微积分上复习下高教课堂

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1、总总 复复 习习1教学运用 1.多元函数的导数多元函数的导数 设二元函数设二元函数 则因变量对某一个变量的偏则因变量对某一个变量的偏导是将其余变量视为常量的导数导是将其余变量视为常量的导数. 例例1 设设 求求解解 由定义得由定义得一、多元微分一、多元微分2教学运用例例2 设设 求求解解 由复合函数的导数公式由复合函数的导数公式, 得得3教学运用 在偏导计算过程中在偏导计算过程中, 要注意的是如何按定义计算函数要注意的是如何按定义计算函数在一点的导数在一点的导数.例例3 求函数求函数的偏导的偏导.解解 当当 时时, 4教学运用5教学运用当当 时时,同理同理:6教学运用 2.高阶偏导高阶偏导 由

2、于偏导本质上是一元函数的导数由于偏导本质上是一元函数的导数, 故偏导函数仍然是故偏导函数仍然是多元函数多元函数, 由此可以定义高阶导数由此可以定义高阶导数. 对二元函数对二元函数高阶导数为高阶导数为7教学运用例例4 设设 求二阶偏导求二阶偏导.解解 由例由例2, 知知所以所以, 8教学运用 在上例中看到在上例中看到, 在二阶偏导连续的条件下在二阶偏导连续的条件下,有有9教学运用 3.全微分全微分定义定义 对函数对函数 对自变量的增量对自变量的增量相应的因变量的全增量为相应的因变量的全增量为若全增量具有表达式若全增量具有表达式其中其中 则称函数为可微的则称函数为可微的, 相应的微相应的微分记为分

3、记为10教学运用可微的条件可微的条件偏导连续偏导连续可微可微函数连续函数连续偏导存在偏导存在.微分计算公式微分计算公式若函数有连续偏导若函数有连续偏导, 则则11教学运用例例5 设设 求求解解 由例由例2知知故故12教学运用例例6 讨论例讨论例3中的函数在原点的可微分性中的函数在原点的可微分性.解解 由例由例3知知, 从而有从而有由此得由此得13教学运用即有函数在原点可微分即有函数在原点可微分, 且有且有14教学运用 4.复合函数的导数复合函数的导数 设二元复合函数设二元复合函数其中函数其中函数 均有所需要的各阶偏导数均有所需要的各阶偏导数, 则则15教学运用例例7 设设 求求解解 令令 则则

4、由导数公式由导数公式16教学运用例例8 设设 其中其中 为为 类函数类函数, 求二阶偏导求二阶偏导.解解 令令 则则所以所以17教学运用18教学运用 5.隐函数的导数隐函数的导数一个方程确定的隐函数一个方程确定的隐函数隐函数存在定理隐函数存在定理 若函数若函数 满足满足函数有对各个变量的连续偏导数函数有对各个变量的连续偏导数;则在点则在点 的某一邻域的某一邻域, 由方程由方程 可可确定一个确定一个 类函数类函数 且有且有19教学运用例例9 设二元函数设二元函数 由方程由方程 确确定定, 求求 解解 令令 则则故有公式故有公式20教学运用 方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数隐函数存在定理隐函数

5、存在定理 设四元函数设四元函数满足满足函数对各个变量具有连续的偏导函数对各个变量具有连续的偏导,则方程组则方程组 在点在点 的某个邻的某个邻21教学运用域内能唯一地确定一组域内能唯一地确定一组 函数组函数组 满足条满足条件件 并有相应的导数公并有相应的导数公式式.22教学运用例例10 设方程设方程 确定隐函数确定隐函数 求求解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 则有则有上式的第二式乘上式的第二式乘 再两式相减得再两式相减得23教学运用从而有从而有 由对称性得由对称性得24教学运用 二、多元微分的应用二、多元微分的应用 1.几何应用几何应用 曲线的切线与法平面方程曲线的切线与法平面方程 设曲线

6、由参数方程给出设曲线由参数方程给出: 25教学运用点点 则曲线在该点处的切线和法平则曲线在该点处的切线和法平面方程为面方程为切线切线法平面法平面26教学运用若曲线有一般方程给出若曲线有一般方程给出, 则切线可视为两切平面的交线则切线可视为两切平面的交线.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设曲面方程为设曲面方程为 点点则切平面方程与法线方程为则切平面方程与法线方程为切平面切平面27教学运用法线法线28教学运用例例11 在曲线在曲线 上上, 求与平面求与平面 平行的切线平行的切线.解解 设切点所对应的参数值为设切点所对应的参数值为 故相应的切向量为故相应的切向量为 由已知条件得切向量与平面的法

7、向垂直由已知条件得切向量与平面的法向垂直,即有即有即即29教学运用故切点为故切点为 和和 切向量为切向量为 和和 相应的切线方程为相应的切线方程为和和30教学运用例例12 设椭球面设椭球面 上某点处的切平面上某点处的切平面 过已知直线过已知直线 求平面的方程求平面的方程.解解 设切点为设切点为31教学运用例例13 求球面求球面 与椭球面与椭球面 的交线对应于的交线对应于 的交点的的交点的切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.32教学运用33教学运用 二元函数的极值二元函数的极值 设二元函数设二元函数 为为 蕾类函数蕾类函数, 求极值求极值.1.求函数的一阶和二阶偏导求函数的一阶和二阶偏导;

8、2.令令 求函数的所有驻点求函数的所有驻点;3.对函数的所有驻点对函数的所有驻点, 计算计算 的符号的符号, 若若34教学运用极小值极小值极大值极大值非极值非极值35教学运用例例14 设设 由由 确定确定, 求函数的极值求函数的极值.解解 方程两边求导方程两边求导, 得得令令 则有方程组则有方程组36教学运用解此方程组解此方程组, 得得 再代入原方程再代入原方程, 有驻点有驻点 在上面两个方程中在上面两个方程中, 继续求导继续求导, 得得对上述驻点对上述驻点, 解此方程组解此方程组, 并注意到一阶偏导为零并注意到一阶偏导为零, 有有37教学运用此时此时 所以所以 是是 的极小值点的极小值点,

9、极小值为极小值为此时此时 所以所以 是是 的极大值点的极大值点, 极大值为极大值为38教学运用 条件极值条件极值 问题问题 求函数求函数 在条件在条件 下下的极值的极值. 方法方法 1.构造函数构造函数2.解方程组解方程组3.对方程的解进行讨论对方程的解进行讨论.39教学运用例例15 求椭圆求椭圆 的长半轴和短半轴之的长半轴和短半轴之长长.解解 椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短距离距离. 故作函数故作函数相应的方程组为相应的方程组为40教学运用由条件容易知道由条件容易知道: 于是有于是有 令令 即有即有41教学运用解之得解之得 再代入曲线

10、方程再代入曲线方程, 得得故两半轴之长分别为故两半轴之长分别为42教学运用二、重积分二、重积分 1.二重积分的计算二重积分的计算先先 后后先先 后后在直角坐标下的计算在直角坐标下的计算43教学运用在极坐标下的计算在极坐标下的计算一般坐标变换一般坐标变换44教学运用例例16 计算积分计算积分解解 积分区域如图积分区域如图. 因被积函数的原函数不是初等函数因被积函数的原函数不是初等函数,故不能直接积分故不能直接积分. 首先交换积分次序首先交换积分次序:45教学运用46教学运用例例17 计算积分计算积分 其中其中 由双曲线由双曲线及直线及直线 围成的平面区域围成的平面区域.解解 47教学运用例例18

11、 计算积分计算积分 其中其中解解 48教学运用 2.三重积分的计算三重积分的计算 在直角坐标下三重积分的计算在直角坐标下三重积分的计算 先先1后后2的积分的积分:49教学运用 先先2后后1的积分的积分 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分50教学运用利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分51教学运用例例18 计算积分计算积分 其中其中 由由绕绕 轴旋转一周所成的曲面再与轴旋转一周所成的曲面再与 所围成的立体所围成的立体.解解1 52教学运用所以所以, 积分积分解解2 利用柱面坐标利用柱面坐标53教学运用例例19 计算积分计算积分 其中其中 是由曲面是由曲面及及 所围成的区

12、域所围成的区域.解解 利用球面坐标利用球面坐标54教学运用 3.重积分的应用重积分的应用 曲面面积曲面面积 设空间曲面设空间曲面则曲面的面积为则曲面的面积为 空间立体的质量与重心坐标的计算空间立体的质量与重心坐标的计算: 设空间几何形设空间几何形体体 密度函数为密度函数为 则质量则质量 和重心坐标和重心坐标分别为分别为55教学运用56教学运用三、曲线积分与曲面积分三、曲线积分与曲面积分 1.曲线积分曲线积分 第一类曲线积分第一类曲线积分计算方法计算方法: 若若57教学运用则有则有 第二类曲线积分第二类曲线积分计算方法计算方法 若若58教学运用则有则有59教学运用例例20 求积分求积分 其中其中

13、解解 60教学运用例例21 求八分之一的球面求八分之一的球面 的边界曲线的重心（的边界曲线的重心（ ）.解解 曲线弧的质量为曲线弧的质量为设中心坐标为设中心坐标为 则则61教学运用由对称性知由对称性知 即重心坐标为即重心坐标为62教学运用例例22 求求其中其中 取逆时针方向取逆时针方向.解解 由积分公式得由积分公式得63教学运用所以所以, 原积分为原积分为64教学运用 2.曲面积分曲面积分 第一类曲面积分第一类曲面积分计算方法计算方法: 第二类曲面积分第二类曲面积分65教学运用积分方法积分方法:其中其中, 上侧取正上侧取正, 下侧取负下侧取负.66教学运用例例22 设设 为椭球面为椭球面 的上

14、半部分的上半部分, 点点 为为 在点在点 处的切平面处的切平面, 为点为点 到平面的距离到平面的距离, 求求解解 由条件知切平面方程为由条件知切平面方程为则则67教学运用因曲面方程为因曲面方程为 所以所以因而因而68教学运用69教学运用例例23 计算积分计算积分 其中其中 为为上半球面上半球面 取上侧取上侧.解解 70教学运用71教学运用所以所以,72教学运用 三个重要公式三个重要公式 格林公式格林公式并且曲线积分与路径无关并且曲线积分与路径无关 高斯公式高斯公式73教学运用 斯托克斯公式斯托克斯公式74教学运用例例24 设函数设函数 在在 平面上有一阶连续偏导数平面上有一阶连续偏导数,曲线积

15、分曲线积分 与路径无关与路径无关, 且对任意且对任意恒有恒有求求解解 由曲线积分与路径无关的条件由曲线积分与路径无关的条件, 得得75教学运用故故又又两边求导两边求导, 得得故故 即即76教学运用例例25 求求其中其中 为正的常数为正的常数, 为从点为从点 沿沿到点到点 的一段弧的一段弧.解解 添加弧段添加弧段 因因77教学运用由格林公式由格林公式所以所以,78教学运用例例26 计算积分计算积分其中其中 取上侧取上侧.解解 作辅助曲面作辅助曲面 并取下侧并取下侧, 则则所以所以79教学运用80教学运用例例28 求求 其中其中解解 作作 取下侧取下侧, 则则 其法向与其法向与 轴的正向夹角为锐角

16、轴的正向夹角为锐角.所以所以81教学运用而而82教学运用由此得到由此得到83教学运用例例29 求求 其中其中 是曲线是曲线 从从 轴正向看是顺时针方向轴正向看是顺时针方向.解解 取曲面为平面取曲面为平面 被柱面所割下部分被柱面所割下部分, 并并取下侧取下侧, 则有则有84教学运用85教学运用四、无穷级数四、无穷级数 1.数项级数数项级数 设级数设级数 部分和部分和 若若则级数是收敛的则级数是收敛的, 且且86教学运用 正项级数正项级数 正项级数收敛性的判定正项级数收敛性的判定 比较判别法及极限形式比较判别法及极限形式; 比值判别法比值判别法; 根值法根值法. 交错级数交错级数 交错级数收敛性判

17、定定理交错级数收敛性判定定理.87教学运用 绝对收敛性绝对收敛性88教学运用例例30 讨论级数讨论级数 的收敛性的收敛性.解解 因因故级数收敛故级数收敛.89教学运用例例31 讨论级数讨论级数 的收敛性的收敛性.解解 因因又又90教学运用所以级数所以级数 绝对收敛绝对收敛.91教学运用例例32 讨论级数讨论级数 的收敛性的收敛性.解解 因因考虑级数考虑级数 显然有显然有92教学运用又又从而级数从而级数 收敛收敛, 又又 发散发散, 故原级数故原级数发散发散.93教学运用例例33 讨论级数讨论级数 的收敛性的收敛性.解解 令令又又故原级数条件收敛故原级数条件收敛.94教学运用 2.幂级数幂级数

18、求幂级数的收敛半径求幂级数的收敛半径 比值法比值法 设幂级数设幂级数 则收敛半径为则收敛半径为 根值法根值法95教学运用 泰勒级数和麦克劳林级数泰勒级数和麦克劳林级数 基本展开式基本展开式96教学运用 函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数 求和函数求和函数.97教学运用例例34 求幂级数求幂级数 的收敛域和和函数的收敛域和和函数.解解 容易得到收敛域为容易得到收敛域为 在收敛范围中令和函数在收敛范围中令和函数为为 即即98教学运用所以所以由此得到由此得到99教学运用例例35 求求 的收敛域及和函数的收敛域及和函数.解解 容易得到收敛域为容易得到收敛域为 令和函数为令

19、和函数为 则则100教学运用101教学运用例例36 将函数将函数 展开成展开成 及及 的的幂级数幂级数.解解 因因又又故故102教学运用所以所以103教学运用104教学运用例例37 将函数将函数展开成展开成 的幂级数的幂级数.解解 因因 所以所以105教学运用两边积分两边积分, 得得106教学运用例例38 求求 的收敛区间及和函数的收敛区间及和函数.解解 利用比值法直接求出相应的收敛半径利用比值法直接求出相应的收敛半径. 因因故当故当 级数收敛级数收敛, 当当 时级数发散时级数发散, 所所以收敛区间为以收敛区间为 .在端点处在端点处, 级数收敛级数收敛. 令令107教学运用则则两端求导后得两端求导后得108教学运用 3.傅立叶级数傅立叶级数 将周期为将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数的周期函数展开成傅立叶级数其中其中109教学运用 将周期为将周期为 的周期函数展开成傅立叶级数的周期函数展开成傅立叶级数110教学运用 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数111教学运用例例39 将函数将函数 展开成周期为展开成周期为2的傅立叶级数的傅立叶级数.解解 注意到函数为偶函数注意到函数为偶函数, 且满足收敛条件且满足收敛条件. 112教学运用所以所以113教学运用114教学运用