第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷这个过程称为非结点载荷向结点的移置移置到结点后的载荷称为等效结点载荷 整个结构的非结点载荷的移置整个结构的非结点载荷的移置按单元进行按单元进行，即将各单元所受的，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵因此这里只需介绍单元载荷移置问题 单元载荷移置所遵循的原则是单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则能量等效原则，即单元的实际载荷，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等 单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化。
很显然，这种方法适用于各种类型的单元4.1 非结点载荷等效移置 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 下面以平面三角形单元为例，采用虚功原理推导非结点载荷的等效移置公式4.3.1 非结点集中力[P]的单元等效结点载荷 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学4.3.2 表面力[q]的单元等效结点载荷4.3.3 体积力[g]的单元等效结点载荷 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置可以采用直接法所谓直接法，就是利用能量等效原则直接进行单元载荷移置直接法法只适用于具有线性位移函数的单元为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，下面通过实例予以说明 当单元存在多个非结点载荷作用时，单元等效结点力用叠加法求出需要指出的是：载荷移置必须在结构的局部区域内进行按照圣维南原理，在局部区域内，外载荷按能量等效原则移置后，只可能在该区域内产生误差，而不会影响整个结构的变形或应力状态在有限元分析中，一般所取的单元较小，因此，单元载荷移置对结果不会带来很大的影响。
4.2 非结点载荷等效移置实例Wcyxo 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学b1ijmcc’Fiyxyo 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学Fixaijmxyo1P 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学从前面分析结果可知，对于线性位移函数单元，在进行非结点载荷等效移置时，若按刚体静力等效原则，亦可得到相同的结果ijmqxyobP 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 结构刚度方程：[K][]=[R]，是一个以结点位移为未知量的线性代数方程求解方程组便可得出结点位移但由于结构刚度矩阵[K]的奇异性，上述线性代数方程组不可能有唯一解为此，必须引入位移边界条件，以消除[K]的奇异性从数学上讲，这是保证方程组有位移解所必须的；从物理上讲，这是给结构施加必要的约束，以限制结构刚体位移本节从数学上证明了结构刚度矩阵的奇异性，从而说明了引入边界条件的必要性并介绍了处理位移边界条件的几种常用方法。
4.3.1结构刚度矩阵的奇异性4.3 边界条件处理方法1234对于如图所示平面结构，划分为两个单元，4个结点其刚度方程为：[K]8×8[]8×1=[R]8×1 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学4.3.2 处理位移边界条件常用的方法 在有限元法中，引入位移边界条件的步骤就是在已经形成了结构刚度方程K及结点载荷列阵R之后进行的这时K及R中的各元素均 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学已按照一定的顺序分别存储在相应的数组中了因此，在对K及R进行处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望需要处理的元素越少越好常用的引入位移边界条件的方法有以下3种：1.1.降阶法降阶法: :即降低结构刚度方程阶数的方法即降低结构刚度方程阶数的方法在结点位移中，令A为未知位移， B为已知位移利用矩阵分块，结构刚度方程可改写为： 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学这相当于在结构刚度方程中，将与零位移约束对应的行与列划去后得到的代数方程组由上式可以解出未知位移A 当采用计算机解题时，由于降阶法可能会打乱原来K及R的存储顺序，且需要重新安排KAA,RA以及A的存储。
因此在有限元程序设计中一般不采用降阶法2. 对角元置1法 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学4.4 斜边界问题的处理 在机械工程中，有些构件如离心叶轮，带偏心孔的圆盘等，在结构形状、载荷和变形状态方面具有多轴对称（或称循环对称）的特点，在分析时可以利用这一特点，只取其中典型的一部分作为计算模型此时，对于对称轴上的各个结点都应给予附加约束，以限制垂直于对称轴方向的位移xyX’ Y’o如图所示等厚度薄圆盘的平面计算模型当边界结点处加上连杆铰支座约束后，其所约束的方位与X轴或Y轴成某一角度，称这类支座为倾斜支座求解这类问题就称为斜边界问题 对于斜边界问题的处理需要进行一次坐标变换，现叙述如下： 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学令倾斜的对称轴为X轴，由X轴逆时针转至X*轴的角度为正称X*OY*为局部坐标系，原来的XOY坐标系则称为总体坐标系 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法中南大学 。