《线性代数：2-2-1矩阵的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：2-2-1矩阵的运算（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 两个矩阵两个矩阵相等相等是指这两个矩阵有相同的行数是指这两个矩阵有相同的行数= 与列数与列数, 且对应元素相等。即且对应元素相等。即第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算设矩阵设矩阵定义定义一、矩阵的加法一、矩阵的加法同型同型 运算律运算律 设设 A, B, C 为同型矩阵为同型矩阵, O 为同型零矩阵，则为同型零矩阵，则 (1)(1) A + B = B + A ( 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律) ; (2)(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律); (3)(3) A + O = O + A = A； (4)(
2、4) 设设 A = ( aij )m n , 称矩阵称矩阵为为为为 A A 的的的的负矩阵负矩阵，记作，记作，记作，记作 - - A A 。显然有显然有A + ( - A ) = ( - A ) + A = O由此可定义矩阵的减法：由此可定义矩阵的减法：A - B defdefA + ( - B ) 例例 设设 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求并求其和其和, 哪些不能进行加法运算哪些不能进行加法运算, 说明原因说明原因; (2) 求求 C 的负矩阵的负矩阵. 定义定义 设设设设 A A = ( = ( a aij ij ) )m m n n , ,
3、k k 是一个数是一个数是一个数是一个数, , 称为数称为数称为数称为数 k k 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 A A 的的的的数量乘积数量乘积数量乘积数量乘积(简称简称简称简称数乘数乘数乘数乘). ). 二、矩阵的数乘（数与矩阵相乘）二、矩阵的数乘（数与矩阵相乘） 运算律运算律 设设 A, B 为同型矩阵为同型矩阵, k, l 为常数，则为常数，则(1) 1A = A;(2) k(lA) = (kl) A;(3) k(A + B) = kA + kB;(4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算.
4、数乘结合律数乘结合律分配律分配律 例例 设设 求矩阵求矩阵 X .也有移项规则也有移项规则解：解：n 引例引例 总收入和总利润总收入和总利润设某地有甲、乙、丙三个工厂设某地有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都生产每个工厂都生产产产 品品工工 厂厂甲甲乙乙丙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25(单位单位: 个个) 如下表所示如下表所示:、 4 种产品。已知每个工厂的年产量种产品。已知每个工厂的年产量三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法已知每种产品的单价已知每种产品的单价 ( 元元/个个 ) 和单位利润和单位利润(元元/个个)项项 目目产产 品品单单 价价单位利润单位利润
5、 100 20 150 45 300 120 200 60求各工厂的总收入与总利润求各工厂的总收入与总利润.如下表所示如下表所示:甲厂：甲厂：乙厂：乙厂：丙厂：丙厂： 解解 各工厂的总收入为各工厂的总收入为各工厂的总利润为各工厂的总利润为甲厂：甲厂：乙厂：乙厂：丙厂：丙厂：设计算法：设计算法：规定规定称称C是是A与与B的乘积的乘积左左行行右右列列n 定义定义 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A = ( = (a aij ij) )mm p p , , B B = ( = (b bij ij) )p p n n , , i i = 1, 2, , = 1, 2, , mm, , j j = 1,
6、2, , = 1, 2, , n n 则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 C C 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 的的的的乘积乘积乘积乘积, , 记作记作记作记作 C = ABC = AB c cij ij = = a ai i1 1b b1 1j j + + a ai i2 2b b2 2j j + + + + a aipipb bpjpj C C = ( = (c cij ij) )mm n n , , 其中其中其中其中注意注意: 只有当左矩阵的只有当左矩阵的只有当左矩阵的只有当左矩阵的列数列数列数列数等于右矩阵的等于右矩阵的等于右矩阵的等于右矩阵的行数行
7、数行数行数时时时时, , 两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .乘法运算图示：乘法运算图示：(2) 设s = t = p (1)内判定是否可乘判定是否可乘确定C的型号外如何确定C的元素？1. A与自身可乘与自身可乘A为方阵为方阵称A与与B可交换可交换思考：思考： 例例 1 求矩阵求矩阵的乘积的乘积 AB、 BA 及及 AC.例例 2 设设求求 AB 与与 BA .(1) 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律.左乘左乘 B”或或“B 右乘右乘 A”.在作乘法时在作乘法时, 应指明它们相乘的次序应指明它们相乘的次序. AB 读作读作“A（一）（一） 与与“数的乘
8、法数的乘法”不同之处不同之处n 矩阵乘法的运算律矩阵乘法的运算律 (3) 矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律, 即如果即如果 例如例如AB = CB, B O, 不一定能推出不一定能推出 A = C. (2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如例如 即即AB=O / A = O或或B = O。BA = BC（二）与（二）与“数的乘法数的乘法”相似之处相似之处 (1)(1) OkmAmp=Okp , AmpOpn=Omn ; (2)(2) (5)(5) k(AB) = (kA)B = A(kB). （混乘结合律）（混乘结合律） (B + C)A = BA
9、 + CA; （右分配律）（右分配律）(4)(4) A(B + C) = AB + AC,（左分配律）（左分配律）(3)(3) (AB)C = A(BC); （乘法结合律）（乘法结合律）例例 3 设矩阵设矩阵试求出所有与试求出所有与 A 可交换的矩阵可交换的矩阵.由矩阵乘法满足结合律，可得到由矩阵乘法满足结合律，可得到方方阵的阵的幂幂.设设 A 为为 n 阶矩阵，对于正整数阶矩阵，对于正整数 m，记，记Am = AA A m 个个规定规定A0 = E .设设 k , l 为任意非负整数，则有为任意非负整数，则有AkAl = Ak + l , ( Ak )l = Akl 称之为称之为称之为称之为 的的的的 m 次幂次幂。引申出方阵的多项式 例例4 (p53习题习题6) (补充补充) 设设计算计算 A2, A3, An (n3).例例 5 ( (补充补充补充补充) 证明证明几何法：几何法：代数法：代数法： 1. 对于线性方程组对于线性方程组若令若令n 矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用则上述线性方程组可写成如下矩阵方程形式则上述线性方程组可写成如下矩阵方程形式:A mm n n X = b2. 线性变换线性变换利用矩阵的乘法，可记作利用矩阵的乘法，可记作Y = AX其中其中
