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1、相似三角形1我爱思考1：世界上最高的树世界上最高的树 红杉红杉我爱思考2：中国中国最高的楼最高的楼 台北台北101101大楼大楼怎样测量这些非常怎样测量这些非常高大物体的高度？高大物体的高度？目录1、相似多边形知识点回顾2、相似三角形的判定3、相似三角形的性质4、相似三角形的预备定理相似多边形的判定相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形的两个多边形为相似多边形. .两个条件要两个条件要同时具备同时具备温馨温馨回顾回顾： 相似多边形概念：（1 1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.（2 2）相似多边形的识别：如果两个
2、多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.（3 3）相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. 相似多边形的性质：（1 1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2 2）相似多边形的周长比等于相似比（3 3）相似多边形的面积比等于相似比的平方 在在1010倍的放大镜下看到的三角形倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比与原三角形相比: :三角形的边长三角形的边长, ,周长周长, ,面积面积, ,角角, ,发发生什么关系？生什么关系？我爱学习我爱学习 相似三角形的概念：（1 1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2 2）相似三角形的表示方法：用“”表示，读作相
3、似于.如：ABC和DEF相似，可以写成ABCDEF，也可以写成DEFABC，读作ABC相似于DEF.回顾并思考回顾并思考三角、三边对应三角、三边对应相等的两个三角相等的两个三角形全等形全等 三角对应相等三角对应相等, , 三三组对应边的比相等组对应边的比相等的两个三角形相似的两个三角形相似 角角边边角角A AS SA A角角角角边边A AA AS S边边边边边边S SS SS S边边角角边边S SA AS S斜斜边边与与直直角角边边H HL L 判定三角形相似判定三角形相似，是不是也有是不是也有这这么多种方么多种方法呢？法呢？ 相似三角形的判定相似三角形的判定方法方法：（1 1）如果两个三角形
4、的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（2 2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（3 3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（4 4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. （5 5）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；边边边边边边S SS SS S已知：已知：ABCABCA A1 1B B1 1C C1. 1.A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC C求证：求证：探究探
5、究1 1 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取 ，过点，过点D D作作 ，交，交 于点于点E E根据前面的根据前面的定理可得定理可得 . .A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD DE E又又A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD DE E（SSSSSS） 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCABCA A1 1B B1 1C C1. 1.即：即：如果如果那么那么A A1 1B
6、B1 1C C1 1A AB BC C 三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。边边边边边边S SS SS S 求证：求证：BAD=BAD=CAECAE。A AD DC CE EB B ABCABC ADEADEBAC=BAC=DAEDAEBACBACDAC =DAC =DAEDAEDACDAC即即BAD=BAD=CAECAE练练一练一练已知：已知：解：解：边边角角边边S SA AS S探究探究2 2已知：已知：ABCABCA A1 1B B1 1C C1. 1.A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC C求证：求证：B =B =B B1 1 . .你能你能证明明
7、吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。边边角角边边S SA AS S A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CABCABCA A1 1B B1 1C C1 1. .即：即：如果如果B =B =B B1 1 . .那么那么角角边边角角A AS SA A角角角角边边A AA AS S角角角角A AA AA A1 1B
8、 B1 1C C1 1A AB BC C已知：已知：ABCABCA A1 1B B1 1C C1. 1.求证：求证：A =A =A A1 1，B =B =B B1 1 . .你能你能证明明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角A AA AA A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CABCABCA A1 1B B1 1C C1 1. .即：即
9、：如果如果那么那么 A =A =A A1 1，B =B =B B1 1 . . 如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。ACD ACD CBD CBD ABC ABC练练一练一练找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“ “双垂直双垂直” ”三角形三角形B BD DA AC C有三对相似三角形：有三对相似三角形：ACDACD CBDCBDCBDCBD ABCABCACDACD ABCABC相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形
10、对应高的比等于相似比 ABC ABC A A1 1B B1 1C C1 1 B = B = B B1 1 又又ADB = ADB = A A1 1D D1 1B B1 1 =90 =900 0 ADB ADB A A1 1D D1 1B B1 1（角角）（角角）A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD DD D1 1证明：证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ABC ABC A A1 1B B1 1C C1 1 B = B = B B1 1，BAC = BAC = B B1 1A A1 1C C1 1 AD AD，A A1 1D D1
11、1分别是分别是BACBAC和和B B1 1A A1 1C C1 1的角平分线的角平分线 BAD = BAD = B B1 1A A1 1D D1 1 ADB ADB A A1 1D D1 1B B1 1（角角）（角角）A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD DD D1 1证明：证明：相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD DD D1 1探究探究4 4已知：已知：ABCABCA A1 1B B1 1C C1. 1.求证：求证：你能你能证明明吗？H HL LA AB BC CA A1 1B B1 1
12、C C1 1RtRtABC ABC 和和 RtRtA A1 1B B1 1C C1. 1. 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。知识要点知识要点真命题真命题 H HL LA AB BC CABCABCA A1 1B B1 1C C1 1. .即：即：如果如果那么那么 A A1 1B B1 1C C1 1RtRtABC ABC 和和 Rt RtA A1 1B B1 1C C1. 1. 利用利用三角形相似可以解决一
13、些不能利用利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题直接测量的物体的长度的问题 学校操场上的国旗旗杆的高度我们无法直接测量，你能否借助平行的太阳光线来测量呢？ 轻松一刻轻松一刻 6m6m 古希腊数学家、天文学家泰勒斯古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度。的高度。D DE EA(F)A(F)B BO O2m2m3m3m201m201m解：解：太阳光是平行线，太阳光是平行线， 因此因此BAO= BAO= EDFEDF又又 AOB= AOB= DFE=90DFE=90ABOABODEFDEFBOBOEFEF= =BO =B
14、O = = 134134OAOAFDFDOA EFOA EFFDFD= =201220123 3A AF FE EB BO O 还可以有其他方法测量吗？还可以有其他方法测量吗？一题多解一题多解OBOBEFEF= =OAOAAFAFABOABOAEFAEFOB =OB =OA EFOA EFAFAF平面镜平面镜 相似三角形的性质：（1 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2 2）相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.（3 3）相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.A AB BC CD DE EF F相似三角形
15、的周长比等于相似比吗相似三角形的周长比等于相似比吗? ?从而由等比性质有从而由等比性质有相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比. .已知：如图已知：如图， ABCABCABCABC，它们的相似比是它们的相似比是K K， ADAD、ADAD分别是高分别是高. .求证求证：证明证明： ABCABCABCABCBBDDCCAAA AB BC CD D相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方. .已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格2 2242 210101010100100如图，如图，中，中， ，则则: :四边形四边形:
16、:四边形四边形=_ .=_ .1 1：3 3：5 5 已知已知: :梯形梯形ABCDABCD中中ADADBC,AD=36cm, BC=60cm,BC,AD=36cm, BC=60cm,延长延长两腰两腰BA,CDBA,CD交于点交于点 O,OF O,OFBC,BC,交交ADAD于于E,EF=32cm,E,EF=32cm,则则OF=_.OF=_.ABCDEOF F80cm80cm 已知梯形已知梯形ABCDABCD中，中， ADADBCBC，对角线，对角线ACAC、BDBD交于点交于点O O，若，若AODAOD的面积的面积为为4cm4cm2 2, BOC, BOC的面积为的面积为9cm9cm2 2,
17、 , 则梯形则梯形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2A AB BC CD DO O解解: :AODCOB SAOD:SCOB=4:9AODCOB SAOD:SCOB=4:9OD:OB=2:3OD:OB=2:3SAOD:SAOB=2:3SAOD:SAOB=2:3SAOB=6cmSAOB=6cm2 2梯形的面积为梯形的面积为25cm25cm2 2ADBCADBC2 25 5 相似三角形判定的预备定理相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边( (或两边的延或两边的延长线长线) )相交。所构成的三角形与原三角形相似。相交。所构成的三角
18、形与原三角形相似。 平行于平行于三角形一边的直线与其他两边三角形一边的直线与其他两边( (或两边的延长或两边的延长线线) )相交。所构成的三角形与原三角形相似。相交。所构成的三角形与原三角形相似。D DA AB BC CE E DEBCDEBCADEADEABCABC相似三角形判定的预备定理：相似三角形判定的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等比相等. .A AB BC CD DE El l1 1l l2 2l l3 3l l4 4l l5 5A AB BC CD DE El
19、l1 1l l2 2l l3 3l l4 4l l5 5L1L1L2L2L3L3L4L4L5L5L1L1L2L2L3L3L4L4L5L5A AB BC CE ED DA AB BC CD DE E DE DEBCBC ADAD AEAEACACABAB= = DE DEBCBC ADAD AEAEACACABAB= =数学符号语言数学符号语言数学符号语言数学符号语言平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等，所得的对应线段的比相等 如如图图，ABC ABC 中中，DEDEBCBC，GFGFABAB，DEDE、GF
20、GF交交于于点点，则则图图中中与与ABCABC相相似似的的三三角角形形共共有有多多少少个个? ?请请你写出来你写出来. .解： 与ABCABC相似的三角形有相似的三角形有3 3个个: :A A A AB BC CD DE EF FG GO如图，在如图，在ABCABC中，中，DGDGEHEHFIFIBCBC，（1 1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形；（2 2）如果）如果AD=1AD=1，DB=3DB=3，那么，那么DGDG：BC=_BC=_。A AB BC CD DE EF FG GH HI IADGADGAEHAEHAFIAFIABCABC1 1：4 4课堂小结课堂小
21、结1. 1. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 定义定义 预备定理预备定理 判定定理一判定定理一 ( (三组对应边的比相等）三组对应边的比相等） 判定定理二判定定理二 ( (两组对应边的比相等且夹角相等）两组对应边的比相等且夹角相等） 判定定理三判定定理三 （两角对应相等）（两角对应相等）（三（三边对应成比例成比例，三角相等）三角相等）（SSSSSS）（AAAA）（SASSAS） 对应角相等。对应角相等。 对应边的比相等。对应边的比相等。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线
22、的比等于相似比。2. 2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：（1 1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2 2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3 3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。（4 4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5 5）有一个角是）有一个角是100 100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6 6）有一个角是）有一个角是70 70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7 7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1 1，则它们必全等。，则它们必全等。（8 8）
23、相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1. 1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。 随堂练习随堂练习A AB BC CD DF FE E1 1、若若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段你能求出线段AEAE的长度的长度吗？吗？2 2BDFBACBDFBACDFACDFACAC=10AC=10解：解：DEBC,DFACDEBC,DFAC四边形四边形DFCEDFCE为平行四边形为平行四边形FC=DE=2FC=DE=2，EC=DF=6EC=DF=63 32 21.51.56 6
24、6 6AE=AC-CE=10-6=4AE=AC-CE=10-6=4BDMBDMBACBACA AB BC CMMD DE E 2 2、 如图：在如图：在ABCABC中，点中，点MM是是BCBC上上 任一点，任一点， MDMD ACAC，MEME ABAB， 若若 求求 的值。的值。= = ，BDBDABABECECACAC2 25 5解：解：MDMDACAC， = = = = ，BDBDBABA2 25 5BMBMBCBC = = CECECACACMCMCBCB = = 3 35 5MCMCBCBC又又 MEMEABAB，CEMCEMCABCAB2 2份份5 5份份3 3份份3 35 5=
25、= 1. 1. 铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,1m,长臂长长臂长16m,16m,当短臂端点下降当短臂端点下降0.5m0.5m时时, ,长臂长臂端点升高端点升高_8 8_m_m。 O OB BD DC CA A1m1m16m16m0. 0.5 5m m？迎考精炼迎考精炼 2. 2.某一时刻树的影长为某一时刻树的影长为8 8米米, ,同一时刻身高为同一时刻身高为1.51.5米的人的影长为米的人的影长为3 3米米, ,则树高为则树高为_4 4_。 3. 3. ABCABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120BC=120毫米，高毫米，高AD=80AD=80毫米，要把
26、它加工成正方形零件，使正方形的一边在毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BCBC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在ABAB、ACAC上，这个正方形零件的边长是上，这个正方形零件的边长是多少？多少？N NMMQ QP PE ED DC CB BA A解：设正方形解：设正方形PQMNPQMN是符合要求的是符合要求的ABCABC的高的高ADAD与与PNPN相交于点相交于点E E。设正方形。设正方形PQMNPQMN的边长为的边长为 x x 毫米。毫米。因为因为PNPNBCBC，所以，所以APNAPN ABCABC所以所以AEAEADAD= =PNPNBCBC 因此因此 ，得，得 x
27、=48 x=48（毫米）。（毫米）。8080x x8080= =x x120120 4. 4. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5 5米的位置上，求球拍击球的高度米的位置上，求球拍击球的高度h. h.（设网球是直线运动）（设网球是直线运动）A AD DB BC CE E5m5m10m10m？ 5. 5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为有人测得一高为1.81.8米的竹竿的影长为米的竹竿的影长为3 3米，某一高楼的影长为米，某一高楼的影长为9090米，
28、米，那么高楼的高度是多少米？那么高楼的高度是多少米？ 6. 6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A A，再在河的这一边选点再在河的这一边选点B B和和C C，使，使ABABBCBC，然后，再选点，然后，再选点E E，使，使ECECBCBC，用视线确定用视线确定BCBC和和AEAE的交点的交点D D此时如果测得此时如果测得BDBD120120米，米，DCDC6060米，米，ECEC5050米，求两岸间的大致距离米，求两岸间的大致距离ABAB A AE ED DC CB B7 7如图，如图，DEBCDEBC，（1 1）如果）
29、如果AD=AD=2 2，DB=DB=3 3，求，求DE:BCDE:BC的值；的值；（2 2）如果）如果AD=8AD=8，DB=DB=1212，AC=AC=1 15 5，DE=7DE=7，求，求AEAE和和BCBC的的长长 8 8. .某施工某施工队在道路拓在道路拓宽施工施工时遇到遇到这样一个一个问题，马路旁路旁边边原有一个面原有一个面积为100100平方米，周平方米，周长为8080米米的三角形的三角形绿化地，化地，由于由于马路拓路拓宽绿地被削去了一个地被削去了一个角角，变成了一个梯成了一个梯形形，原，原绿化地一化地一边边ABAB的的长由原来由原来的的3030米米缩短成短成1818米米. .现在
30、在的的问题是是: :被削去被削去的的部分面部分面积有有多多大？它大？它的的周周长是是多多少？少？D DE E3 30m0m1 18m8mB BC CA A 9 9. .如图，蛋糕店制作两种圆形蛋糕如图，蛋糕店制作两种圆形蛋糕, ,一种半径是一种半径是15cm,15cm,一种半径是一种半径是30cm,30cm,如果如果半径是半径是1 15cm5cm的蛋糕够的蛋糕够2 2个人吃个人吃, ,半径是半径是3 30cm0cm的蛋糕够多少人吃的蛋糕够多少人吃?(?(假设两种假设两种蛋糕的高度相同蛋糕的高度相同) ) 1010. .如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上一点，上一点，ACAC与与DEDE相交于相交于F F，若，若AE:EB=1:2AE:EB=1:2，求，求AEFAEF与与CDFCDF的的相似比。若相似比。若AEFAEF的面积为的面积为5 5平方厘米，求平方厘米，求CDFCDF的面积。的面积。B BF FE ED DC CA A谢谢大家的聆听！
