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1、3 38 8 晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论3 39 9 晶格振动的模式密度晶格振动的模式密度下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。晶体比热的实验规律（晶体热容）晶体比热的实验规律（晶体热容）(1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3NkB( (N为晶体中原子的个数为晶体中原子的个数, , k kB B= = 10-23J K- -1为玻尔兹曼常为玻尔兹曼常量量) ) ；(2)(2)在低温时，晶体的比热在低温时，晶体的比热C CV V按按T3 3趋于零。趋于零。晶体的定容比热定义为：晶体的定容比热定义为：-晶体
2、的平均内能晶体的平均内能晶格振动比热晶格振动比热晶体电子比热晶体电子比热通常情况下，通常情况下， 本节只讨论晶格振动比热。本节只讨论晶格振动比热。一.杜隆-珀替定律(经典理论) 根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT, ,若晶若晶体有体有N N个原子，则总自由度为：个原子，则总自由度为： 3N。与高温下吻合，低温时不符，经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆-珀替定律。珀替定律。热容来源晶格热振动与电子的热运动。热容来源晶格热振动与电子的热运动。晶体可以看成是一个热力学系统，在简
3、谐近似下，晶格中晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。能量都是量子化的。第第i个谐振子的个谐振子的能量为：能量为：ni是是频率为频率为 i的谐振子的平均声子数：的谐振子的平均声子数：第第i个谐振子的个谐振子的能量为：能量为： 晶体由晶体由N个原子组成，晶体中包含个原子组成，晶体中包含3N个简谐振动，总振个简谐振动，总振动能为动能为 对于宏观晶体对于宏观晶体, ,原胞数目原胞数目N很大，波矢很大，波矢q在简约布里渊区中有在简约布里渊区中有N个取值，所以波矢个取
4、值，所以波矢q近似为准连续的近似为准连续的，频率也是准连续的。，频率也是准连续的。上式可以用积分来表示：上式可以用积分来表示：间的振动模式数。间的振动模式数。表示在表示在1.1.频率分布函数频率分布函数( (模式密度模式密度) )设晶体有设晶体有N个原子个原子, ,则则(1)(1)定义定义: :其中其中 m是最高频率，又称截止频率。是最高频率，又称截止频率。(2)(2)计算计算 因为频率是波矢的函数，所以我们可以在因为频率是波矢的函数，所以我们可以在波矢空间内求出模内求出模式密度的表达式。式密度的表达式。包含在包含在 内的振动模式数为：内的振动模式数为：单位频率间隔内的振动模式数。单位频率间隔
5、内的振动模式数。波矢波矢密度密度两个等频率两个等频率面间的体积面间的体积每一支格波的每一支格波的振动模式数振动模式数每一支格波的模每一支格波的模式密度式密度晶格总的模晶格总的模式密度式密度两个等频率面两个等频率面间的波矢数间的波矢数qyqx体积元：体积元：dq：两等频面间的垂直距离两等频面间的垂直距离, ,ds：面积元。面积元。体积元包含的波矢数目：体积元包含的波矢数目：由梯度定义知由梯度定义知: :代入上式得代入上式得证明：证明：( (法一法一) ) 例例1 1：证明由：证明由N个质量个质量为为m、相距为相距为a的原子组成的的原子组成的一维单原子一维单原子链的模式密度链的模式密度一维单原子链
6、一维单原子链共共有有N个值个值d dq间隔内的振动模式数为间隔内的振动模式数为: :间隔内的振动模式数为：间隔内的振动模式数为： ( (因子因子2是因为一个是因为一个 对应于正负两个波矢对应于正负两个波矢q，即一个即一个 对应对应两个振动模式。两个振动模式。) )( (式中式中 m为截止频率为截止频率) )( (法二法二) )一维单原子链只有一支格波，且一维单原子链只有一支格波，且对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为解解: :求求例例2 2：三维晶体，：三维晶体，其中其中c c为常量，为常量，qxqy 在波矢空间，等频率面为球面，球在波矢空间，等频率面为球面
7、，球半径为半径为q。三. 晶体比热的爱因斯坦模型(1)(1)晶体中原子的振动是相互独立的；晶体中原子的振动是相互独立的；(2)(2)所有格波都具有同一频率所有格波都具有同一频率 。（1）模型设晶体由设晶体由N个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，共个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，共有有3N个频率为个频率为 的振动的振动。（2）计算( (a)a)比热表达式比热表达式 通常用爱因斯坦温度通常用爱因斯坦温度 E代替频率代替频率 ，定义为，定义为kB E= ，爱因斯坦比热函数爱因斯坦比热函数。爱因斯坦温度爱因斯坦温度 E如何确定呢？如何确定呢？ 选取合适的选取合适的 E值，使得在比热
8、显著改变的温度范围内，理论值，使得在比热显著改变的温度范围内，理论曲线与试验数据相当好的符合。曲线与试验数据相当好的符合。对于大多数固体材料，对于大多数固体材料， E在在100300k的范围内。的范围内。高温时，当高温时，当T E时，时，( (a)a)（3）高低温极限讨论( (b)b)低温时，当低温时，当T D时，时，x11，（3）高低温极限情况讨论高温时与实验规律相吻合。高温时与实验规律相吻合。( (b)b)低温时，当低温时，当T D时，时， 由上式看出，在极低温度下，比热与由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。例例3，设晶体中每个振子的零点振动能为，设晶体中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模，试用德拜模型求晶体的零点振动能。型求晶体的零点振动能。解：由德拜模型，在由德拜模型，在dd范围内，格波的数目为：范围内，格波的数目为：
