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1、u两个向量的两个向量的数量积数量积；u两个向量的两个向量的向量积向量积；u两两向向量量平平行行（共共线线）的的充充要条件；要条件；u两向量两向量垂直垂直的充要条件。的充要条件。u两个向量的数量积：两个向量的数量积：u两个向量的向量积：两个向量的向量积：求两个向量的夹角求两个向量的夹角三阶行列三阶行列式的计算式的计算u两向量平行（共线）：两向量平行（共线）：u两向量垂直：两向量垂直：为两个非零向量，则有为两个非零向量，则有 为两个非零向量，则有为两个非零向量，则有 第八章 第五节平面及其方程 一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面间的关系三、两平面间的
2、关系 .1.1.空间平面的定义空间平面的定义 与与一一个个固固定定点点的的连连线线垂垂直直于于某某固固定向量的点的集合。定向量的点的集合。 强调：强调： 固定向量固定向量一定不是零向量一定不是零向量，因为零向量的方，因为零向量的方向不定，我们认为零向量与任意一个向量共线。向不定，我们认为零向量与任意一个向量共线。 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 如如果果一一非非零零向向量量垂垂直直于于一一平平面面，这这向向量量就就叫叫做做该该平平面面的的法法线向量线向量.M0说明：说明：1）法向量垂直于平面内的任意一个向量；）法向量垂直于平面内的任意一个向量；2）法向量不唯一，所有法向量平行（共线）
3、。）法向量不唯一，所有法向量平行（共线）。平面的法向量唯一吗？平面的法向量唯一吗？一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1.1.空间平面的定义空间平面的定义平面的点法式方程平面的点法式方程已知：已知：解：解： 设设M(x, y, z)是平面上任是平面上任意一点，则意一点，则求：求：过点过点M0并与并与 垂直的垂直的平面方程平面方程。一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程2. 2. 平面的点法式方程平面的点法式方程向量的向量的坐标坐标解：解：取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程唯一确唯一确定定由平面的由平面的点法式方程点法式方程平面的一般方程平
4、面的一般方程法向量法向量二、二、平面的一般方程平面的一般方程思考题：思考题： 平面一般方程的几种特殊情况。平面一般方程的几种特殊情况。平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.二、二、平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程:逆向思维逆向思维设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解:二、二、平面的一般方程平面的一般方程设平面为设平
5、面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解:代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程二、二、平面的一般方程平面的一般方程平面的截距式方程平面的截距式方程二、二、平面的一般方程平面的一般方程空间两个平面的位置关系有三种：空间两个平面的位置关系有三种：重合重合、相交不重合相交不重合、平行平行。 三、两平面间的关系三、两平面间的关系1. 两个平面两个平面平行平行:三、两平面间的关系三、两平面间的关系2. 两个平面两个平面重合重合:三、两平面间的关系三、两平面间的关系3. 两个平面两个平面垂直垂直相交相交：（：（正交正交） 两个平面的法向量垂直两个平面的法向量垂直三、两平面间的关系三
6、、两平面间的关系4. 两个平面两个平面不垂直相交不垂直相交：（：（斜交斜交）三、两平面间的关系三、两平面间的关系定义：定义：两两平平面面法法向向量量之之间间的的夹夹角角称称为为两两平平面面的的夹夹角角。（通常取（通常取锐角锐角）三、两平面间的关系三、两平面间的关系定义：定义：两两平平面面法法向向量量之之间间的的夹夹角角称称为为两两平平面面的的夹夹角角。（通常取（通常取锐角锐角）两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式三、两平面间的关系三、两平面间的关系例例 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行.两平面重合两平面重合.三、两平面间的关系三、两平面间的关系考虑考虑“法向量法向量”解：解： N三、两平面间的关系三、两平面间的关系练习练习题题 N=D点到平面距离公式点到平面距离公式三、两平面间的关系三、两平面间的关系1.1.平面基本方程平面基本方程: :一般式一般式:点法式点法式:截距式截距式:2.2.平面与平面之间的关平面与平面之间的关系系平面平面平面平面垂直垂直: :平行平行: :夹角公式夹角公式: :
