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1、1.2 1.2 行列式的定义行列式的定义一元一次方程 ,当 时，有唯一解 二元一次方程 ,当 不全为零时，有无穷多 解 。 一组有序的数 ，当 时，代入方程等式成立，即 ，则称 为方程的解方程的解，例如：有无穷多个解为：其中t为任意常数。由中学数学知道：1.2.解的全体称为解集合解集合。解集合为:方程 在直角坐标系Oxy平面上的图形为一条直线，故又称为两个变量的线性方程线性方程不全为零时又如类似，称为三个变量的线性方程线性方程更一般的，称为n个变量的线性方程线性方程， 其中 为变量。线性方程就是变量次数都为一次的方程哦例如：是是不是不是n元一次方程组：由线性方程构成，故又称为线性方程组线性方程
2、组，系数系数常数项常数项本章我们主要讨论方程个数和变量个数相等的线性方程组的求解问题。变量或未知量变量或未知量这类方程总可以用消元法消元法来求解，但是消元法没有一个统一的公式，而解的统一公式在很多情况下有很重要的意义（就像一元二次方程公式解的作用），因而有必要寻求该类线性方程组的公式解，下面从2、3元方程组开始来推导一般方程组的公式解公式解。 利用消元法可以得到：这就是二元线性方程组的公式解，但是非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号引进记号：并规定：例如例如：称 为二阶行列式，二阶行列式，主对角线主对角线副对角线副对角线根据二阶行列式的定义，公式解中的分子可以有记号：于是当于是当 时上述
3、方程组有简洁公式解为：时上述方程组有简洁公式解为：主对角线上的乘积副对角线上的乘积例：例：求解线性方程组解：解：因为二阶行列式并且所以对于含有三个方程、三个未知量的线性方程组利用消元法，可以得到把 的系数记为 ，则当 时，有：类似可以解得：这些就是三元线性方程组的公式解，同样非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号为此，引进三阶行列式三阶行列式：并规定并规定：这么复杂，很这么复杂，很难记住的呀难记住的呀可以根据可以根据对角线法则对角线法则来记忆，主对角线方向符号是正的，副对来记忆，主对角线方向符号是正的，副对角线方向符号是负的。角线方向符号是负的。现在分别用方程组的常数项来代替D的第1列、第
4、2列、第3列得到：按照三阶行列式的规定，可以发现三者恰为消元法得到的 分子，故当D0时，三个未知量的线性方程组有简洁的公式解：例：例：求解线性方程组解：解：所以，所以，通过引进通过引进二阶行列式二阶行列式和和三阶行列式三阶行列式，前面给出了，前面给出了2个未知量和个未知量和3个个未知量的线性方程组简洁的公式解，未知量的线性方程组简洁的公式解，对于含有对于含有n个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组,从形式上，从形式上，n阶行列式阶行列式肯定有肯定有：现在的问题现在的问题就是如何定就是如何定义义n n阶行列式阶行列式我们想当然的会考虑，通过定义一般的我们想当然的会考虑，通过定义一般的n阶行列式
5、阶行列式，来给出它的公式解。，来给出它的公式解。二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式都有对角线法则，都有对角线法则，是不是是不是n n阶行列式阶行列式也有呢也有呢注意：四阶以上行列式没有对角线法则。注意：四阶以上行列式没有对角线法则。为给出为给出n n阶行列式的定义，首先分析一下二阶、三阶行列式，阶行列式的定义，首先分析一下二阶、三阶行列式，它们有如下共同特征：它们有如下共同特征：(1)(1)二阶是二阶是2!=22!=2项的代数和，三阶是项的代数和，三阶是 3!=63!=6项的代数和；项的代数和；(2)(2)它们的每一项都是不同行不同列元数的乘积，并且包含它们的每一项都是不同行不同列元数的乘积，并
6、且包含了所有可能的不同行不同列元素的乘积，了所有可能的不同行不同列元素的乘积，因此，二阶的项可写成因此，二阶的项可写成：三阶的项可写成：三阶的项可写成：(3)(3)代数和中的每一项的正负号是这样决定的：当行指标取成标准排代数和中的每一项的正负号是这样决定的：当行指标取成标准排列时，由列指标组成排列的奇偶性确定，偶者为正，奇者为负列时，由列指标组成排列的奇偶性确定，偶者为正，奇者为负三阶行列式每一项的符号为三阶行列式每一项的符号为“+” 123 231 312 （偶排列）“-” 321 213 132 （奇排列）(3)(3)二阶行列式每一项的符号为二阶行列式每一项的符号为“+” 12 （偶排列）
7、“-” 21 (奇排列）称为n阶行列式。 它是所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积 的代数和，共有n！项，于是：将其推而广之，n 阶行列式有定义 ，每项都冠以符号： 定义定义1.2.4： n2个数 aij（i=1,2,n)组成的记号:即：特别规定一阶行列式：例如一阶行列式要注意一阶行要注意一阶行列式跟数的绝列式跟数的绝对值的区别哦！对值的区别哦！例例 计算计算n n阶行列式阶行列式解：解：根据定义1.2.4展开式中的表示取自第n行的数。第n行中除 外都为零，故展开式中非零项只能是 ，即 。因为不同行不同列，且第n1行中除都为零，故展开式中非零项只能是 依次类推，非零项的列指标只能是又因为所以
8、上三角行上三角行列式列式类似于上三角行列式，可以得到下三角行列式下三角行列式的值：重要结论重要结论上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。例例 计算计算n n阶行列式阶行列式解：解：从展开式通项 中 着手，仿照上例从 开始逐一分析，可知行列式的n！项展开式中非零的只有 且列指标的逆序数为：所以：该结论也重该结论也重要哦要哦利用上面结论可计算，利用上面结论可计算， 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.任意变换前后位置如何确定变换后的展开式如何确定变换后的展开式 的符号呢的符号呢方法一：方法一：通过适当的交换元素位
9、置，使得通过适当的交换元素位置，使得 的行指的行指标成为标准排列，此时由列指标组成的排列的奇偶性即标成为标准排列，此时由列指标组成的排列的奇偶性即可决定符号。（满足交换律）可决定符号。（满足交换律）例：例：要确定四阶行列式展开式中 的符号。重新排成因为 ，所以该项符号是正号。方法二：方法二：由于每交换由于每交换 中两个元素的位置，对应的中两个元素的位置，对应的行指标、列指标的排列均作了一次对换，因而前后行指行指标、列指标的排列均作了一次对换，因而前后行指标和列指标逆序数之和的奇偶性不变。标和列指标逆序数之和的奇偶性不变。适当变换前后位置即当即当有成立：有成立：表明表明 的符号是：的符号是：例：例：下面四项中是五阶行列式的项，其中带正号的是（下面四项中是五阶行列式的项，其中带正号的是（ ）（A A）（B B）（C C）（D D）或取行指标为标取行指标为标准排列准排列取列指标为标取列指标为标准排列准排列据此，可以得到行列式定义的两种不同形式：据此，可以得到行列式定义的两种不同形式：作业：（注：每周一早上8点交作业）P11 1.（4） 2. (1) 3. 7.（2） 10
