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1、用正交交变换化二次型为标准型12.把二次型化标准型的根据与步骤：把二次型化标准型的根据与步骤：要使二次型经可逆线性变换变成要使二次型经可逆线性变换变成标准形，这就是要使标准形，这就是要使2也就是要使也就是要使因此，上述等价的问题就是：对于对称阵因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵C使得：使得：为对角阵。这个问题称为把对为对角阵。这个问题称为把对称阵称阵A合同对角化合同对角化成为对角阵成为对角阵。3由上节定理由上节定理5。8知，任给对知，任给对称阵称阵A总有正交阵总有正交阵P，使，使。把此结论应用于二次型，即有把此结论应用于二次型，即有定理定理5.9 任给二次型任给二次
2、型使之化为标准形使之化为标准形其中其中推论推论 任给任给n元二次型元二次型使使为规范形。为规范形。总有总有正交变换是是f的矩阵的矩阵A的特征值的特征值总有正交变换总有正交变换4用用正交变换正交变换化二次型为标准形的步骤为：次型为标准形的步骤为：（1）.写出写出f对应的实对称矩阵对应的实对称矩阵A（2）.寻找正交矩阵寻找正交矩阵P，；（3）.则正交变换则正交变换使使。5例例5.5.1 求一个求一个正交变换把二次型把二次型化为标准形。化为标准形。解：解： 二次型的矩阵为二次型的矩阵为6这与例这与例5.4.1所给矩阵相同。按例所给矩阵相同。按例5.4.1的结果，有正交阵的结果，有正交阵使使，于是有于
3、是有正交变换正交变换7，把二次型把二次型f化成标准形8如果要把二次型化成规范形只需令：如果要把二次型化成规范形只需令：则得则得f的规范形为的规范形为：9例例5.5.2 用用正交变换正交变换将二次型将二次型 化为标准形若设化为标准形若设，问该曲面为何种类型的曲面，问该曲面为何种类型的曲面.10解：解：二次型的矩阵为二次型的矩阵为11得得A的特征值为：的特征值为：当当求解求解因为它们已正交，故只需单位化为因为它们已正交，故只需单位化为。，得两个线性无关的特征向量为得两个线性无关的特征向量为12当当求解求解得一个解得一个解单位化得单位化得所求正交矩阵所求正交矩阵13正交变换正交变换为为化化f为标准形为标准形显然，由解析几何知道，这是显然，由解析几何知道，这是一个单叶双曲面方程。一个单叶双曲面方程。14注注:如果要画出上述曲面的几何如果要画出上述曲面的几何图形，则要求出相应的坐标旋图形，则要求出相应的坐标旋转变换，请参考有关空间解析转变换，请参考有关空间解析几何关于坐标轴旋转的有关结几何关于坐标轴旋转的有关结论。论。15
