定积分在数学计算中的若干方法

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1、- - 渭南师范学院 本 科 毕 业 论 文 题目：定积分在数学计算中的若干方法 学 院： 数学与信息科学学院 专业班级：数学与应用数学 09 级数本 2 班 毕业年份：2013 姓名： 范 鑫 学号：090741059 指导教师： 周 焕 芹 职 称： 教 授 渭南师范学院教务处 制 - - 定积分在数学计算中的若干方法 范 鑫 (渭南师范学院数学与信息科学学院 09 级数本 2 班) 摘 要 ：在计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程. 定积分是高等数学微积分的重要组成部分，是一种实用性很强的数学计算方法.归纳总结定积分在数学计算中若干方法，包括用定义的方法,根据被积函数的奇偶性、对

2、称性以及具有某些函数特征的性质来运用定积分的换元积分法、 分部积分法对一些常用的定积分计算方法进行归纳总结， 从而使在以后的计算中灵活选出适当的方法和公式以简化计算过程. 关键词 ：定积分；被积函数；换元积分法；分部积分法 定积分的计算在微分学中占有相当重要的位置， 也是学好微分学的关键和基础，但在定积分的计算中往往会使很多人感到比较困难.在初接触定积分时，大多是按定积分的定义来计算的， 运算量大而繁杂， 因而很多人都对学习定积分感觉比较困难， 其实在定积分的计算中是有简单办法可以运用的， 通过被积函数的特点性质以及对定积分计算方法的归纳总结， 从而可以找出一些简单的解题思路与方法.这里简单介

3、绍几种根据定积分定义、基本性质、被积函数的特点总结归纳出来的具有一般性的计算方法和公式. 1. 按照定义计算定积分 定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以( )baIf x dx为例：任意分割,任意选取k作积分和再取极限.任意分割任意取k所计算出的 I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种k的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和

4、的极限唯一性可作, a b的特殊分法，选取特殊的k，计算出定积分. 第一步：分割. 将区间, a b分成 n 个小区间，一般情况下采取等分的形式.bahn，那么分- - 割点的坐标为,0a，,0ah，2 ,0ah.(1) ,0anh，,0b，k在1,kkxx上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成 n个小曲边梯形.我们近似的看作是 n个小长方形. 第二步：求和. 计算 n 个小长方形的面积之和，也就是 1nkkfh. 第三步：取极限. 0011limlimnnkkhhkkIfhhf，0h 即n ，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小

5、长方形， 当 n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积， 也就是定积分的积分值. 例 1 用定义法求定积分10xdx. 解 因为( )f xx在 0,1连续 所以( )f xx在 0,1可积 令1 01hnn 将 0,1等分成 n 个小区间，分点的坐标依次为02.1hhnh 取k是小区间(1) ,kh kh的右端点，即kkh于是 10xdx=nknkhh1lim=212) 1(limnnnn=22) 1(limnnnn=211limnn=21 所以，1012xdx . 2. 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 引理 12若函数)(xf在,ba上连续，且存在

6、原函数)(xF即)( xF=)(xf，x,ba，则)(xf在,ba上可积， 且badxxf)(=)(aF-)(bF，这称为牛顿莱- - 布尼茨公式，它也常写成badxxf)(=baxF)(. 有了牛顿莱布尼茨公示后，计算定积分关键就是找)(xf的一个原函数)(xF.这就转化为不定积分的问题了. 例 2 求1021xdx. 解 已知21xdx=xarctan+C 1021xdx=10arctan x =1arctan-0arctan =4. 3. 换元积分法 定理 13设 1) 函数)(xf在区间,ba上连续； 2) 函数)(tx在区间,上单调,且有连续导数； 3) t,时,x,ba,且)(a,

7、)(b, 则badxxf)(=dtttf)( )(该公式称为定积分的换元积分公式 运用换元积分法需注意两点： 第一,引入的新函数)(tx必须单调,使t在区间,上变化时,x在区间,ba上变化,且)(a,)(b 第二,改变积分变量时必须改变积分上、下限 ,简称为换元必换限 例 3 求adxxa022)0(a 解 应用两种方法 . (1)应用牛顿莱布尼茨公式 ,首先求不定积分（原函数）dxxa22. 设x=tasin,有dx=tdtacos. dxxa22=tdta22cos =dtta)2cos1 (22 - - =22a)22sin(tt +C =22aaxarcsin+222xax+C 所以2

8、2aaxarcsin+2x22xa 是22xa 的一个原函数,由牛顿莱布尼茨公式, dxxaa022=axaarcsin2(2+)222xaxa0=42a. (2)应用定积分换元积分公式. 设taxsin ,有 tdtadxcos 当0x时,0t；当ax 时,2t. 于是 dxxaa022=2atdt202cos =2adtt2022cos1 =22a20)22sin(tt =42a. 显然上述两种计算方法,后者使用定积分换元积分公式比较简便.说明计算定积分有时可避免某些复杂的计算. 利用三角函数进行换元,这类换元多为下面三种情况： (1) 被积函数含有因子22xa ,设taxsin或taxc

9、os进行换元； (2) 被积函数含有因子22ax ,设taxtan或taxcot进行换元； (3) 被积函数含有因子22ax ,设taxsec或taxcsc进行换元； 根据被积函数因子的不同形式 ,通过适当的换元 ,可以简化定积分的计算 . 例 4 求解定积分dxxx21021. 解 设txcos,有tdtdxsin. 当0x时,2t；当1x时,0t. dxxx21021=tdtt2022cossin - - =tdt2sin41202 =20)4cos1 (81dtt =20)44sin(81tt =16. 4. 分部积分法 定理 23设函数)(),(xvxu在区间,ba上具有连续导数)(

10、),( xvxu，则有)(vuuvuv.在这等式的两边各取由ba到的定积分， bababadxvudxuvuv|， 即 bababadxvuuvdxuv|， 或 bababavduuvudv|. 这公式叫做定积分的分部积分公式 . 运用分部积分法是需要注意两点： 第一，被积函数是两类不同性质函数的乘积； 第二，选择u的经验顺序为“反、对、幂、指、三” ，即依次表示为反三角函数、对数函数、幂函数（多项式函数） 、指数函数、三角函数，即被积函数中出现上述五类函数乘积时， 次序在前的通常设为u， 次序在后的与dx结合在一起设为dv.只有合理的选择u， v，积分才能较好进行. 例 5 计算dxex10

11、. 解 设tx ，则2tx ，即tdtdx2 当0x时，0t；当1x时，1t，故有 10102dttedxetx =2(dtetett1010|) =2(10|tee) =2) 1( ee =2 所以dxex10=2. - - 例 7 计算积分1021) 1ln(dxxxI. 解 考虑含参量积分1021) 1ln()(dxxxI，显然0)0(I，II) 1 (， 又120( )(1)(1)xIdxxx，因)11(11)1)(1 (222xxxxxx， 所以1112220001( )()1111xIdxdxdxxxx =10102102)1ln()1ln(21arctan11xxx =)1ln(

12、2ln214112， 因此1120011( )ln2ln(1)142Idd =) 1 (arctan2ln21)1ln(810102It =) 1 (2ln4) 1 (2ln82ln8II， 另一方面10( )(1)(0)(1)IdIII， 所以2ln8) 1 ( II. 6. 具有奇偶性函数的定积分 结论 1 若函数)(xf在关于原点对称的区间,aa上连续，则 aadxxf)(=axfdxxfxf0.)()(2)(0为偶函数，当为奇函数；，当 例 8 设)(xf是,aa上的连续函数，计算 dxxfexxfexIxaax)()()()(coscos. 解 )()()()(coscosxfexx

13、fexxx =)()()()(cosxfxfexfxfxx. 因)()(xfxf为偶函数，x为奇函数，故)()(xfxfx为奇函数，又因)()(xfxf为奇函数，xecos为偶函数，故)()(cosxfxfex为奇函数，- - 8. 分段函数定积分的计算 对于分段函数的积分首先要弄清积分上下限是常数还是变量， 如是常数， 就 要找分段函数的分段点， 然后依据分段函数的分段点将积分区间分为许多个小区 间，在每个小区间上求定积分的和；如果是变量，就将变量分情况讨论；当被积 函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给 定函数的形式. 例 10 设oxexxxfx,110,

14、11)( 求20) 1(dxxf. 解 令1 xu则有： 1120)() 1(duufdxxf =01)(duuf+10)(duuf =011xedx+101xdx =dxeeexxx0111+10)1ln(x =01)1ln(xex+2ln =)1ln(e. 9. 定积分在初等数学不等式中的应用 运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(xf与)(xg都在ba上可积且)()(xgxf；则babaxgdxxf)()(特别的当0)(xf时，有0)(badxxg. 例 11 证明贝努利不等式：已知x1且0x，Nn且2n. 求证：nxxn1)1 (. 证明若01x或110x且2n时，1

15、)1 (1nx。因此 001)1 (xxndxdxx 即为nxxn1)1 (。若0x或11 x且2n时 1)1 (1nx因此 xxndxdxx001)1 ( 由此可得nxxn1)1 (。 综合以上可得：当1x时，且0xNn且 2n时有nxxn1)1 ( 由上面的证明我们可以推广，去掉条件Nn时，结论仍然成立所以，我们可- - 以得到一个一般的结论 设1x 则若10时，有xx1)1 ( 若0或1时，有xx1)1 ( 当且仅当0x时，两式中的等号成立. 例 12 已知ba,是实数，并且bae，其中e是自然对数的底，证明abba. 证明当bae时，要证明abba ，只要证明baablnln 既要证明

16、bbaalnln bxae时，因为0ln12xx 从而 bbln-aaln=baxxln=baxxdln=dxxxba2ln10 所以当bae时，aabblnln 于是得到abba . 求和： 根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可. 小结：本文主要介绍了以下几种函数积分方法， 牛顿莱布尼茨公式法， 换元 积分法，分部积分法以及含参变量的积分方法等 .牛顿莱布尼茨公式在积分 中发挥了很大作用， 但在使用时被积函数在被积区间必须联系， 而且要求出原函 数.在很多情况下被积函数不具备这样的条件，原函数不能表示为初等函数 .这时 可以考虑使用换元积分法

17、、 分部积分法和含参变量积分方法， 而在实际问题解决 中会有很多变数， 因而有时采用某一种方法可能不能解决某些问题， 这就需要我 们灵活应用所学方法去解决那些问题. （指导老师：周焕芹） 参考文献 1同济大学数学系，高等数学（上册） M，北京：高等教育出版社，(2002) 2华东师范大学数学系 编 数学分析M，北京：高等教育出版社，2001 3四川大学数学系高等数学教研室 编 高等数学M，北京：高等教育出版社，1995 4钱吉林 编 数学分析题解精粹M，武汉：崇文书局，2003 5田文秋 宋振新 编 高等数学M，北京：经济日报出版社，2003.6 6毛纲源 编 高等数学解题方法技巧归纳M，武汉

18、：华中科技大学出版社，2001 7张天德 韩振来 数学分析同步辅导及习题精解上册M,天津： 天津科学技术出版社,2009 - - Fixed several method of integral in mathematical calculation of FAN Xin (Class 2 Grade 2009 Department of Mathematics and InformationScienceWeinanNormalUniversity) Abstract: choose the appropriate flexible method and formula in computi

19、ng in order to simplify the calculation of definite integral is higher mathematics.The important part is the calculation, a practical mathematical method. Summarized the definite integral in the calculation ofMethod, including the definition of the method according to the integrand parity, symmetry

20、and has certain function characteristic properties to useIntegration by substitution, integral subsection integral method of some commonly used the definite integral is summarized, so in order to after the calculation method and formula of flexible selected appropriate to simplify the calculation process. Keywords: integration; integrand; changing integral method; integral method