个事件的和个事件的和u 可列个事件的和可列个事件的和或者u 由事件和事件的公共样本点组成的事件称为事件由事件和事件的公共样本点组成的事件称为事件A A与与B B的积（交）事件的积（交）事件（2）事件的积）事件的积Intersection记为u n n个事件的积个事件的积其含义为：其含义为：“事件和事件同时发生事件和事件同
19、时发生”u 可列个事件的积可列个事件的积（3）对立事件（互逆事件）对立事件（互逆事件） Contrary其含义为：其含义为：A A与与B B中有且仅有一个发生中有且仅有一个发生. .u 性质性质A的对立事件记作的对立事件记作 若若AB=，且，且 则称事件称事件A与与B互互为对立事件（或互立事件（或互为逆事件）逆事件）.（4）事件的差）事件的差 Differenceu 由属于事件由属于事件A A但不属于事件但不属于事件B B的样本点组成的事的样本点组成的事件称为件称为事件事件A A与与B B的差。的差。其含义为：事件其含义为：事件A A发生且事件发生且事件B B不发生。不发生。性质性质 完备事件
20、组完备事件组是有限或可数个事件，若是有限或可数个事件，若则称这多个事件构成则称这多个事件构成完备事件组完备事件组。 七、事件之间的运算律（运算性质）七、事件之间的运算律（运算性质）u 交换律交换律 u 结合律结合律 u 分配律分配律 u 摩根律摩根律 u 自反律自反律 某射手向目标射击三次，用某射手向目标射击三次，用 表示第表示第 次次击中目标击中目标试用试用 及其运算符表示下列事件及其运算符表示下列事件：（1 1） 三次都击中目标：三次都击中目标： （2 2） 至少有一次击中目标：至少有一次击中目标： （3 3） 恰好有两次击中目标：恰好有两次击中目标： （4 4） 最多击中一次：最多击中一次： （5 5）至少有一次没有击中目标：）至少有一次没有击中目标： （6 6）三次都没有击中目标：）三次都没有击中目标： 例：事件的表示例：事件的表示
