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1、3.3.3简单的线性规划问题简单的线性规划问题 实际应用实际应用5x+4y=202x+3y=12线性目标函数Z的最大值为的最大值为44已知实数已知实数x,y满足下列条件满足下列条件:5x+4y 202x+3y 12x 0y0求求z=9x+10y的最大值的最大值.最优解可行域9x+10y=0想一想想一想: :线性约束条件 01 2345 6123456xy代数问题代数问题(线性约束条件线性约束条件)图解法图解法转化转化线性约线性约束条件束条件可行域可行域转化转化线性目线性目标函数标函数Z=Ax+By一组平行线一组平行线转化转化最优解最优解寻找平行线组寻找平行线组的纵截距的纵截距 最值最值四个步骤
2、：四个步骤：1、画画4、答答3、移移2、作作三个转化三个转化一一. .复习复习转化转化转化转化转化转化四个步骤四个步骤：1。画画（画可行域）（画可行域）三个转化三个转化4。答答（求出点的坐标，并转化为最优解）（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移移（平移直线（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点）。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作作（作（作z=Ax+By=0时的直线时的直线L 。）。）图图解解法法想一想想一想( (结论结论):):线性约束条件线性约束条件可行域可行域线性目标函数线性目标函数Z=Ax+By一组平行线一组平行线最优解最优解寻找平行线组的寻找平行线组的 最大（小）纵截距最大（小
3、）纵截距给定一定量的给定一定量的人力人力.物力物力,资金等资源资金等资源完成的任务量最大完成的任务量最大经济效益最高经济效益最高给定一项任务给定一项任务所耗的人力所耗的人力.物力资源最小物力资源最小降低成本降低成本获取最大的利润获取最大的利润精打细算精打细算最优方案最优方案统筹安排统筹安排最佳方案最佳方案实际应用实际应用例例1某工厂生产甲、乙两种产品，生产某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两甲两种产品需要种产品需要A种原料种原料4t、 B种原料种原料12t，产生的产生的利润为利润为2万元；生产乙种产品需要万元；生产乙种产品需要A种原料种原料1t、 B种原料种原料9t，产生的利润为产生的利润为
4、1万元。现有库存万元。现有库存A种原料种原料10t、 B种原料种原料60t，如何安排生产才能如何安排生产才能使利润最大？使利润最大？分析：在关数据列表如下：分析：在关数据列表如下：A种原料 B种原料利润甲种产品4 122 乙种产品1 9 1现有库存10 60 设生产甲、乙两种产品的吨数分别为设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y利润利润何时达到最大？何时达到最大？xYo4x4xy=10y=1012x12x9y=609y=602x+y=02x+y=0 例例2某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1t需消耗需消耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、
5、煤、煤4t；生产乙种产品；生产乙种产品1吨需消耗吨需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产品甲种产品的利润是的利润是600元元,每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是1000元元.工厂在工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过种矿石不超过300t、 消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过、消耗煤不超过360t.若你是若你是厂长厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到精确到0.1t),才能使利润总额才能使利润总额达到最大达到最大?某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两
6、种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1t需消耗需消耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产乙种产品；生产乙种产品1吨需消耗吨需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t.每每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是600元元,每每1t乙种产品的利乙种产品的利润是润是1000元元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不种矿石不超过超过300t、 消耗消耗B种矿石不超过种矿石不超过200t、消耗煤不超过、消耗煤不超过360t.若你是若你是厂长厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到精确到0
7、.1t),才能使利润才能使利润总额达到最大总额达到最大?分分析析问问题题:1.本问题给定了哪些原材料本问题给定了哪些原材料(资源资源)?2.该工厂生产哪些产品该工厂生产哪些产品?3.各种产品对原材料各种产品对原材料(资源资源)有怎样的要求有怎样的要求?4.该工厂对原材料该工厂对原材料(资源资源)有何限定条有何限定条件件?5.每种产品的利润是多少每种产品的利润是多少?利润总额如何计算利润总额如何计算?解解:设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元,那么那么10x+4y3005x+4y2004x+9y360x0y 0z=600x+1000y.画
8、画出以上不等式组所表示的可行域出以上不等式组所表示的可行域作作出直线出直线L 600x+1000y=0.解解 得得 交交 点点 M的的 坐坐 标标 为为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨，吨，乙产品乙产品34.4吨，吨，能使利润总额达到最大。能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经经过过可可行行域域上上的的点点M时时,目目标标函函数在数在y轴上截距最大轴上截距最大.9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600x+1
9、000y取得最大值取得最大值.例3.gsp图形把直线把直线L向右上方平向右上方平移移实际问题实际问题线性规划问题线性规划问题寻找约束条件寻找约束条件建立目标函数建立目标函数列表列表设立变量设立变量转转化化1.约束条件要写全约束条件要写全; 3.解题格式要规范解题格式要规范. 2.作图要准确作图要准确,计算也要准确计算也要准确;注意注意: :结论结论1:1:例例3.某某工工厂厂现现有有两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板可可截截成成A、B、C三三种种规规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 解：解：设需截第一种钢
10、板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张数为张数为Z,则则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，若你是若你是经理经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。张数最少。x张张y张张分分析析问问题题: :目标函数目标函数: z=x+yx0y2x+y=15x+3y=27x+2y
11、=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, y0直线直线x+y=12经过的经过的整点是整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解它们是最优解. 作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目标函数:z= x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经过点经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12答（略）答（略）约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移L找交点及交点坐标找交点及交点坐
12、标调整优解法调整优解法1.满足哪些条件的解才是最优解满足哪些条件的解才是最优解?2.目标函数经过目标函数经过A(3.6,7.8)时时Z的值是多少的值是多少?你能否猜测一下你能否猜测一下Z的最小值可能是多少的最小值可能是多少?3.最优解的几何意义是什么最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义最优解可以转化为什么几何意义)?图例题4.gsp示x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)且且和和原原点点距距离离最最近近的的直直线线是是x+y
13、=12，它们是最优解它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线t = x+y，目标函数目标函数t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移，继续向上平移，1212182715978把把实际问题实际问题转化成转化成线性规划问题线性规划问题即建立数学即建立数学模型的方法。大致可分为以下三个模型的方法。大致可分为以下三个步骤：步骤： （1）准确建立数学模型，即根据题意找）准确建立数学模
14、型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；出约束条件，确定线性目标函数； （2）用图解法求得数学模型的解，即画）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；最值的解； （3）根据实际意义将数学模型的解转化）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。解。 即先求非整数条件下的最优解，即先求非整数条件下的最优解，调整调整Z的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解的整点值，最后筛选出整点最优解 即先
15、打网格，描出可行域内的即先打网格，描出可行域内的整点整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1.1.平移找解法：平移找解法： 2.2.调整优解法调整优解法：结论结论2:2:咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡咖啡5g、糖、糖10g已知每天原料的已知每天原料的使用限额为奶粉使用限额为奶粉3600g ，咖啡咖啡2000g糖糖3000g,如果甲种饮料每如果甲
16、种饮料每杯能获利杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大利最大？解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表：解解: :设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，则杯，则把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l l1 1的位置时，的位置时，直直线线经经过过可可行行域域上上的的点点C C，且且与与原原点点距距 离最大，离最大，此时此时z =0.7x +1.2yz =0.7x +
17、1.2y取最大值取最大值解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为（的坐标为（200200，240240）_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2y答答:每天配制甲种饮料每天配制甲种饮料200杯杯,乙种饮料乙种饮料240杯可获取最大利润杯可获取最大利润.小结作出可行域：作出可行域：目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2y作直线作直
18、线l:0.7x+1.2y=0，某货运公司拟用集装箱托运甲某货运公司拟用集装箱托运甲.乙两种货物乙两种货物,一个大集装箱所装托一个大集装箱所装托运货物的总体积不能超过运货物的总体积不能超过24 ,总重量不能超过总重量不能超过1500kg,甲甲.乙乙两种货物每袋的体积两种货物每袋的体积.重量和可获得的利润重量和可获得的利润,列表如下列表如下:巩固练习巩固练习 二二货物货物每袋体积每袋体积(立方米立方米)每袋重量每袋重量(100kg)每袋利润每袋利润(单位百元单位百元 )甲甲5220乙乙4315问在一个大集装箱内这两种问在一个大集装箱内这两种(不能只装一种不能只装一种)货物各装货物各装多少袋时多少袋时,可获得最大的利润可获得最大的利润?分析分析:设托运甲货物设托运甲货物x袋袋, 托运乙货物托运乙货物y袋袋,获得利润为获得利润为z(百元百元)5x+4y 242x+3y 15 图象Z=20x+15y (x,y )小结小结: :实际问题实际问题列表列表设出变量设出变量寻找约束条件寻找约束条件建立目标函数建立目标函数转化转化建模建模线性规划问题线性规划问题图解法图解法最优解最优解三三个个转转化化四个步骤四个步骤作作答答调调整整最优整数解最优整数解平移找解法平移找解法调整优值法调整优值法常用方法常用方法目目标标函函数数距离距离,斜率等斜率等
