数学思想讲座1数学与人的发展

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1、数学与人的发展 数学作为一门课程进入学校在2400年时就开始了。柏拉图规定，不懂几何学不得进入他的哲学学校。这说明那时就把数学学习与教育和做人联系起来了。 现在全世界最普遍开设的教育课程就是数学，开设的时间是所有课程中最长的！ 人类是如何达成这一共识？又是如何确立了数学如此重要地位的呢？ 中国数学历史悠久，也曾达到过很高的水平，但中国的古代数学偏向于应用与使用。 与中国古代数学形成鲜明对照的是古希腊数学所具有的强烈的理性色彩。古希腊数学更接近于世界观，接近哲学，接近人生，因而也更接近人文学。所以数学作为人类的思想产品，获得了极高的地位。数学与人的发展 近代近代中国的教育观念中，还承继着老祖宗的

2、中国的教育观念中，还承继着老祖宗的某些传统。过分强调感性、实用性和目的性。某些传统。过分强调感性、实用性和目的性。数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓数学只作为一种工具来学习和掌握。所谓“有有没有用没有用”的的“用用”，其含义更多的是对某个学，其含义更多的是对某个学科专业的科专业的实用性实用性，而不包含对，而不包含对人的发展的作用人的发展的作用。 实际上，数学与其他学科的相互促进，实际上，数学与其他学科的相互促进，使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经使得数学的发展异常迅猛，用途的广泛性已经超出了人们的想象。超出了人们的想象。实用主义实用主义降低了数学的作降低了数学的作用，由于过分的强调，而

3、使数学的人文作用处用，由于过分的强调，而使数学的人文作用处于一个几乎被忽略的地位。于一个几乎被忽略的地位。 世界观的形成是后天的。它与人的成长过程世界观的形成是后天的。它与人的成长过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。其共性表现为：其共性表现为：符合逻辑的、辨证统一的和纯符合逻辑的、辨证统一的和纯理性的理性的。 数学家也不例外，他们在从事数学研究的同数学家也不例外，他们在从事数学研究的同时，必定通过数学来看世界。反过来，他们对时，必定通过数学来看世界。反过来，他们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉

4、斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认为为世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可分。分。不少数学家都是哲学家。不少数学家都是哲学家。 2020世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观内部的和谐，而这种和谐正

5、是惟一真正的客观现实现实.是我们所能达到的惟一真理是我们所能达到的惟一真理。” 实际上，出现的问题是数学与世界和实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数学。数学发现的，则世界观优先于数学。 数学对世界观起到了作用数学对世界观起到了作用。 1 1、数学影响人们的逻辑思维、数学影响人们的逻辑思维 数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物特征是抽象，因

6、而数学广泛存在于众多的事物中。中。 事物与事物的联系多少靠什么来判断事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它回掩盖共性。表面的东西通常反映的是个性，它回掩盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。 个性个性“抽抽”的越多，就越在的越多，就越在内涵内涵的共同处的共同处考虑，就越能发现事物间的考虑，就越能发现事物间的共性共性。内涵越少，。内涵越少，外延越大。外延越大。这是基本的逻辑结论这是基本的逻辑结论. .例如：例如：速度、切线速度、切线导数

7、导数边际、变化率边际、变化率.例如例如：黄金分割：黄金分割0.618: 0.618: 广泛存在于人体、植物、广泛存在于人体、植物、动物繁殖、建筑、艺术、音乐动物繁殖、建筑、艺术、音乐. 问题是问题是0.6180.618是不是世界和谐的标志呢是不是世界和谐的标志呢? ? 人们发现了人们发现了优选法优选法. . 0 0 0.3820.382 0.618 0.618 1 1 实验点实验点 原则原则: :去劣存优去劣存优 第一步第一步: :若在若在0.3820.382点优点优, ,则在则在0,0.6180,0.618继续继续实验实验; ;否则否则, ,在在0.382,10.382,1上继续实验上继续实

8、验. .共性共性: :区间区间长度为长度为0.618.0.618. 第二步第二步: :在第一步的区间上用在第一步的区间上用0.6180.6180.6180.618和和(1-0.618)0.618(1-0.618)0.618作实验点作实验点, ,继续选择原则继续选择原则. . 共性区间长度为共性区间长度为0.6180.6182 2. . 如此继续下去如此继续下去, ,得到一个得到一个”区间套区间套”: : 那么那么,为什么非得选择为什么非得选择0.618呢呢.实际上实际上,我们我们可以从任何两点出发也能得到可以从任何两点出发也能得到x0. 如果如果xn是第是第n次黄金分割实验后的点次黄金分割实验

9、后的点, 而而xn是任何其他优选方法第是任何其他优选方法第n次实验后的点次实验后的点,那么那么|x|xn n-x-x0 0|x|00是变的是变的. .但是但是我们要说明数列以我们要说明数列以A A为极限为极限, ,只需要对每个只需要对每个00验证验证”存在存在.”.”这段话是对的就可以这段话是对的就可以, ,而而”每个每个”又意味着又意味着00在验证的过程中是在验证的过程中是不变不变的的. . 如代数中的“恒等变换”，恒等意味着不变，变换意味着变化。这就是辩证法!其意义之重大已使数学与世界观的核心部分的关系越来越紧密，与对世界本身的看法紧密相连。3 3、数学的纯理性使辩证唯物主义认识世界和预、

10、数学的纯理性使辩证唯物主义认识世界和预知世界的强大思想。知世界的强大思想。 唯物论的观点已经被有意或无意地曲唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。一个极端是认为认识必定来源于物质世解了。一个极端是认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端界而且必定直接来自于物质世界；另一个极端是没有实践基础就要求人民解决思想问题，认是没有实践基础就要求人民解决思想问题，认为解决思想认识问题就解决了一切。为解决思想认识问题就解决了一切。 数学科学的事实与发展排除了这两种数学科学的事实与发展排除了这两种极端。极端。经典数学经典数学：数与形（物质世界）：数与形（物质世界）近代数学近代数学：物质

11、世界（工业、经济、社会：物质世界（工业、经济、社会.）理性思维理性思维：公理化体系（欧氏几何）产生了：公理化体系（欧氏几何）产生了新几何；解析几何；各数学分支的建立。走新几何；解析几何；各数学分支的建立。走向高度思维。向高度思维。 高度思维在某个时候又走到现实生活中高度思维在某个时候又走到现实生活中来更是唯物主义的体现。符合黑格尔所说被来更是唯物主义的体现。符合黑格尔所说被列宁所赞赏的列宁所赞赏的“自己运动自己运动”的意义。的意义。海王星的发现是由数学发现的。这是数学理海王星的发现是由数学发现的。这是数学理性的一大胜利。性的一大胜利。1871年英国科学家发现了天王星，发现它的年英国科学家发现了

12、天王星，发现它的运行有些失常，与计算结果不符。问题的出运行有些失常，与计算结果不符。问题的出现产生两种猜测：一是牛顿的万有引力定律现产生两种猜测：一是牛顿的万有引力定律有问题；一是还有其他因素在发挥作用（其有问题；一是还有其他因素在发挥作用（其它星的作用产生了它星的作用产生了“摄动摄动”）。）。1842年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假年，剑桥大学学生亚当斯按照第二种假设经过由运动轨道为设经过由运动轨道为“圆圆”到到“椭圆椭圆”的理的理性思考，进行了大量的复杂的数学计算，于性思考，进行了大量的复杂的数学计算，于1845年年10月月21日将研究结果寄给格林威治日将研究结果寄给格林威治天文台天文台

13、台长艾里，被不屑一顾。艾里又寄给了巴黎台长艾里，被不屑一顾。艾里又寄给了巴黎天文台的加勒，告诉他在计算得到的位置观天文台的加勒，告诉他在计算得到的位置观察。加勒当天（察。加勒当天（1846、9、23）果然发现了）果然发现了这棵新星这棵新星海王星。海王星。 但水星的发现是在有了相对论之后才成但水星的发现是在有了相对论之后才成功的。因为万有引力定律是近似的，越靠近功的。因为万有引力定律是近似的，越靠近太阳，其误差就越大。太阳，其误差就越大。数学的纯理性显示了计算的重要性，但容易数学的纯理性显示了计算的重要性，但容易偏向于理性主义方面，而忽视了认识的本源；偏向于理性主义方面，而忽视了认识的本源；而数学的理论结果无法在实际中看到时，就而数学的理论结果无法在实际中看到时，就容易偏向于依赖直感的直接反映论方面，而容易偏向于依赖直感的直接反映论方面，而忽略了理论的能动作用。忽略了理论的能动作用。