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1、 2k析因设计析因设计1 引言有k个因子，每个因子仅有两个水平。完全重复共需要2k个观测值，称为2k析因设计。基本假定：因子是固定的设计是完全随机化的满足正态性应用于实验工作的早期阶段，如因子筛选试验(factor screening experiment)2 22设计2个因子，每个因子2个水平。例如：一个化学反应过程中反应物浓度(15%,25%)和催化剂量(1磅,2磅)对反应的产出率有影响。每个组合重复3次。符号表示法效应A代表因子A的效应；B代表因子B的效应；AB代表AB的交互作用效应。水平代表因子的低水平；代表因子的高水平。处理组合及其的试验结果的总和处理组合的表示a代表因子A高B低；a
2、=36+32+32=100b代表因子A低B高；b=18+19+23=60ab代表因子A高B高；ab=31+30+29=90(1)代表因子A低B低；(1)=28+25+27=80效应的计算一个因子的平均效应是这个因子的水平变化产生的响应变化在另一因子水平上取平均值。A的主效应 A=(1/2n)ab+a-b-(1)B的主效应 B=(1/2n)ab-a+b-(1)AB的交互作用效应 AB=(1/2n)ab-a-b+(1)A效应是正的，说明反应物浓度从低水平增至高水平将增加产出率。反之，B效应是负的，说明催化剂的增加会降低产出率。相对主效应来说，交互作用效应显得较小。对照分析法对照(constract
3、)表示某因子的总效应。(未进行平均值运算的效应值)对照A = ab+a-b-(1)对照B = ab-a+b-(1)对照AB= ab-a-b+(1)三个对照是正交的，即相应对照系数的乘积之和为0。标准顺序Frank Yates提出的Yates顺序。将处理组合沿着a,b,c,d,的顺序逐渐增加，每增加一个因子则与前面已有的因子进行组合。例如：(1),a,b,ab,c,ac,ab,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,abd,abcd,效应代数符号表的设计首先，按照标准顺序写出一列处理组合。然后，在I列中全部标“+”号。然后，在处理组合中含有相应主效应处标“+”号，否则标“-”号。最后，将相
4、应的主效应所在列的符号相乘得到相应的交互作用列的符号。22设计的效应代数符号表标准顺序:(1),a,b,ab代数符号对照对照(constract)表示某因子的总效应。用效应的代数符号表，将相应的效应列中的符号加到所对应的处理组合上，并求和，就得到该效应的对照。如： 对照A=ab+a-b-(1)=90+100-60-80=50 对照B=ab+b-a-(1)=90+60-100-80=-30 对照AB=ab+(1)-a-b=90+80-100-60=10用对照估计效应和计算平方和估计效应：计算平方和：计算效应一个因子的平均效应是那个因子的水平变化产生的响应变化在另一因子水平上取平均值。A效应是正的
5、，说明反应物浓度从低水平增至高水平将增加产出率。反之，B效应是负的，说明催化剂的增加会降低产出率。相对主效应来说，交互作用效应显得较小。对照平方和对照代表总效应，所以对照平方和代表总变异。对照平方和等于对照的平方除以对照中观测值中属于对照系数平方和的乘积。SSA=SSB=SSAB=由于SST=所以SSE=SST-SSA-SSB-SSAB=ANOVA分析结果结论：两个主效应是显著的，因子间无交互作用。与初步判断一致。回归模型利用最小二乘法拟合回归模型线性回归数据：两因素正规方程组的矩阵形式其中回归方程系数的最小二乘估计量回归模型由于无交互作用，则例题的回归模型为 y=0+1x1+2x2+规范变量
6、：x1,x2自然变量：反应物浓度，催化剂量x1=浓度-(浓度低+浓度高)/2/(浓度高-浓度低)/2x2=催化剂-(催化剂低+催化剂高)/2/(催化剂高-催化剂低)/2拟合回归模型： y=27.5+(8.33/2)x1+(-5/2)x2其中，截距是观测值的总平均，回归系数是响应因子效应估计量的一半。残差与模型适合性反应物浓度低水平(x1=-1)，催化剂量低水平(x2=-1)，产量预测值为 y=27.5+(8.33/2)(-1)+(-5/2)(-1)=25.835残差为e1=28-28.835=2.165e2=25-28.835=-0.835e3=27-28.835=1.165同理可计算出12个
7、残差。正态概率图，残差与预测产出率的关系图形是令人满意的，没有理由怀疑结论的有效性。响应曲面将规范变量转换成自然变量后的回归模型 y=绘制三维图形，可见随反应物浓度的增加，催化剂的减少，产量增加。响应曲面可以找到过程的潜在改进方向，方法为最速上升法。3 23设计3因子，2水平计算效应的代数符号首先，按标准顺序排序。然后，标出主效应列的符号。含有处理组合的效应为+，否则为-。最后，标出交互作用效应列的符号。相应主效应列的乘积。计算平均效应：A=(1/4n)处理组合列乘以相应效应列符号 =(1/4n)对照A同理可得其他效应值性质：除列外，每列加号个数与减号个数相等除列外，任意两列符号乘积之和为零(
8、正交)列与任一列相乘，该列符号不变，即列是一个单位元素。任意两列相乘，得表中另外一列。效应的平方和用对照计算效应的平方和： SS=(对照)2/(8n)例1 晶片蚀刻试验单晶片等离子蚀刻过程。3个因子：A为电极间隙、B为C2F6气体流速、C为RF功率。每个因子两个水平。每个组合重复2次。实验结果见表。模型评价指标R2=SS模型/SS总和R调整2=1-(SSE/dfE)(SS总和/DF总和)4 一般性2k设计k个因子，每个因子2个水平共k个主效应，Ck2个两因子交互作用，Ck3个三因子交互作用，1个k因子交互作用。共2k-1个效应。处理组合符号表示：处理组合标准顺序：每出现一个新因子，则与前面各项
9、相乘得到新项。一般步骤1.估计因子效应估计每个因子和交互作用效应，观察大小和符号，做出初步判断。2.建立初始模型如果是重复设计，用完全模型。如果不是重复设计，用效应的正态概率图建立模型3.进行统计检验ANOVA4.改进模型将不显著的效应变量去掉。5.分析残差模型适合性检查6.解释结果图形分析，如效应图、响应曲面图、等高线图等。对照的计算对照ABK=(a1)(b1) (k1)原则：对照中包括的因子，则其相应项中取“-”号，不包括的则取“+”号。例：用对照估计效应和计算平方和估计效应：计算平方和：5 2k设计的单次重复2k完全析因设计的处理组合数量大，通常可用资源只允许做一次重复。无重复的风险：不
10、能从模型中将噪音分解出来。无重复析因设计假定某些高阶的交互作用可被忽略，则将它们的均方组合起来用于估计误差。效应稀疏原理：多数系统的主效应和低阶交互作用处于支配地位，而高阶交互作用可被忽略。方法：检查效应估计量的正态概率图。可被忽略的效应会大致落在图上的一条直线附近；而显著效应则不会落在这一直线上。例2 24设计的单次重复一个化学产品的生产过程。可能影响产品渗透率的因子有：温度(A)、压强(B)、甲醛浓度(C)、搅拌速度(D)。每个因子取2个水平。单次重复试验，共16次试验。工程师感兴趣的是使渗透率达到最大。当前生产条件下的渗透率为75加仑/小时。当前甲醛浓度(C)为高水平。工程师希望尽可能减
11、少甲醛浓度，但会造成渗透率太低。对照常数的符号由对照估计因子效应及平房和。绘制效应的正态概率图。沿直线上的效应可被忽略，大的效应则原理直线，故A、C、D、AC、AD是重要效应。绘制重要效应的效应图。3个主效应都是正的。欲最大化渗透率则3个因子均取高水平。由AC看出，当浓度C处于高水平是温度A的效应很小，反之很大，在低浓度、高温度时效应最大。由AD看出，低温时搅拌速度D效应小，反之有较大正效应。因此，当A和D处于高水平而C处于低水平时，会得到最好的渗透率。设计投影由于B因子不显著而且所有与B有关的交互作用也不可忽略。因此，可将B去掉，将一个单重复24析因设计投影成一个两次重复23设计。对数据进行
12、方差分析，可以得到相同的结论。如果有一个2k设计的单次重复，其中h(hk)个因子可被忽略，则原数据对应于留下的k-h个因子，形成具有2h重复的两水平析因设计。诊断检查回归方程： 由显著效应的估计值，得计算预测值计算残差残差的正态概率图点落在一条直线附近，支持A、C、D、AC、AD是仅有的显著效应的论断。响应曲面如果要极大化渗透率，A和D应取高水平，过程相对于C具有稳定性。与交互作用图的结果类似。效应的半正态图效应估计的绝对值与它们的累积正态概率的关系图。半正态图过原点，接近50%分位点。易于解释5. 无重复析因设计的其他方法代替正态概率图来进行效应显著性检验的方法：Lenth方法。析因设计的数
13、据变换-例3钻头的推进速率实验。24析因设计。因子：钻头负荷(A)、流速(B)、旋转速度(C)、泥浆类型(D)。实验数据如下：效应估计量的正态概率图。可见，B、C、D、BC、BD需要说明。残差的正态概率图显然，正态性有问题。残差与推进速率预测值的关系图显然，方差齐性有问题。选择对数变换 y*=lny变换后效应估计量的正态概率图。只有B、C、D起作用，需要说明。简化结构。对数变换后的残差的正态概率图图形令人满意。对数变换后残差与推进速率预测值的关系图图形令人满意ANOVA结果结论：对于对数变换，模型仅需B、C、D就足以说明了。模型的平方和 SS模型=SSB+SSC+SSD =5.345+1.33
14、9+0.431=7.115R2=SS模型/SST=7.115/7.288=0.98所以该模型解释了钻头推进速率中大约98%的变异性。无重复析因中的位置效应和分散效应-例4商用飞机内壁嵌板的生产过程。压制成形。当前生产条件下，嵌板的平均疵点太高（平均5.5个疵点/块）。设计一个24析因设计。4个因子：温度(A)、模压时间(B)、树脂流量(C)、压机闭合时间(D)。实验数据如下：因子效应的正态概率图可见，A和C是需要说明的。分析效应图，可知低温度和高树脂流量会减少嵌板疵点的发生率。残差的正态概率图没有显示异常情况(略)。残差与B(模压时间)的关系图显然，少的模压时间会使每块嵌板的平均点数有较小的变
15、异性。去掉D，投影成一个两次重复的23析因设计。计算每个处理组合的平均疵点数和极差可见，当B处于高水平时的平均极差为4.75，当B处于低水平时的平均极差为1.25。工程师决定，取低的温度和高的树脂流量以减少疵点的平均数，取少的模压时间以减少每块嵌板疵点数的变异性，取少的压机闭合时间(对响应没有影响，但可以提高效率)。分散效应如果因子i为正时试验残差的方差2(i+)与因子i为负时试验残差的方差2(i-)，则统计量近似服从标准正态分布。分散效应Fi*的正态概率图可见，B是与生产过程的分散性有关的一个重要因子。响应的重复测量-例5半导体工厂立式氧化炉的实验。响应变量是晶片的氧化物厚度。因子为温度(A
16、)、时间(B)、压强(C)、气流(D)。实验过程：将4个晶片放到炉中，设置由实验设计要求的实验条件的过程变量，实施实验，测量4个晶片氧化物的厚度。重复测量(duplicate measurement)，而非重复(replicate)实验。重复实验是每次在炉中试验一个晶片。由于4个晶片同时处理，降低了变异性。用厚度均值作为响应变量估计效应。可见，A、B、C、AB、AC的效应较大。效应估计的正态概率图可见， A、B、C、AB、AC是显著的。方差分析结果为预测平均氧化物厚度的模型为 y=399.19+21.56x1+9.06x2-5.19x3+8.44x1x2- 5.13x1x3残差分析是满意的。等
17、高线图如将实验结果错误的视为重复，则为一个四次重复的24析因设计。可见，显著的效应要多很多。太多的因子被识别为重要因子将导致试图处理或优化不重要因子造成资源浪费其他感兴趣的响应增加不必要的变异6 附加中心点设计两水平析因设计模型含有主效应和交互作用二阶响应模型二阶效应的估计在2k析因实验中，重复某些点可得到一个独立的误差估计。例如：中心点，xi=0(i=1,2,k)处做n次重复试验。在设计中心处增加重复试验不影响2k设计中通常的效应估计量。附加中心点的22设计在中心点(0,0)处有nC个观测值的22设计。判定方法如果 很小，则中心点就处于或靠近通过因子点的平面上，故未发生弯曲。反之，则出现弯曲
18、。检验方法利用中心点计算均方误差计算纯二次项(弯曲)平方和检验统计量 F=MS纯二次项/MSE对例2实验增加4个中心点，得渗透率为73、75、66、69.4。纯二次项不显著中心复合设计Central composite design在2k设计中增加轴试验(axial run)。附加中心点设计的几点建议当析因实验在一个正在运行的过程中运行时，可以使用当前的运行条件作为设计的中心点。这样通常能确保实验中的操作人员能在熟悉的条件下完成任务，所以得到的结果不会比现在的结论差。当析因实验中的中心点对应于通常的运行配方时，实验者可以利用中心点的响应观测值来粗略检查实验中是否存在任何“不寻常”现象。也就是说
19、中心点的响应必须和常规过程运行的响应观测类似。可将中心点响应直接画在控制图上作为检查实验中正运行过程。考虑以非随机次序在中心点进行重复。在实验开始时，在中心点做一次或两次试验，试验中期做一两次，在实验结束前，做一两次。随着中心点试验逐步进行，实验者可以在试验中对过程稳定性有一个粗略的检查。例如，实验进行时，如果响应有一个趋势，作中心点响应与时间顺序的关系图可以说明。有时实验必须在很少或没有关于过程变异性先验信息的条件下进行。这种情况下，做23个中心点试验作为实验中的最初几个试验是有帮助的。这些试验可以提供变异性的初步估计。如果变异性的大小看起来是合理的，则继续试验；如果观测到大得超过预期的(合理的)变异性，则停止试验。在其余实验继续进行下去之前，研究变异性为何如此之大是大有帮助的。当在几个定量因子中含有定性因子时，仍可使用中心点。例如两个定量因子，如时间和温度。还有一个定性因子，如晶体类型(有机的和无机的)。中心点可放在包含定性因子的立方体的相对面。只要这些子空间仅包含定量因子，中心点就可以在这些定性因子的高水平和低处理的处理组合上进行试验。结束
