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1、平面向量复习一平面向量复习一7/30/20241平平 面面 向向 量量 复复 习习 表示表示运算运算 实数与向量实数与向量 的积的积 向量加法向量加法与减法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示向量的相关概念向量的相关概念7/30/20242一、向量的相关概念一、向量的相关概念:（1）零向量：）零向量：（2）单位向量：）单位向量：（3）平行向量：）平行向量：（4）相等向量：）相等向量：（5）相反向量：）相反向量：2)重要概念：重要概念：3)
2、向量的表示向量的表示4)向量的模（长度）向量的模（长度）1)定义定义7/30/202432)实数实数与向量与向量 a 的积的积3)平面向量的数量积：平面向量的数量积：(1)两向量的两向量的夹角夹角定义定义(2)平面向量平面向量数量积数量积的定义的定义(4)平面向量数量积的平面向量数量积的几何意义几何意义(3)a在在b上的上的投影投影(5)平面向量数量积的平面向量数量积的运算律运算律二、向量的运算二、向量的运算1）加法：）加法：两个法则两个法则 坐标表示坐标表示 减法减法: 法则法则 坐标表示坐标表示 运算律运算律7/30/20244三、平面向量之间关系三、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线
3、共线)条件的两种形式条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:（3）两个向量相等的条件是两个向量的坐）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等标相等.四、平面向量的基本定理四、平面向量的基本定理注注:满足什么条件的向量可作为基底满足什么条件的向量可作为基底?7/30/20245向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向
4、量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.7/30/20246几何表示 : 有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)7/30/20247向量的模（长度）向量的模（长度）1. 设设 a = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B (x2,y2) ，
5、则，则7/30/20248平平 面面 向向 量量 复复 习习1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a + b =重要结论：重要结论：AB+BC+CA= 0设设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC7/30/20249平平 面面 向向 量量 复复 习习2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OAB2）坐标运算）坐标运算:若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则则a b= 3 3.加加法运
6、算率法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =7/30/202410平平 面面 向向 量量 复复 习习实数实数与向量与向量 a 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！ a a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度 | | a a| =| =| |a|；它的它的它的它的方向方向方向方向(1) (1) 当当当当00时时时时, , a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；(2)
7、(2) 当当当当 0 0时时时时, , a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反. .若若a a = (x , y), 则则 a a = (x , y)= ( x , y)7/30/202411v1、平面向量的数量积平面向量的数量积v（1）a与与b的夹角的夹角： （2）向量夹角的范围）向量夹角的范围： （3）向量垂直）向量垂直：00 ，1800ab共同的起点共同的起点aOABbOABOABOABOAB7/30/202412（4）两个非零向量的数量积：）两个非零向量的数量积： v规定：规定：零向量与任一向量的数量积为0a b = |a| |b| cos几何意
8、义：几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘积。AabBB1OBAbB1aOBb(B1)AaO7/30/2024135、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：注意：注意： 数量积不满足结合律数量积不满足结合律7/30/202414平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质v（1）e a = a e =| a | cosv（2）a b的条件是 a b =0 v (3) 当 a与b同向时， a b = |a | | b | ; v 当 a 与b 反向时，a b = - |a
9、 | | b |v 特别地：a a=| a | 2 或 | a | = v v（4）cos= （5）| ab | | a | | b | a,b为非零向量，为非零向量，e为单位向量为单位向量7/30/202415二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:7/30/202416（3）两个向量相等的条件是两个向量的）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等坐标相等. 即即: 那么那么 三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果 是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有有且只有一对实数 使7/30/202417练习练习1：判断正误，并简述理由。( ）( ）( ）( ）( ）( ）7/30/202418平平 面面 向向 量量 复复 习习2. 设设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。 分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD7/30/202419
