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1、方格中正方形的计数问题方格中正方形的计数问题 如图,图中有多少个正方形?如图,图中有多少个正方形? 我我 的的 选选 题题选选 题题 分分 析析1 1、条件分析、条件分析2 2、能力发展、能力发展3 3、情感目标、情感目标4 4、数学思想、数学思想5 5、解题策略、解题策略5 555方格图方格图 有序观察有序观察 探寻规律探寻规律 分类分类 建模建模 化多为少化多为少 以退为进以退为进探究的快乐探究的快乐 几何的魅力几何的魅力解 题 思 路u化多为少,从数量少的开始研究,先研究化多为少,从数量少的开始研究,先研究边长为边长为3个长度单位的正方形。个长度单位的正方形。u分类枚举,化难为易,寻找解
2、题的突破口。分类枚举,化难为易,寻找解题的突破口。解 题 过 程第一层次:第一层次:3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为1 1的正方形有:的正方形有:3 33=93=9(个)(个)第一层次:第一层次:3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有:的正方形有:2 22=42=4(个)(个)第一层次:第一层次:3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有:的正方形有:1 11=11=1(个)(个) 第一层次:第一层次:3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为:正方形的总个数为:9+4+1
3、=39+4+1=32 2+2+22 2+1+12 2=14=14(个)(个) u 边长为边长为1 1的正方形有:的正方形有:4 44=164=16(个)(个)第二层次:第二层次:4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有:的正方形有:3 33=93=9(个)(个)第二层次:第二层次:4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有:的正方形有:2 22=42=4(个)(个)第二层次:第二层次:4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为4 4的正方形有:的正方形有:1 11=11=1(个)(个)第二层次:第二层次:4
4、 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为:正方形的总个数为:16+9+4+1=416+9+4+1=42 2+3+32 2+2+22 2+1+12 2=30=30(个)(个)第二层次:第二层次:4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为1 1个的正方形有:个的正方形有:5 55=255=25(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有:的正方形有:4 44=164=16(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有:的正方形有:3
5、33=93=9(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为4 4的正方形有:的正方形有:2 22=42=4(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为5 5的正方形有:的正方形有:1 11=11=1(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为:正方形的总个数为: 25+16+9+4+1=5 25+16+9+4+1=52 2+4+42 2+3+32 2+2+22 2+1+12 2=55=55(个)(个)第三层次:第三层次:5 55 5方格图中的正方形
6、方格图中的正方形 探索规律探索规律方格方格类型类型334455 nn正方正方 形形 个数个数32+22+12=1442+32+22+12=3052+42+32+22+12=55 n2+(n-1)2+32+22+12 拓拓 展展 探探 究究1、数一数下面、数一数下面65方格方格中有多少个正方形?中有多少个正方形?边长为边长为1 1的正方形:的正方形:6 65=305=30(个)(个)边长为边长为2 2的正方形:的正方形:5 54=204=20(个)(个)边长为边长为3 3的正方形:的正方形:4 43=123=12(个)(个)边长为边长为4 4的正方形:的正方形:3 32=62=6(个)(个)边长
7、为边长为5 5的正方形:的正方形:2 21=21=2(个)(个)30+20+12+6+2=7030+20+12+6+2=70(个)(个) 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点,每个点上都有钉子,形成一个点,每个点上都有钉子,形成一 44的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?的钉阵,用皮筋能套出几个正方形? 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点,每个点上都有钉子,形成一个点,每个点上都有钉子,形成一 44的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?套出的正向正方形:套出的正向正方形:32+22+12=14(个)(个) 拓拓 展展 探探 究究 2、
8、平面上有、平面上有16个点,每个点上都有钉子,形成一个点,每个点上都有钉子,形成一 44的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?套出的斜向正方形:套出的斜向正方形: 4 个个 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点,每个点上都有钉子,形成一个点,每个点上都有钉子,形成一 44的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?套出的斜向正方形:套出的斜向正方形: 2 个个 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点,每个点上都有钉子,形成一个点,每个点上都有钉子,形成一 44的钉阵,用皮筋能套出几个正方形?的钉阵,用皮筋能套出几个
9、正方形?套出的正方形:套出的正方形:14+4+2=20(个)(个)3、数一数魔方中有多少个正方体?、数一数魔方中有多少个正方体?。棱长为棱长为1的正方体:的正方体:64个个棱长为棱长为2的正方体:的正方体:27个个棱长为棱长为3的正方体:的正方体:8个个棱长为棱长为4的正方体:的正方体:1个个64+27+8+1=43+33+23+13+=100(个)(个)在棱长为在棱长为n n的正方体中,数正方体个数的规律是:的正方体中,数正方体个数的规律是:1 13 3+2+23 3+3+33 3+ +n3一维一维 数数 线线 段段:1 11+2+21+3+31+ +n+n1二维二维 数正方形数正方形:1 12 2+2+22 2+3+32 2+ +n+n2 2三维三维 数正方体:数正方体:1 13 3+2+23 3+3+33 3+ +n+n3 3解解 题题 反反 思思u 善于退,足够地退,退到最原始而又不失善于退,足够地退,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个重要去重要性的地方,是学好数学的一个重要的诀窍。的诀窍。u通过化多为少,化难为易,让学生经历特通过化多为少,化难为易,让学生经历特殊到一般的归纳过程,从中品出浓浓的数殊到一般的归纳过程,从中品出浓浓的数学味儿。学味儿。