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1、4.3 4.3 复化求积公式复化求积公式4.3.2复化复化Simpson求积公式求积公式4.3. 1 复化梯形求积公式复化梯形求积公式4.3.3复化复化Cotes求积公式求积公式4.3.4 收敛性收敛性4.3.5误差的事后估计与步长的自动选择误差的事后估计与步长的自动选择 典型的复化求积公式包括典型的复化求积公式包括复化梯形求积公式复化梯形求积公式和和复化复化辛普生求积公式辛普生求积公式. . 由上面由上面Newton-Cotes公式易见，当公式易见，当n 较大时不稳定较大时不稳定因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取复复化求积的方法化
2、求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在，即：先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上利用低阶每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值。公式计算积分近似值。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由此然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复化复化求积求积公式。公式。 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：=Tn 称称 Tn为为复化梯形公式复化梯形公式 1 复化梯形求积公式复化梯形求积公式(4.3.1)将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n等份等份
3、，（1） 复化梯形求积公式的构造复化梯形求积公式的构造复化梯形公式积分法的复化梯形公式积分法的几何意义几何意义是曲边梯形面积近是曲边梯形面积近似地用许多小的细条梯形来似地用许多小的细条梯形来代替（如右图）代替（如右图） 从图中可以看出，从图中可以看出，n 越大，则越大，则h 越小，实际面积与近似面越小，实际面积与近似面积的差，即求积误差也就越小积的差，即求积误差也就越小这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不光滑的问题光滑的问题
4、例例4.14 对于函数对于函数试用数据表试用数据表应用应用复化梯形法复化梯形法计算积分计算积分 x f (x)0 11/8 0.99739782/8 0.98961583/8 0.97672674/8 0.95885105/8 0.93615566/8 0.90885167/8 0.87719251 0.8414709 解解 将区间将区间0,1划分为划分为n=8等分等分,h=1/8, 应用应用复化梯形法复化梯形法求得求得01/42/43/41(4.3.2)（2）误差估计）误差估计每个子区间上的误差估计式为每个子区间上的误差估计式为将将n n个子区间的误差相加得个子区间的误差相加得 从从复化梯形
5、求积公式复化梯形求积公式的余项可知的余项可知, ,与相应的与相应的Newton-Newton-CotesCotes求积公式相比求积公式相比, ,复化求积公式复化求积公式一般不能提高代数精一般不能提高代数精度度, ,但它们均具有收敛性但它们均具有收敛性. .定定义义 若若一一个个积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C 0，则则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。显然，复化梯形公式是显然，复化梯形公式是2 阶收敛的；阶收敛的；（3）收敛性）收敛性 先看复化梯形公式先看复化梯形公式, 计算计算Tn时，需计算时，需计算n+1个点个点（它们是积分区间（它们是积分区间a,b的的n等分的分点
6、）上的函数值等分的分点）上的函数值, 当当Tn不不满足精度要求时，根据上面提供的方案，就应将各小区间分半，满足精度要求时，根据上面提供的方案，就应将各小区间分半，计算出新近似值计算出新近似值T2n 。若仍用复化梯形公式计算。若仍用复化梯形公式计算T2n ，就需求出，就需求出2n+1个点（个点（a,b的的2n等分点）上的函数值。等分点）上的函数值。 上面介绍的步长变化的计算方案，虽然提供了估计误差上面介绍的步长变化的计算方案，虽然提供了估计误差与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到避免在同一节点避免在同一节点上重复计算函数值的问题上重复计算函数值的问题，故有
7、进一步改进的余地。，故有进一步改进的余地。（4）复化梯形的递推化（变步长梯形公式）复化梯形的递推化（变步长梯形公式） 而实际上，在这而实际上，在这2n+1个分点个分点中，包含有中，包含有n+1个个n分点，对应分点，对应的函数值在计算的函数值在计算Tn时已算出，现重新来计算这些点上的函数值，时已算出，现重新来计算这些点上的函数值，显然是极不合理的。显然是极不合理的。 为避免这种重复计算，我们来分析新近似值为避免这种重复计算，我们来分析新近似值T2n与原有近与原有近似值似值Tn之间的关系。由复化梯形公式知：之间的关系。由复化梯形公式知：注意到在注意到在2n分点分点 （k=1,2,2n-1)中，中，
8、当当k取偶数时取偶数时， 即为即为n分点，分点，k为奇数时为奇数时， 才是才是新增加的新增加的分分点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有: 由由递推复化梯形公式递推复化梯形公式 (也称为也称为变步长梯形公式变步长梯形公式）可见，在可见，在已计算出已计算出 基础上再计算基础上再计算 时，只要计算时，只要计算n个新分点上的函个新分点上的函数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量几乎节省一半。几乎节省一半。(4.3.3)补例：用补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值
9、复化梯形法的递推公式计算求积分值 ，计算，计算到到T8解解 我们先对整个区间我们先对整个区间0,1使用梯形公式。对于函数使用梯形公式。对于函数 它在它在 的值定义为的值定义为 , 而而 =0.8414709，据梯形公式计，据梯形公式计算得算得 然后用梯形公式的递推化公式然后用梯形公式的递推化公式与例与例4.14直接计算直接计算T8的结果一致。的结果一致。将积分区间将积分区间a,b划分划分为为n等份等份， h=(b-a)/n, 在每个子区间在每个子区间 上用上用 Simpson公式可公式可得得44444= Sn称称Sn为为复化复化Simpson公式公式2 复化复化Simpson求积公式求积公式(
10、4.3.4)复化复化Simpson积分公式的几何意义积分公式的几何意义例例4.14 对于函数对于函数试用数据表，应用试用数据表，应用复化复化Simpson求积公求积公式式计算积分计算积分 x f (x)0 11/8 0.99739782/8 0.98961583/8 0.97672674/8 0.95885105/8 0.93615566/8 0.90885167/8 0.87719251 0.8414709 解：将区间解：将区间0,1 4 等分等分, h=1/4, 应用应用复化复化Simpson求积公式求积公式计算计算,01/42/43/41 比较上面例题分别用复化梯形公式和复化比较上面例题
11、分别用复化梯形公式和复化Simpson公式得到的两个结果公式得到的两个结果T8和和S4,它们都在只提供相同的它们都在只提供相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精然而精度却差别很大度却差别很大. 同积分的同积分的准确值准确值I(f)=0.9460831比较比较,复化梯形法复化梯形法的结果的结果T8=0.9456909只有只有两位有效数字两位有效数字, 而复化而复化Simpson法的结果法的结果S4=0.9460832却有却有六位有效数字六位有效数字.误差估计误差估计每个子区间上的误差估计式为每个子区间上的误差估计式为将每个子区间的误差相加得
12、将每个子区间的误差相加得由闭区间上连续函数的介值性质可知在由闭区间上连续函数的介值性质可知在 a,b 上至少存在一点上至少存在一点 ，使，使 可见可见,当当f(x)有四阶导数时有四阶导数时,复化复化Simpson公式具有公式具有4阶收敛阶收敛.(4.3.5)（4.3.6）3.复化复化Cotes求积公式（求积公式（n 等分等分, 在宽度为在宽度为h的区间的区间 上运用上运用Cotes 公式）公式）复化复化Cotes公式的余项分别为：其中公式的余项分别为：其中a,b当当 h 充分小时又有：充分小时又有：(4.3.7)由此可知，复化由此可知，复化Cotes公式是公式是6阶收敛的；阶收敛的；例例4.1
13、4 对于函数对于函数试用数据表，应用试用数据表，应用复化复化Cotes求积公式求积公式计算积分计算积分 x f (x)0 11/8 0.99739782/8 0.98961583/8 0.97672674/8 0.95885105/8 0.93615566/8 0.90885167/8 0.87719251 0.8414709 解：将区间解：将区间0,1 2等分等分, h=1/2, 应用应用复复化化Cotes求积公式求积公式计算计算,01/21例例4.15分别用复化梯形公式和复化分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算公式计算 时，要时，要 使误差不超过使误差不超过 ，问各取多少个节点？
14、，问各取多少个节点？解：由复化梯形公式的误差公式，令解：由复化梯形公式的误差公式，令由此解得由此解得由复化辛普森公式的误差公式，令由复化辛普森公式的误差公式，令由此解得由此解得 。因此，复化梯形公式取。因此，复化梯形公式取361个节点，个节点，复化复化Simpson公式取公式取19（即（即92+1）个节点。可见，复化）个节点。可见，复化Simpson公式公式明显优于复化梯形公式。明显优于复化梯形公式。练习：练习：分别用复化梯形公式和复化分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算公式计算解：用两种方法求解。先将积分区间解：用两种方法求解。先将积分区间0,1n=8等分（分点及分等分（分点及分
15、点处的函数值见下表），用复化梯形公式得：（点处的函数值见下表），用复化梯形公式得：（h=1/8）再将区间再将区间0，1 4 等分，利用复化等分，利用复化Simpson公式得：公式得：其中其中= 3.138988494其中其中= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同 两种方法都用到表中九个点上的函数值，计算工作量基两种方法都用到表中九个点上的函数值，计算工作量基本相同。但所得计算结果与积分真值本相同。但所得计算结果与积分真值=3.14159265=3.14159265相比较，相比较，复复化化SimpsonSimpson公式所得近似值公式所得近似值S S8 8远比复化梯形公式所得近似
16、远比复化梯形公式所得近似值值T T8 8要精确。因此在实际计算中，要精确。因此在实际计算中，较多的应用复化较多的应用复化SimpsonSimpson公式。公式。 虽然虽然, ,我们上面已得到我们上面已得到Newton-CotesNewton-Cotes低阶公式的近似值低阶公式的近似值的误差估计的误差估计，也可根据精度要求用这些公式确定积分区间，也可根据精度要求用这些公式确定积分区间的等分数的等分数n，即确定步长，即确定步长 h ，但由于余项公式中含有被积函数但由于余项公式中含有被积函数 f(x) 的高阶导数，在具体计算的高阶导数，在具体计算n时往往会遇到困难，因此，在时往往会遇到困难，因此，在
17、实际应用时，常常采用自动选择步长的方法。此方法的大致实际应用时，常常采用自动选择步长的方法。此方法的大致做法是：做法是：将积分区间逐步分半，每分一次就用同一复化求积将积分区间逐步分半，每分一次就用同一复化求积公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算来判断误差公式算出相应的积分近似值，并用前后两次计算来判断误差的大小，直到达到事先给定的误差精度，即停止计算的大小，直到达到事先给定的误差精度，即停止计算,即确定即确定了了n及步长及步长 h 。.误差的事后估计与步长的自动选择误差的事后估计与步长的自动选择其原理和具体做法如下：其原理和具体做法如下： 对复化梯形公式对复化梯形公式, 由其余项公式可见
18、，当由其余项公式可见，当f(x)在积分区间上在积分区间上变化不大或积分区间变化不大或积分区间a,b的等分数的等分数n较大（即步长较大（即步长h较小）时，较小）时，若将若将a,b的等分数改为的等分数改为2n（即将步长缩小到原来步长的一半），即将步长缩小到原来步长的一半），则新近似值则新近似值 的余项约为原近似值余项的的余项约为原近似值余项的1/4，即，令，即，令 此式表明：若用此式表明：若用 作为积分真值作为积分真值I的近似值，的近似值， 则其误差约为则其误差约为 (4.3.8) 即有即有先算出先算出 和和 ，若，若 （为计算结果的允许误差），为计算结果的允许误差），则停止计算，并取则停止计算，
19、并取 为积分近似值。否则，将区间再次分半为积分近似值。否则，将区间再次分半后算出新的近似值后算出新的近似值 ，并检验不等式，并检验不等式 是否成立，是否成立，直到得到满足精度要求的结果为止。直到得到满足精度要求的结果为止。 故将区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次故将区间逐次分半进行计算的过程中，可以用前后两次计算结果计算结果 和和 来估计误差和确定步长。具体做法是：来估计误差和确定步长。具体做法是：对于复化对于复化Simpson公式公式，复化复化Cotes公式公式，由它们的积分余项，由它们的积分余项可见，当所涉及的高阶导数在积分区间上变化不大或积分区可见，当所涉及的高阶导数在积分区间
20、上变化不大或积分区间的等份数间的等份数n较大时，较大时，有：有： 和和 则则 及及 因此，也可以像使用复化梯形公式求积分近似值那样，在因此，也可以像使用复化梯形公式求积分近似值那样，在将积分区间逐次分半进行计算的过程中，估计新近似值将积分区间逐次分半进行计算的过程中，估计新近似值 和和 的误差，并判断计算过程是否需要继续进行下去。上述过程很的误差，并判断计算过程是否需要继续进行下去。上述过程很容易在计算机上实现。容易在计算机上实现。例例4.16 利用变步长的复化梯形法计算积分值利用变步长的复化梯形法计算积分值 ，使截断，使截断误差不超过误差不超过 0.5 10-3解解 我们先对整个区间我们先对整个区间0,1使用梯形公式。对于函数使用梯形公式。对于函数 它在它在 的值定义为的值定义为 , 而而 =0.8414709，据梯形公式计，据梯形公式计算得算得 然后将区间二等分，再求出中点的函数值然后将区间二等分，再求出中点的函数值从而有从而有从而有计算近似误差从而有计算近似误差不满足要求。不满足要求。f(1/4)=0.9896158，f(3/4)=0.9088516 我们进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值我们进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值不满足要求。不满足要求。再有再有满足要求满足要求, T8是满足要求的积分近似值。是满足要求的积分近似值。
