《高等数学课件：7-2(1)平面图形的面积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：7-2(1)平面图形的面积（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节定积分的几何应用 2. 参数方程情形参数方程情形一、一、 平面图形的面积平面图形的面积 1. 直角坐标情形直角坐标情形 3. 极坐标情形极坐标情形 第七七章 1. 直角坐标情形直角坐标情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1) 面积元素面积元素(2) 面积元素面积元素曲边梯形的面积曲边梯形的面积cdOOy = f(x)y = g(x) dA例例1解解1 求两曲线求两曲线面积元素面积元素: :的交点：的交点：选选 为积分变量为积分变量2例例2解解1 两曲线的交点两曲线的交点2 2 选选 为积分变量为积分变量, ,面积面积说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式例
2、例3解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量2. 参数方程情形参数方程情形例例4 求椭圆求椭圆解解所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法应用定积分换元法,利用对称性利用对称性 , 当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边当曲边梯形的曲边给出时给出时, 由参数方程由参数方程 则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为例例4-1 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解3. 极坐标情形极坐标情形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .
3、在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为：所求曲边扇形的面积为：面积元素：面积元素：与射线与射线 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线= 2 所围图形面积所围图形面积. 例例5解解例例6解解由对称性知，由对称性知，总面积总面积 = 第一象限部分面积的第一象限部分面积的4倍倍 求双纽线求双纽线与圆与圆解解 先画草图，并求交点对应的极角：先画草图，并求交点对应的极角：所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .例例7o利用对称性得所求面积：利用对称性得所求面积：o内容小结内容小结求在求在注意：恰当的注意：恰当的选择
4、积分变量选择积分变量有助于简化积分运算有助于简化积分运算.直角坐标系直角坐标系参数方程形式参数方程形式极坐标系极坐标系下平面图形的面积下平面图形的面积. .思考与练习思考与练习xyoS2S1 设曲线设曲线 y = f(x) 过原点及点过原点及点(2,3)，且，且 f(x) 为为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴轴和和曲线曲线y = f(x) 围成的面积围成的面积是另一条平行线与是另一条平行线与y轴和曲线轴和曲线y = f(x) 围成的面积的两倍，围成的面积的两倍，
5、求此曲线方程求此曲线方程.思考题解答思考题解答两边同时对两边同时对 求导求导xyoS2S1积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为备用题备用题例例2-1解解oo例例2-2解解 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.依题设，有依题设，有又面积为：面积为：同理其它同理其它.故在区域故在区域例例2-3分析曲线特点分析曲线特点解解与与 x 轴所围面积轴所围面积由图形的对称性由图形的对称性 ,也符合条件也符合条件. 为何值才能使为何值才能使与与 x 轴围成的轴围成的故故面积等面积等计算心形线计算心形线所围图形的面积所围图形的面积.解解(利用对称性利用对称性)例例6-1例例7-1 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解所求面积所求面积利用对称性利用对称性 ,例例7-2解解由于图形关于极轴对称，所以由于图形关于极轴对称，所以xyoxyoA2A1例例7-3 求曲线求曲线所围成图形的公共部分的面积所围成图形的公共部分的面积 .解解与与得得所围区域的面积为所围区域的面积为
