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1、有关要点回顾有关要点回顾2连续型随机变量连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以连续地充满随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间某个区间, ,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量. .1离散型随机变量离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限多个或无随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个限可列个, , 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. . . 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律为为1. 2. （非负性）（非负性）（归一性）（归一性）其中其中 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能
2、象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率以指定它取每个值概率的方式的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式来描述其概率的方式来描述其概率分布分布.下面学习连续型随机变量及其概率密度下面学习连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量小结小结连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 设离散型随机变量设离散型随机变量X在在a, b内取内取n个个值值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=bX即小矩形的面积为即小
3、矩形的面积为取对应点的概率取对应点的概率x1=aPx2x3s1s2s3sn.xn=b 折线下面积之和！折线下面积之和！连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念X的概率的概率直方图：直方图：(1) 定义的引出定义的引出 若若X为连续型随机变量，由于为连续型随机变量，由于X在在a, b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线滑曲线而且：而且：XaP.b由此推出连续由此推出连续型随机变量型随机变量的定义的定义 设设X X是随机变量，如果存在定义在整个实数是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数轴上的函数f(x)f(x)，满足条件，满足条件 1. 2.对于
4、任意的对于任意的 3.则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量， 称为称为X的的概率密度函概率密度函数数, ,简称概率密度简称概率密度. .(2) 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)2) 1这这两两条条性性质质是是判判定定一一个个函函数数 f(x)是是否否为为某某个个随随机机变变量量X的的概概率率密密度度函函数数的的充充要要条条件件.3) X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一
5、区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关由此可得由此可得这是因为这是因为 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好这一点的值，恰好是是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x)() 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解 密度函数密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反的高度，并不反映映X取值的概率取值的概率. 但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取
6、a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以说，在某也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度近的程度.1问题：问题：f (a)是是=a的概率吗？的概率吗？事实上，若不计高阶无穷小，有：事实上，若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.PX=a=0 而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可见，可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出由由
7、P(B)=1, 不能推出不能推出 B=问题：概率为零的事件一定是不可能事件问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？吗？类似可知，类似可知，解解例例1得2. 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量() 均匀分布均匀分布均匀分布的意义均匀分布的意义事实上事实上，若若X U(a, b)，则对于满足，则对于满足的的c,d, 总有总有均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么
8、一般认为误差服从（）上的均匀分布。差服从（）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间如公交系统中乘客随机乘车的等车时间解解 设设X表示他等车时间（以分计），则表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且是一个随机变量，且X的概率的概率密度为密度为例例2 2（等待时间）公共汽车每（等待时间）公共汽车每1010分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站. .求他等车时间不超过求他等车时间不超过3 3分钟的概率分钟的概率. .所求概率为所求概率为解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为故有故有例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在
9、是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率例例4 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现对现对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至试求至少有两次观测值大于少有两次观测值大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 ”, Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次的次数数.解解则则因而有因而有(2) 指数分布指数分布指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性
10、”.证明证明而而于是于是指数分布的无记忆性是使其指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！具有广泛应用的重要原因！ 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间. .有些系统的寿命分布也可用指数分布来有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似近似, 当电子产品的失效是偶然失效时当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等的服务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设
11、备的寿命和维修时间在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.指数分布是伽玛分布和威布尔指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况分布的特殊情况.一般地一般地, 当随机质点流中在长当随机质点流中在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为的时间内出现的质点数服从参数为 t 的泊松分的泊松分布时布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指数分布的指数分布. 例例5 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命(以小时计以小时计) X 服从指数分服从指数分布布,其概率密度为其概率密度为(1) 求元件寿命至少为求元件寿命至少为200小时的概率小时的概率. (2) 将将3
12、只这种元件联接成为一个系统，设系统工作只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设只元件失效时系统失效，又设3只元只元件工作相互独立件工作相互独立.求系统的寿命至少为求系统的寿命至少为200小时的概小时的概率率. 解解 (1)(1)元件寿命至少为元件寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为 (2)(2)以以Y Y记记3 3只元件中寿命小于只元件中寿命小于200200小时的元件的只数小时的元件的只数. .由于各元件的工作由于各元件的工作相互独立，又由相互独立，又由(1)(1)知一元件的寿命小于知一元件的寿命小于200200小时的概率为小时的概率
13、为1-e1-e-2-2, ,故有故有2 2只及只及2 2只以上元件的寿命小于只以上元件的寿命小于200200小时的概率为小时的概率为故系统的寿命至少为故系统的寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为(3) 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服
14、从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布的概率计算等有关问题在第章正态分布的概率计算等有关问题在第章讲解讲解三、小结三、小结常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布课堂思考课堂思考 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量, 试试求他候车时间少于求
15、他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到之间到达车站达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3. 区间区间( 0, 1)上的均匀分布上的均匀
16、分布U(0,1)在在计算机模拟中起着重要的作用计算机模拟中起着重要的作用. 实用中，用计算机程序可以在短时实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随上均匀分布的随机数机数. 它是由一种迭代过程产生的它是由一种迭代过程产生的. 严格地说，计算机中产生的严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随随机数并非完全随机，但很接近随机，故常机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为称为伪随机数伪随机数. 知识拓知识拓展展 如取如取n足够大，独立产生足够大，独立产生n个个U(0,1)随机数，则从用这随机数，则从用这 n 个数字画出的频率个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上上的均匀分布的均匀分布U(0,1). 作业 P68: 8、11Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料
