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1、20152015届高三届高三届高三届高三大一轮复习讲义大一轮复习讲义大一轮复习讲义大一轮复习讲义 命题及其关系、命题及其关系、 充分条件与必要条件充分条件与必要条件主页主页常常用用逻逻辑辑用用语语命题及命题及其关系其关系简单的逻简单的逻辑联结词辑联结词充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件量词量词命题命题充分条件充分条件充要条件充要条件必要条件必要条件且且全称量词全称量词 存在量词存在量词 全称命题全称命题特称命题特称命题或或pqpqp qp qp q p 或 q非非 四种四种命题命题原命题：若原命题：若p则则q逆命题：若逆命题：若q则则p否命题：若否命题：若 p则则 q逆命题：若逆
2、命题：若 q则则 p互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为逆否互为逆否等价关系等价关系四种命四种命题的相题的相互关系互关系主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1.命题的概念命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以在数学中用语言、符号或式子表达的，可以_的的陈述句陈述句叫做命题叫做命题. 其中其中_的的语句叫真命题，语句叫真命题，_的语句叫假命题的语句叫假命题.判断真假判断真假判断为真判断为真判断为假判断为假2.四种命题及其关系四种命题及其关系(1) 四种命题四种命题主页主页原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则
3、则p互为逆否互为逆否 同真同假同真同假互为逆否互为逆否 同真同假同真同假互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否(2) 四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题假假真真真真真真真真真真真真真真真真假假假假假假假假假假假假假假 两个命题互为两个命题互为逆否命题逆否命题,它们有相同的真假性它们有相同的真假性. 两个命题为两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题,它们的真假它们的真假性没有关系性没有关系.(3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页 pq,
4、相当于相当于A B , 即即从集合角度理解：从集合角度理解：(1)若若pq, 则则p是是q的的_.3.充分条件与充分条件与必要条件必要条件(2)若若q p, 则则p是是q的的_.或或 q p, 相当于相当于B A, 即即(3)若若q p, 则则p是是q的的 _. p q, 相当于相当于A= B, 即即充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点( 设集合设集合Ax|x满足条件满足条件p , Bx|x满足条件满足条件q )或或主页主页DC题号题号答案答案12345主页主页四种命题的关系及真假判断四种命题的关系及真假判断四种命题的关系及真假判断四种命题的
5、关系及真假判断 例例1. 以下关于命题的说法正确的有以下关于命题的说法正确的有_ (填写所有正确命题填写所有正确命题的序号的序号). “若若log2a0，则函数，则函数f(x)logax (a0，a1)在其定义域内在其定义域内是减函数是减函数”是真命题；是真命题； 命题命题“若若a0，则，则ab0”的否命题是的否命题是“若若a0，则，则ab0”； 命题命题“若若x, y都是偶数都是偶数,则则xy也是偶数也是偶数”的逆命题为真命题；的逆命题为真命题； 命题命题“若若aM，则，则b M”与命题与命题“若若bM，则，则a M”等价等价. (1)熟熟悉悉四四种种命命题题的的概概念念是是正正确确书书写写
6、或或判判断断四四种种命命题题真真假假的的关关键键;(2)根根据据“原原命命题题与与逆逆否否命命题题同同真真同同假假，逆逆命命题题与与否否命命题题同同真真同同假假”这这一一性性质质，当当一一个个命命题题直直接接判判断断不不易易进进行行时时，可可转转化为判断其等价命题的真假；化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例认真仔细读题，必要时举特例.对于对于，若，若log2a0，则，则a1 f(x)logax在其定义域内是增函数在其定义域内是增函数;对于对于，其逆命题是，其逆命题是“若若xy是偶数是偶数,则则x, y都是偶数都是偶数”, 是假命题是假命题.主页主页有下列四个命题：有下列四
7、个命题：“若若xy0，则，则x，y互为相反数互为相反数”的逆命题；的逆命题；“全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的否命题；的否命题；“若若q1，则，则x22xq0有实根有实根”的逆否命题；的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等不等边三角形的三个内角相等”的逆命题的逆命题.其中真命题的序号为其中真命题的序号为_.的逆命题是的逆命题是“若若x, y互为相反数互为相反数,则则xy0”, 真真；的否命题是的否命题是“不全等的三角形的面积不相等不全等的三角形的面积不相等”,假假；若若q1，则，则44q0，所以，所以x22xq0 有实根有实根,其逆否命题与原命题是等价命题其逆否命题与原命题是等价
8、命题, 真真；的逆命题是的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三个内角相等的三角形是不等边 三角形三角形”, 假假.主页主页(2) p：xy8， q：x2且且y6，p是是q的的充要条件充要条件.即即 q是是 p的充分不必要条件，的充分不必要条件，显然显然 q p，所以所以p是是q的的充分不必要条件充分不必要条件.充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断 解解:主页主页充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断 (3)显然
9、显然xAB不一定有不一定有xB ,(4)条件条件p：x1且且y2，条件，条件q：x1或或y2,但但xB一定有一定有xAB ,所以所以p是是q的的必要不充分条件必要不充分条件.所以所以p q故故p是是q的的充分不必要条件充分不必要条件. 判断判断p是是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件能否推得条件q；二是由条件；二是由条件q能否推得条件能否推得条件p.对于带有否定性对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命
10、题和题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.主页主页 主页主页 对对于于,当当数数列列an为为等等比比数数列列时时, 易易知知数数列列anan1是是等等比比数数列列; 但但当当数数列列anan1为为等等比比数数列列时时，数数列列an未未必必是是等等比比数数列列,如如数数列列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8显显然然不不是是等等比比数数列列，而而相相应应的的数列数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此是等比数列，因此正确；正确； 对于对于，当，当a2时，函数时，函数f(x)|xa|在区间在
11、区间2，)上是上是增函数，因此增函数，因此不正确；不正确； 对于对于，当，当m3时，相应两条直线垂直，反之，这两条时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有直线垂直时，不一定有m3，也可能，也可能m0.因此因此不正确；不正确；主页主页充要条件的证明充要条件的证明充要条件的证明充要条件的证明例例3. 求证：关于求证：关于x的方程的方程ax22x10至少有一个负实根的充至少有一个负实根的充要条件是要条件是a1.主页主页 (1)(1)条条件件已已知知证证明明结结论论成成立立是是充充分分性性，结结论论已已知知推推出出条条件件成成立立是是必必要要性性.(2).(2)证证明明分分为为两两个个环
12、环节节，一一是是充充分分性性；二二是是必必要要性性. .证证明明时时，不不要要认认为为它它是是推推理理过过程程的的“双双向向书书写写”，而而应应该该进进行行由由条条件件到到结结论论，由由结结论论到到条条件件的的两两次次证证明明.(3).(3)证证明明时时易易出出现现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论. .主页主页 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snpnq(p0，且，且p1)，求证：，求证：数列数列an为等比数列的充要条件为为等比数列的充要条件为q1.主页主页 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snpnq(p0
13、，且，且p1)，求证：数，求证：数列列an为等比数列的充要条件为为等比数列的充要条件为q1.主页主页等价转化思想在充要条件关系中的应用等价转化思想在充要条件关系中的应用 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简先求出两命题的解集，即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于再利用命题间的关系列出关于m的不等式的不等式或不等式组，得出结论或不等式组，得出结论.主页主页8分分12分分主页主页p是是q的充分而不必要条件，的充分而不必要条件，12分分主页主页 本本例例涉涉及及参参数数问问题题，直直接接解解决决较较为为困困难难，先先用用等等价价转转化化思思想想，将将复复杂杂、生生疏疏的的问问题
14、题化化归归为为简简单单、熟熟悉悉的的问问题题来来解解决决.一一般般地地，在在涉涉及及字字母母参参数数的的取取值值范范围围的的充充要要关关系系问问题题中中，常常常常要要利利用用集集合合的的包包含含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.主页主页 1.当当一一个个命命题题有有大大前前提提而而要要写写出出其其它它三三种种命命题题时时，必必须须保保留留大大前前提提,也也就就是是大大前前提提不不动动；对对于于由由多多个个并并列列条条件件组组成成的的命命题，在写其它三种命题时题，在写其它三种命题时,应把其中一个应把其中一个(或或n个个)作为大前提作为大前提. 2.数
15、数学学中中的的定定义义、公公理理、公公式式、定定理理都都是是命命题题，但但命命题题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：定义法：直接判断若直接判断若p则则q, 若若q则则p的真假的真假. (2)等等价价法法：利利用用AB与与 B A，BA与与 A B，AB与与 B A的的等等价价关关系系，对对于于条条件件或或结结论论是是否否定定式式的的命命题题，一般运用等价法一般运用等价法. (3)利利用用集集合合间间的的包包含含关关系系判判断断：若若AB，则则A是是B的的充充分条
16、件或分条件或B是是A的必要条件；若的必要条件；若AB，则，则A是是B的充要条件的充要条件.主页主页 1.否否命命题题是是既既否否定定命命题题的的条条件件，又又否否定定命命题题的的结结论论，而而命命题题的的否否定定是是只只否否定定命命题题的的结结论论.要要注注意意区区别别. 2.判判断断p与与q之之间间的的关关系系时时，要要注注意意p与与q之之间间关关系系的的方方向向性性，充充分分条条件件与与必必要要条条件件方方向向正正好好相相反反，不要混淆不要混淆.主页主页作业纸作业纸:课时规范训练课时规范训练:P.1- -2 预祝各位同学，预祝各位同学，20132013年高考取得好成绩年高考取得好成绩! !
17、主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案DBAA组组专项基础训练题组专项基础训练题组主页主页三、解答题三、解答题主页主页三、解答题三、解答题主页主页主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案ACBB组专项能力提升题组组专项能力提升题组7. 3或或4 主页主页三、解答题三、解答题主页主页1（2）a a2 2+2+2a a, B=, B=x|axax|axa2 2+2+2.主页主页主页主页主页主页主页主页4.4.充分充分( (必要、充要必要、充要) ) 条件的判别方法条件的判别方法分清条件与结论分清条件与结论找推式找推式(尝试用条件推结论尝
18、试用条件推结论,再尝试用结论推条件）再尝试用结论推条件）下结论下结论(指出条件是结论的什指出条件是结论的什么条件）么条件）(1)定义法判断定义法判断(2)集合法判断集合法判断(利用集合之间的包含关系利用集合之间的包含关系)(3)转化法判断转化法判断(等价命题等价命题)(4)传递法判断传递法判断 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围大范围不能推出小范围.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页(1)定定义义法法：判判断断p是是q的的什什么么条条件件，实实际际上上就就是是判判断断pq或或qp是是否否成成立立，只只要要把把题题目
19、目中中所所给给条条件件按按逻逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.若若pq， 则则p是是q的充分条件；的充分条件；若若qp， 则则p是是q的必要条件；的必要条件；若若pq且且qp，则，则p是是q的充要条件；的充要条件；若若pq且且q p， 则则p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件；若若p q且且qp， 则则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件；若若p q且且q p，则，则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.4.4.充分充分( (必要、充要必要、充要) ) 条件的判别方法条件的判别方法忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要
20、点点主页主页(2)集集合合法法：在在对对命命题题的的条条件件和和结结论论间间的的关关系系判判断断有有困困难难时时，有有时时可可以以从从集集合合的的角角度度来来考考虑虑，记记条条件件p、q对应的集合分别为对应的集合分别为A、B，则：，则：若若AB，则，则p是是q的充分条件；的充分条件；若若AB，则，则p是是q的充分非必要条件；的充分非必要条件；若若AB，则，则p是是q的必要条件；的必要条件；若若AB，则，则p是是q的必要非充分条件；的必要非充分条件；若若A=B，则，则p是是q的充要条件；的充要条件；若若A B，且且A B，则则p是是q的的既既非非充充分分条条件件也也非非必必要条件要条件.忆忆 一
21、一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页(3)用命题的等价性判断：用命题的等价性判断： (“若若p，则，则q”)原命题为真而逆命题为假，原命题为真而逆命题为假，p是是q的充分不必要条件；的充分不必要条件； 原命题为假而逆命题为真，则原命题为假而逆命题为真，则p是是q的必要不充分条件；的必要不充分条件； 原命题为真，逆命题为真，则原命题为真，逆命题为真，则p是是q的充要条件；的充要条件； 原命题为假，逆命题为假，则原命题为假，逆命题为假，则p是是q的既不充分也不必要的既不充分也不必要条件条件.同时要注意反例法的运用同时要注意反例法的运用.(4)传递法判断传递法判断忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要
22、要 点点主页主页例例1.分分别别写写出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题、否否命命题题、逆逆否否命命题题，并判断它们的真假：并判断它们的真假：题型一题型一 四种命题的相互关系四种命题的相互关系（1）若）若AB=U，则，则A= UB.逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题若若A= UB,则则AB=U若若ABU,则则 A UB若若A UB,则则ABU真命题真命题真命题真命题假命题假命题写成写成“若若p p，则，则q q”的形式的形式写出逆命题、否命题、逆否命题写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假判断真假思维启迪思维启迪主页主页(2)若若x+y=5,则则x=3且且y=2.逆命题：逆命题： 若若x=
23、3且且y=2，则，则x+y=5, 真命题真命题.否命题：若否命题：若x+y5，则，则x3或或y2，真命题，真命题.逆否命题：若逆否命题：若x3或或y2，则，则x+y5,假命题假命题. 题型一题型一 四种命题的相互关系四种命题的相互关系例例1.分分别别写写出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题、否否命命题题、逆逆否否命命题题，并判断它们的真假：并判断它们的真假：判断：若判断：若x+y5，则，则x3或或y2.主页主页 【1】若命题】若命题p的逆命题是的逆命题是q，命题，命题p的否命的否命题是题是r，则，则q是是r的的( )A.逆命题逆命题 B.否命题否命题C.逆否命题逆否命题 D.以上判断都不对以上
24、判断都不对C设设 p：若：若a，则，则b，则则q：若：若b，则，则a， r：若：若a，则，则b.所以所以q是是r是逆否命题是逆否命题.题型一题型一 四种命题的相互关系四种命题的相互关系主页主页 【2 2】若若mn0,则方程则方程mx2- -xn0有两个有两个不相等不相等的实数根的实数根.若方程若方程mx2- -xn0有两个相等的实数根或无实有两个相等的实数根或无实数根，则数根，则mn0.逆否命题：逆否命题：若方程若方程mx2- -xn0有有两个相等的实数两个相等的实数根，则根，则mn0.题型一题型一 四种命题的相互关系四种命题的相互关系主页主页命题的否定：命题的否定： 零的平方零的平方不等于不
25、等于0 0. .否命题：否命题： 非零数的平方不等于非零数的平方不等于0.命题的否定：命题的否定： 平行四边形的对角线不相等平行四边形的对角线不相等或不互相平分或不互相平分.否命题：否命题： 若四边形不是平行四边形若四边形不是平行四边形,则它的则它的对角线不相等或不互相平分对角线不相等或不互相平分.【3】 写出下列命题的否定与否命题写出下列命题的否定与否命题 零的平方等于零的平方等于0. 平行四边形的对角线相等且互相平分平行四边形的对角线相等且互相平分.题型一题型一 四种命题的相互关系四种命题的相互关系主页主页题型二题型二题型二题型二 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断充分条件、
26、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断例例2.下列各小题中，下列各小题中，p是是q的充要条件的是的充要条件的是( )p:m6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零有两个不同的零点；点；p: , q: y=f(x)是偶函数；是偶函数；p:cos =cos, q:tan =tan;p: AB=A, q: UB UAA. B. C. D.D 充要条件的判断：充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；）分清命题的条件与结论；（2）常常用用方方法法有有：定定义义法法,集集合合法法,变变换换法法(命命题题的的等等价价变变换换)等等.主页主页 【1】a b成立的充分不必要的条件是成立的充分不必要的条件
27、是( ) A. acbc B. DC. a+cb+c D. ac2bc2 【2】已知】已知p:|2x- -3|1; q: ,则则 p是是 q的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 A主页主页A. 充分而不必要条件充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件必要而不充分条件C. 充要条件充要条件 D. 不充分也不必要条件不充分也不必要条件 B【3】【4】 “sinAsinB”是是“AB”的的_条条件件.既不充分又不必要既不充分又不必要充要充要【5】在】在ABC中中, “sinAsinB”是是 “AB”
28、的的_条条件件.【6】在】在ABC中中, “B=60”是是 “A, B, C成等差数列成等差数列”的的 _条件条件.充要充要主页主页7.若若非非空空集集合合A,B,C满满足足AB=C,且且B不不是是A的的子子集集，则则“xC ”是是“xA”的的( )BA.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分条件也不必要条件既不充分条件也不必要条件由由AB=C，则，则A C且且B C，故，故xA,则则xC8.已知已知P: xy2009；Q：x2000且且y9,则则P是是Q 的的 _条件条件.解解: 逆否命题是逆否命题是x2000或或y9 xy2
29、009不成立，不成立，既不充分又不必要既不充分又不必要显然其逆命题也不成立显然其逆命题也不成立. .题型二题型二题型二题型二 充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断主页主页例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要有两个负实根的充要条件是条件是m2.证明：证明：(1)充分性：因为充分性：因为m2，所以，所以m240， 所以方程所以方程x2mx10有实根有实根. 设设x2mx10的两个实根为的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知由根与系数的关系知x1x210. 所以所以x1、x2同号同号. 又因为又因为
30、x1x2m2， 所以所以x1、x2同为负根同为负根.题型三题型三 充要条件的证明充要条件的证明主页主页证明：证明：(2)必要性必要性:因为因为x2mx10的两个实根的两个实根x1,x2均为负，均为负， 且且x1x21， 所以所以m2(x1x2)2所以所以m2.综合综合(1)(2)知命题得证知命题得证.例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要有两个负实根的充要条件是条件是m2.题型三题型三 充要条件的证明充要条件的证明主页主页解得解得0a1. 1. 求关于求关于x的方程的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实至少有一个负实根的充要条件根的充要条件.解解: (1)a
31、=0适合适合. (2)a0时，显然方程没有零根时，显然方程没有零根.若方程有两异号实根，则若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则若方程有两个负的实根，则 因此，关于因此，关于x的方程的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要至少有一负的实根的充要条件是条件是a1.综上知，若方程至少有一个负实根，则综上知，若方程至少有一个负实根，则a1.反之，若反之，若a1,1,则方程至少有一个负的实根，则方程至少有一个负的实根，主页主页题型四题型四题型四题型四 与充要条件有关的参数问题与充要条件有关的参数问题与充要条件有关的参数问题与充要条件有关的参数问题解：设解：设Ax|(4x3)21，
32、 Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知易知Ax| x1， Bx|axa1. 故所求实数故所求实数a的取值范围是的取值范围是 从而p是q的充分不必要条件，即 主页主页例例5函数函数f(x) ax3 ax22ax2a1的图象经过四个象的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是限的一个充分但不必要条件是 () 【解析】【解析】f (x)a(x2)(x1)， 函数函数f(x)在在x2和和x1处取得极值，如图所示处取得极值，如图所示.B函数函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是的图象经过四个象限的充要条件是f(2)f(1) 0，解之得，解之得，在四个选项中只有在四个选项中只有题型五题型五 综合题型综合题型主页主页B 题型五题型五 综合题型综合题型主页主页2.若若非非空空集集合合A,B,C满满足足AB=C,且且B不不是是A的的子子集集，则则“xC ”是是“xA”的的 ( )BA.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分条件也不必要条件既不充分条件也不必要条件由由AB=C，则，则A C且且B C，故，故xA,则则xC 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能, ,就就象象游游泳泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚
