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1、第16章 二次根式(gnsh)16.1 二次根式(gnsh)第一页，共42页。什么是一个数的算术平方根？如何什么是一个数的算术平方根？如何(rh)(rh)表示？表示？正数正数(zhngsh)的正的平方根叫做它的算术平方根。的正的平方根叫做它的算术平方根。 回忆(huy)什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则，则这个数就叫做这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是第二页，共42页。复习复习(fx)1、如果、如果(
2、rgu) ，那么，那么 ；2、如果、如果(rgu) ，那么，那么 ；3、如果、如果 ，那么那么 。22第三页，共42页。1.1.如图所示的值表示正方形的面如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是积，则正方形的边长是 b-32.要修建一个要修建一个(y )面积为面积为6.28m2的圆形喷水池，的圆形喷水池，它的半径为它的半径为 m（ 取取3.14）；）；3、关系式中、关系式中 ，用含有，用含有(hn yu)h的式子的式子表示表示t，则，则t为为 。导入导入第四页，共42页。 表示表示(biosh)(biosh)一些正数的算术一些正数的算术平方根平方根你认为所得你认为所得(su d)(su
3、d)的各代数式有哪些共同特点？的各代数式有哪些共同特点？被开方数被开方数(bi ki fn sh)二次根号二次根号新授新授:读作读作“根号根号 ”第五页，共42页。归纳归纳(gun):二次根式二次根式(gnsh)的的定义定义 一般地，代数式形如一般地，代数式形如 ( ) 的的式子做叫二次根式。式子做叫二次根式。 第六页，共42页。本课学习(xux)目标：（1）二次根式的概念）二次根式的概念( 双重非负双重非负性性) （2）根号内字母）根号内字母(zm)的取值的取值范围范围（3）二次根式的性质）二次根式的性质(1,2)第七页，共42页。请你凭着自己请你凭着自己(zj)已有的已有的知识知识,说说对
4、二次根式说说对二次根式 的的认识！认识！ ?第八页，共42页。 1. 表示什么含义表示什么含义?答答:当当a0时时, 表示表示a的正平方根的正平方根;当当a=0时时, 表示表示a的平方根的平方根. 2. 当当a满足什么条件时满足什么条件时,代数式代数式 才有意义才有意义?答答:由于负数没有平方根由于负数没有平方根,所以当所以当a0时时, 才有意义才有意义! 3. 代数式代数式 (a0)有如下特征有如下特征: a0, 0 ( ( 双重双重(shungchng)(shungchng)非非负性负性) ) a可以可以(ky)是数是数,也可以也可以(ky)是式是式. 既可表示开方既可表示开方(ki fn
5、g)运算运算,也可表示也可表示运算的结果运算的结果. 第九页，共42页。(1) 代数式代数式 是二次根式吗是二次根式吗?答答:代数式代数式 只有在只有在条件条件a0的情况下的情况下,才属于二次根式才属于二次根式!二次根式是属于二次根式是属于(shy)有特殊条件的代数式有特殊条件的代数式.(2) 是二次根式吗？是二次根式吗？答：符合条件答：符合条件(1)被开方数为非负数被开方数为非负数; (2) 含有含有二次根号二次根号，所以，所以 是二次根式是二次根式(3) 代数式代数式 是二次根式是二次根式吗吗?答答:是的是的,二次根式二次根式(gnsh)的被开方数可以是整的被开方数可以是整式或分式式或分式
6、.第十页，共42页。而而 这类代数式，应把这类代数式，应把 这些二次根式看做这些二次根式看做(kn zu)系数或常数项，整个代数式仍看做系数或常数项，整个代数式仍看做(kn zu)整式。整式。如：如： 这类代数式只能称为含有这类代数式只能称为含有(hn yu)二二次根式的代数式，不能称之为二次根式；次根式的代数式，不能称之为二次根式；注意(zh y)第十一页，共42页。说一说说一说: 下列下列(xili)代数式中哪些是二代数式中哪些是二次根式？次根式？ 第十二页，共42页。例例1 x为何值时，下列各式在实数为何值时，下列各式在实数(shsh)范围内有意范围内有意义。义。例题例题(lt)吧吧 （
7、3）由题意可知：）由题意可知： (1) 由由x-5 0,得得x 5当当 x 5时，时， 有意义有意义.当当 -1 x 3时，时， 有意义有意义.解：解：(2) 因为不论因为不论x是什么实数，都有是什么实数，都有 0. 当当 是任何实数时，是任何实数时， 有意义有意义.第十三页，共42页。当当x取何值时，取何值时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意解：由题意(t y)得得 当当x5时，时， 在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。第十四页，共42页。 1、 x取何值时取何值时,下列二次根式下列二次根式(gnsh)有有意义意义?(7)(8)第十五页，共42页。一般一般(
8、ybn)地地,二次根式有下面的二次根式有下面的性质性质:快快速速(kui s)判判断断53a?94161517第十六页，共42页。一般地一般地,二次根式二次根式(gnsh)有下面的性质有下面的性质:225500 当当 时时, ; 当当 时时,请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议: 与与 有什么关系有什么关系?第十七页，共42页。第十八页，共42页。2:从运算从运算(yn sun)顺序来看：顺序来看：先开方先开方(ki fng),(ki fng),后平方后平方先平方先平方(pngfng),(pngfng),后后开方开方= =a=a1.从读法来看：从读法来看：3.从取值范围来看：
9、从取值范围来看：a取任何实数取任何实数a00根号根号a a的平方的平方根号下根号下a a平方平方4.从运算结果来看从运算结果来看:第十九页，共42页。二次根式的性质及它们二次根式的性质及它们(t men)(t men)的应的应用用: : a0-a( a 0 )( a =0 )( a 0 )（1）（2）第二十页，共42页。22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-2第二十一页，共42页。例例题题(lt)例例2 求下列求下列(xili)二次二次根式的值：根式的值：解：解：因为因为 0，所以，所以| |= （ ）= 所以所以(suy)，| |解：解：| |当当 时，原式时，原式= | |=所以，当
10、所以，当 时，二次根式的时，二次根式的值是值是 .第二十二页，共42页。(xy)(xy)跟踪跟踪(gnzng)练习练习将下列将下列(xili)各式化简：各式化简：第二十三页，共42页。小结小结(xioji)：1.1.怎样怎样(znyng)(znyng)的式子叫二次根式？的式子叫二次根式？2.2.怎样怎样(znyng)(znyng)判断一个式子是不是二次根式？判断一个式子是不是二次根式？3.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？如何确定二次根式中字母的取值范围？（1）. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号（2 2）. .被开方数被开方数a a为非负数，为非负数，分母不为分母不为0 0被开方数大
11、于等于被开方数大于等于0 0结合数轴结合数轴, ,写出解集来写出解集来第二十四页，共42页。4.真正真正(zhnzhng)理解：理解：这两个性质这两个性质(xngzh)的概念，的概念，我们才能我们才能(cinng)灵活地去解决有关二次根式灵活地去解决有关二次根式的问题。的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，有解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘时还得挖掘隐含隐含条件。条件。第二十五页，共42页。2.2.化简及求值：化简及求值：(1) (2) (3) (1) (2) (3) (a a0,b0,b0 0) )(4)(4) 其中其中a=a= (5)(5)第二十七页，共42页。(1) (
12、2) (3) (a(1) (2) (3) (a0,b0,b0)0) 其中其中(qzhng)a= (qzhng)a= (5)(5)第二十八页，共42页。解：原式=|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|-1x3 , x-3-1x00 , x+10原式原式 = (3-x) + (x+1) = 4= (3-x) + (x+1) = 4第三十页，共42页。1.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )(A) x1 (B) x1 (C) 0x1 (D)一切有理数一切有理数A 3.实数实数a、b、c在数轴在数轴(shzhu)上的位置如图所示，上的位置如图所示，化简化简 abcA A B B C C
13、D D2.2.下列式子下列式子(sh zi)(sh zi)一定是二次根式的是一定是二次根式的是（ ）C C第三十一页，共42页。4.4.已知已知a a，b b，c c为ABCABC的三的三边(sn bin)(sn bin)长，化，化简：+ +- -这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系(gun x)这个知识点上，特别要应用好。这个知识点上，特别要应用好。第三十二页，共42页。5.化简化简 第三十三页，共42页。6.把下列把下列(xili)各式写成平方差的形式，各式写成平方差的形式， 再再在实数范围内分解因式；在实数范围内
14、分解因式；解：第三十四页，共42页。-13(-5)2(-2)=20第三十五页，共42页。3.3.根据根据(gnj)(gnj)非负数的性质，就可以确定字母的值非负数的性质，就可以确定字母的值. .2.2.如果如果(rgu)(rgu)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. .到现在为止，我们已学过哪些数非负数到现在为止，我们已学过哪些数非负数(fsh)形式？形式？思考：思考：非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数第三十六页，共42页。6.6.化化简：-
15、-分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义(yy)的范围内，本题有一个隐条件，即的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.7.设等式等式(dngsh)在在实数范数范围(fnwi)内成立，其中内成立，其中a, x, y 是两两不等的是两两不等的实数，求数，求的值。的值。解：解：第三十七页，共42页。巩固巩固(gngg)提提高高1：1.分别分别(fnbi)求下列二次根式中的字母的取值求下列二次根式中的字母的取值范围范围（1）（2）（3）2.当当x_时, 有意有意义(yy).=03.化简：化简：=_2a-3b4.要使式子要使式子 有
16、意义，那么有意义，那么x的取值范围是（的取值范围是（ ）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0C第三十八页，共42页。5.已知已知,求求的的值。6.已知已知，化，化简：7.已知：已知：，求，求的的值。第三十九页，共42页。2.2.已知已知a,ba,b为实数为实数(shsh)(shsh)，且满足，且满足 , ,你能求出你能求出a a及及a+b a+b 的值吗？的值吗？1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3.已知已知 有意义有意义(yy),那那A(a, )在在 象象限限. 二二由题意由题意(t y)(t y)知知a a0 0点点A(A(, ,) )巩固提高巩固提高2：第四十页，共42页。4.4
17、.计算算(j sun)(j sun)：+ + + + +5.如果如果(rgu)+b-2=0，求以，求以a、b为边长的等腰的等腰 三角形的周长三角形的周长(zhu chn)。第四十一页，共42页。切入点切入点：从字母的取值范围从字母的取值范围(fnwi)入入手。手。l1.已知已知 ，你能求出，你能求出 的值吗？的值吗？l3.已知已知 ，你能求出，你能求出 a 的取值范围的取值范围(fnwi)吗？吗？l2.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数， 求求 、 的值的值.切入点切入点：从代数式的非负性入手从代数式的非负性入手(rshu)。l4.已知已知 为一个非负整数，试求非负整数为一个非负整数，试求非负整数 的值的值切入点切入点：分类讨论思想。分类讨论思想。第四十二页，共42页。
