《高等数学课件：9.2 一阶方程(1-36)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：9.2 一阶方程(1-36)（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.2 一阶方程一阶方程这一节讨论一阶微分方程这一节讨论一阶微分方程的求解问题的求解问题 (1)遗憾地是遗憾地是 , 对于阶数最低的一阶微分方程对于阶数最低的一阶微分方程 (1) , 要要求其解一般是不行的求其解一般是不行的 所以所以 , 这一节这一节 , 我们仅对一些特殊的一阶方程讨我们仅对一些特殊的一阶方程讨论其求解问题论其求解问题 1 可分离变量的一阶方程可分离变量的一阶方程如果如果 f (x , y) = g(x)h(y) ,则方程为则方程为(2)方程方程 (2) 称为称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 如果如果 y = a 使使 h(a) = 0 , 则则 y = a 是是
2、 (2) 的解的解 如果如果 h(y) 0 , 则则方程方程 (2) ( 分离变量分离变量 ) (3)对对 (3) 两边积分得两边积分得( c为任意常数为任意常数) (4)说明说明:(1) 我们约定我们约定:分别表示分别表示的一个原函数的一个原函数 , 任意常数已含在任意常数已含在 c 中中 (2) 等式等式 (4) 确定一隐函数确定一隐函数 y = y(x , c) , 此即为此即为方程方程 (2) 的通解的通解 事实上将事实上将 (4) 两边对两边对 x 求导有求导有方程方程 (2) 的通解的通解:例例求方程求方程 的通解的通解 解解此方程是一阶可分离变量方程此方程是一阶可分离变量方程 分
3、离变量得分离变量得两边积分得两边积分得所以方程的通解所以方程的通解说明说明:很明显很明显 y = 0 也是方程的解也是方程的解 , 但但 y = 0 不包含不包含在通解在通解 之中之中 , 所以所以通解不一定就是通解不一定就是方程的全部解方程的全部解 例例求方程求方程 的通解的通解 解解原方程可表示为原方程可表示为分离变量分离变量两边积分得两边积分得通解为通解为例例求解求解解解先求通解先求通解 .这是一可分离变量方程这是一可分离变量方程 分离变量有分离变量有两边积分得通解两边积分得通解令令 x = 0 , y = 1 得得所以以上初值问题的解为所以以上初值问题的解为即即例例曲线曲线 y=y(x
4、) 与曲线族与曲线族 中的任一椭中的任一椭圆都正交圆都正交 ( 在交点处切线相互垂直在交点处切线相互垂直 ) , 若已知曲线若已知曲线y = y(x) 经过点经过点 ( a , b ) ( ab 0 ) , 求此曲线方程求此曲线方程 解解 任取一椭圆任取一椭圆 设设 y =y(x) 与此椭圆的交点为与此椭圆的交点为 ( x , y ) y = y(x) 在点在点 ( x , y )处的切线斜率为处的切线斜率为:而而 在点在点 ( x , y )处的切线斜率为处的切线斜率为:积分得积分得( c 为任意常数为任意常数 )由由 y(a) = b 所以所求曲线为所以所求曲线为:由正交条件知由正交条件知
5、:例例将温度为将温度为 100 C 的开水冲进热水瓶且塞紧的开水冲进热水瓶且塞紧 塞子后放在温度为塞子后放在温度为 20 C 的室内的室内 , 24 小小时后后 , 瓶瓶内热水温度降为内热水温度降为 50 C , 问冲冲进开水开水 12 小小时后瓶后瓶内热水的温度是多少内热水的温度是多少 ? (设瓶内热水冷却的速度与设瓶内热水冷却的速度与水的温度和室温之差成正比水的温度和室温之差成正比 )解解设时刻设时刻 t 时时 , 水的温度为水的温度为 T C , 则有有( 可分离变量方程可分离变量方程 )解得解得由由 T(24) = 502 一阶线性方程一阶线性方程如果如果 f (x , y) 关于关于
6、 y 是线性函数是线性函数 , 即即此时方程为此时方程为(8)方程方程 (8) 称为关于称为关于 y 的的一阶线性方程一阶线性方程 , Q(x) 称为称为自由项自由项 , (9)为关于为关于 y 的的一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程 而称自由项而称自由项 Q(x) = 0 的一阶方程的一阶方程下面讨论方程下面讨论方程 (8) 的求解的求解: 首先考虑齐次方程首先考虑齐次方程 (9) 的求解的求解 方程方程 (9) 可表为可表为( 可分离变量方程可分离变量方程 )积分得积分得 可得方程可得方程 (9) 的通解的通解: 采用采用常数变易法常数变易法方程方程 (8) 的通解的通解 :设设 是方程是方
7、程 (8) 的解的解 , 其中其中c(x) 为待定函数为待定函数 . 代入方程有代入方程有所以所以 , 一阶线性方程一阶线性方程 (8) 的通解的通解(10)注意注意:(10) 式中的积分都仅表示一原函数式中的积分都仅表示一原函数 (不再带不再带常数常数) 例例求方程求方程 通解通解 解解方程是关于方程是关于 y 变量的一阶线性方程变量的一阶线性方程此时此时利用公式利用公式 (10) 得方程的通得方程的通解解例例求方程求方程 通解通解 解解方程不是关于方程不是关于 y 变量的一阶线性方程变量的一阶线性方程 , 但可但可变形为变形为(关于关于 x 变量的线性方程变量的线性方程 )利用公式利用公式
8、 (10) ( 注意注意 x , y 互换互换 ) 得方程的通解得方程的通解例例有一质量为有一质量为 m 的质点的质点 , 从液面由静止状态开始从液面由静止状态开始垂直下沉垂直下沉 , 设在沉降过程中质点所受的阻力与沉设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度降速度 v 成正比成正比 , 比例系数为比例系数为 k 0 , 试求质点下沉试求质点下沉速度速度 v 及位置及位置 x 与沉降时间与沉降时间 t 的关系的关系 解解x0 kvmg建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 M在下沉过程中在下沉过程中 , 在时刻在时刻 t , 质点质点 M受到两个作用力受到两个作用力:重力重力: mg , 阻力阻力
9、: kv根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有由于当由于当 t = 0 时时 , v(0) = 0 故知故知 v 满足以下初值问题满足以下初值问题:( 一阶线性方程一阶线性方程 )所以方程的通解为所以方程的通解为由由 v(0) = 0又又 及及 x (0)=0 , 知知 x 满足下初值问题满足下初值问题积分得积分得所以所以所以有所以有3 齐次型齐次型方程方程( (可化为可分离变量的方程可化为可分离变量的方程) )则称方程则称方程 如果如果 f (x , y) 满足满足: 对任意的对任意的 t R , f (tx ,ty ) = f (x , y)为为一阶齐次型方程一阶齐次型方程 令令 , 则则所
10、以原方程可表示为所以原方程可表示为:(11)令令 y = xu 代入代入 (11)有有这是关于这是关于 u , x 变量的一阶可分离变量的方程变量的一阶可分离变量的方程例例求方程求方程 的通解的通解解解这是一齐次型方程这是一齐次型方程 .在方程的右边分子分母在方程的右边分子分母同除同除 x 得得 令令 ,则则代入上方程有代入上方程有积分得积分得将将 代入得代入得所以方程的通解为所以方程的通解为:例例求方程求方程 的通解的通解 .解解原方程可写成原方程可写成令令 ,则则代入上方程有代入上方程有积分得积分得所以方程的通解为所以方程的通解为:例例设曲线设曲线 L 上任一点上任一点 P(x , y)
11、满足满足 OP QR (见图见图 ) , 其中其中 PR 为为 L在点在点 P处的切线处的切线 , 又知又知 L 过点过点 ( 1 , 2 ) ,求曲线求曲线 L 的方程的方程 x0yP(x,y)RQ(x,0)解解 过点过点 P(x , y) 作切线方程作切线方程 R 点的坐标为点的坐标为直线直线 QR 斜率斜率: 直线直线 OP 斜率斜率: 由于由于 OP QR 即即所以所求曲线所以所求曲线 y=y(x) 满足方程满足方程又曲线经过点又曲线经过点 (1 , 2) , 即即 y(1)=2 , 所以所求曲线所以所求曲线 y=y(x) 是下初值问题的解是下初值问题的解方程可变形为方程可变形为( 齐
12、次型方程齐次型方程 )令令 , 则则代入上方程有代入上方程有积分得积分得将将 代入上式得代入上式得令令 x=1 , y = 2 得得 c = 4 ,所以所求曲线所以所求曲线 L的方程为的方程为即即齐次型方程通过变量代换可化为可分离变量方程齐次型方程通过变量代换可化为可分离变量方程求解求解 , 下面介绍一个其它的例子下面介绍一个其它的例子 解解求解初值问题求解初值问题例例原方程可写成原方程可写成令令 , 则有则有方程的通解为方程的通解为原方程的通解原方程的通解令令所以初值问题的解所以初值问题的解例例求方程求方程 的通解的通解 解解令令其中其中 h , k 为待定常数为待定常数 则有则有 ,代入原
13、方程得代入原方程得故令故令解得解得 h = 1 , k = 2 .于是令于是令 , 则原方程化为则原方程化为( 齐次型方程齐次型方程 )再令再令 , 则则 代入方程有代入方程有解得通解解得通解将将 代入得原方程的通解代入得原方程的通解4 伯努里方程伯努里方程( (可化为一阶线性方程的方程可化为一阶线性方程的方程) )方程方程 (12)称为称为伯努里方程伯努里方程 如果如果其中其中 n R ,此时方程为此时方程为(12)在在 (12) 式两边同乘式两边同乘 y n 得得下面考虑方程伯努里方程下面考虑方程伯努里方程 (12) 的求解的求解 令令 , 则方程变形成则方程变形成这是一关于这是一关于 u 的一阶线性方程的一阶线性方程 例例求方程求方程 的通解的通解 解解这是一伯努里方程这是一伯努里方程 两边同乘两边同乘 得得即即令令 , 得得所以通解所以通解所以原方程的通解为所以原方程的通解为例例求方程求方程 满足满足 y(0) = 1的特解的特解 解解这是一伯努里方程这是一伯努里方程 原方程可表为原方程可表为令令 , 得得所以通解所以通解即通解即通解令令 得得 c = 1 所以初值问题的解所以初值问题的解
