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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索人教人教A版版 选修选修1-11-2 推理与证明推理与证明第二章第二章2.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明第二章第二章2.2.2反反 证证 法法典例探究学案典例探究学案 2课课 时时 作作 业业3自主预习学案自主预习学案 1自主预习学案自主预习学案1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点2感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤难点：应用反证法解决问题思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题
2、的注意事项是怎样的呢？反证法新知导学1反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设_，从而证明了原命题_，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法矛盾错误成立2反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确3反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与_矛盾，或与_矛盾，或与_ _、事实矛盾等已知条件假设定义、公理、定理4反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以
3、否定形式出现的一类命题否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)_以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题结论结论牛刀小试1用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为：没有实根答案C3应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结
4、论ABC D答案C4.如图所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上解析假设点M在线段CD上，则BDBMCMCD，且AB2BD2AD2，AC2AD2CD2，所以AB2BD2AD2BM2AD2CD2AD2AC2，即AB2AC2，所以ABAC矛盾，故假设错误所以点M不在线段CD上典例探究学案典例探究学案 求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交分析直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确用反证法证明直接证明不易入手的问题解析不妨设直线a与平面相交，b
5、与a平行，从而要证b也与平面相交假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面内由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾(2)b平面.则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交方法规律总结用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真已知p3q32，求证pq2.解析假设pq2，那么p2q，所以p3(2q)38
6、12q6q2q3，将p3q32代入消去p，得6q212q60，即6(q1)20，且xy2. 分析明确“至少”的含义对结论作出假设得出矛盾用反证法证明“至多”、“至少”类命题方法规律总结1.当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法2用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q 求证：方程2
7、x3有且只有一个根分析本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法 解析显然xlog23是方程的一根，假设方程2x3有两个根b1、b2(b1b2)则2b13,2b23.两式相除，得2b1b21.用反证法证明存在性、唯一性命题b1b2，b1b20.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，则2b1b20，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.错解假设a0，b0，c0，则abc0，abc0与题设条件abc0，abc0矛盾假设不成立，原命题成立辨析错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”正解假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a 0，若a0，得bc0得，bca0，abbcaca(bc)bc0矛盾又若a0，则abc0与abc0矛盾故“a0”不成立，a0，同理可证b0，c0.
