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1、河海大学理学院高等数学高高 等等 数数 学学 ( (下下) )河海大学理学院高等数学高等数学（下）高等数学（下）第九章 多元函数微分学河海大学理学院高等数学第三节 全微分及其应用河海大学理学院高等数学由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义河海大学理学院高等数学全微分的定义全微分的定义河海大学理学院高等数学证证所以所以河海大学理学院高等数学二、可微的条件习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为河海大学理学院高等数学证证则则 总成立总成立, ,同理可得同理可得河海大学理学院高等数学例如例如一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存
2、在注注 令令 f（x，y） x ，则，则 dx x. 同理同理, 令令 f（x，y） y ，则，则 dy y. 该定理反过来不成立该定理反过来不成立. . 即各偏导数存在即各偏导数存在 函数可微函数可微在在(0,0)不可微不可微河海大学理学院高等数学若若 f 在在 (0,0) 可微，则可微，则即即即即但但所以所以河海大学理学院高等数学注注注注 判断一个函数是否可微，判断一个函数是否可微，判断一个函数是否可微，判断一个函数是否可微，先看是否连续；先看是否连续；先看是否连续；先看是否连续； 再看偏导是否存在；再看偏导是否存在；再看偏导是否存在；再看偏导是否存在；最后用定义最后用定义最后用定义最后用
3、定义. . 在（在（0，0）处连续，）处连续， 但在（但在（0，0）处偏导数不存在）处偏导数不存在 .因此在（因此在（0，0） 处不可微处不可微.例例2 函数函数河海大学理学院高等数学多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，注注 定理定理3反过来不成立反过来不成立. .即即 可微可微 偏导存在偏导存在, ,但偏导未必连续但偏导未必连续. .河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学证证因为因为所以所以河海大学理学院高等数学同理同理所以偏导数存在所以偏导数存在.河海大学理学院高等数学不存在不存在. .河海大学理学院高等数学可见可见, ,A0 ,
4、B0, 即即河海大学理学院高等数学解解所求全微分所求全微分河海大学理学院高等数学解解河海大学理学院高等数学解解所求全微分所求全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数河海大学理学院高等数学全微分的四则运算性质全微分的四则运算性质:结论结论河海大学理学院高等数学、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结河海大学理学院高等数学多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在河海大学理学院高等数学思考题思考题
