金融数学资产组合管理课件

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1、第五章第五章 资产组合管理资产组合管理金融数学资产组合管理 本章主要讨论风险证券的投资组合问题，也即分散投资问题.主要包括：主要包括：n n收益率的期望和方差；收益率的期望和方差；n n两证券、多证券及含无风险证券的资产组两证券、多证券及含无风险证券的资产组合线及有效前沿；合线及有效前沿；n nCAPMCAPM模型、贝塔模型、贝塔(Beta)(Beta)因子、资本市场线因子、资本市场线(CML)(CML)、证券市场线、证券市场线(SML)(SML)、证券特征线、证券特征线(SCL);(SCL);n n系统风险和非系统风险。系统风险和非系统风险。金融数学资产组合管理5.1 两风险证券中的风险度量

2、方法方法1 1 设风险资产的收益率设风险资产的收益率设风险资产的收益率设风险资产的收益率KK为随机变量，参照值为随机变量，参照值为随机变量，参照值为随机变量，参照值取期望取期望取期望取期望 ，方差，方差，方差，方差 作为风险的度量。有时用作为风险的度量。有时用作为风险的度量。有时用作为风险的度量。有时用收益率的标准差收益率的标准差收益率的标准差收益率的标准差 测量风测量风测量风测量风 险。险。险。险。 单个时间段单个时间段单个时间段单个时间段的的的的投资问题，一般采取此收益率。其中投资问题，一般采取此收益率。其中投资问题，一般采取此收益率。其中投资问题，一般采取此收益率。其中方法方法2 2 利

3、用对数收益率的方差利用对数收益率的方差利用对数收益率的方差利用对数收益率的方差 , ,或者或者或者或者 ，对，对，对，对多个时间段相关的投资多个时间段相关的投资多个时间段相关的投资多个时间段相关的投资，采用对数收益率比较方，采用对数收益率比较方，采用对数收益率比较方，采用对数收益率比较方便因便因便因便因 为对数收益率满足可加性。为对数收益率满足可加性。为对数收益率满足可加性。为对数收益率满足可加性。 5.1 .1 期望收益和方差金融数学资产组合管理n n 5.1.2 5.1.2 两证券情形两证券情形 用用 表示组合的收益表示组合的收益 率，用率，用 分别表示投资在证券分别表示投资在证券1 1和

4、和2 2上的权重上的权重, ,则则 若若 表示卖空第表示卖空第i i支股票。支股票。 记作记作金融数学资产组合管理n n例例例例1 1 假设两种股票的每股价格分别为假设两种股票的每股价格分别为假设两种股票的每股价格分别为假设两种股票的每股价格分别为 美元，美元，美元，美元， 美元，美元，美元，美元， 美元，购买第一种股票美元，购买第一种股票美元，购买第一种股票美元，购买第一种股票2020股，股，股，股，购买第二种股票购买第二种股票购买第二种股票购买第二种股票1010股，求两个股票的资金分配权股，求两个股票的资金分配权股，求两个股票的资金分配权股，求两个股票的资金分配权重。重。重。重。金融数学资

5、产组合管理n n例例2 2 考虑如下资产组合：考虑如下资产组合： 状况状况 概率概率 收益率收益率 收益率收益率 0.4 0.4 0.2 0.2 0.4 0.4 分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险 。(1) (2) (1) (2) (3) (3)金融数学资产组合管理解：依题意得，解：依题意得，(1)(1)当当 时，时，(2)(2)当当 时，时，金融数学资产组合管理(3)(3)当当当当 时，时，时，时， 由由由由(1)(1)、(2)(2)和和和和(3)(3)发现，高收益通常伴随着高发现，高收益通常伴随着高发现，高收益通常伴随着高发现，高收益通常伴随着

6、高风险；另外，当不允许卖空时，组合的风风险；另外，当不允许卖空时，组合的风风险；另外，当不允许卖空时，组合的风风险；另外，当不允许卖空时，组合的风险介于单个风险之间险介于单个风险之间险介于单个风险之间险介于单个风险之间( (如如如如(1)(2)(1)(2)所示所示所示所示) )，当允，当允，当允，当允许卖空时，组合的风险则可能比任何单个许卖空时，组合的风险则可能比任何单个许卖空时，组合的风险则可能比任何单个许卖空时，组合的风险则可能比任何单个风险都大风险都大风险都大风险都大( (如如如如(3)(3)所示所示所示所示) ) 。命题命题命题命题5.35.3 如果不允许卖空，则有如果不允许卖空，则有

7、如果不允许卖空，则有如果不允许卖空，则有金融数学资产组合管理n n问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组合权重合权重( (即找一个权重组合，使得组合的方差最即找一个权重组合，使得组合的方差最小小) )？金融数学资产组合管理命题命题5.45.4 (1) (1)如果如果 ，当，当 ，且，且时，时， 。( (必须有一支股票卖空必须有一支股票卖空. .）(2)(2)如果如果 ，当，当 时，时， 。( (不必卖空不必卖空. .）金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理5.2 资产组合线及有效前沿资产组合线及有效前沿 资产组合线资产组合线( (白色和红色白色和红色

8、) )、非卖空、非卖空( (红色红色) )及有效及有效前沿前沿( (蓝色虚线蓝色虚线) )，下同。，下同。n n 5.2.1 5.2.1 含两个风险证券情形含两个风险证券情形金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理n n5.2.2 5.2.2 含无风险证券和一个风险证券的情形含无风险证券和一个风险证券的情形金融数学资产组合管理n n 5.2.3 5.2.3 含n个风险证券情形金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理 下面给出有效前沿的方

9、程下面给出有效前沿的方程。对指定的期望收。对指定的期望收益率益率 ，方差最小的证券组合应在前沿上，从，方差最小的证券组合应在前沿上，从而求前沿上的点转化为解下列规划问题：而求前沿上的点转化为解下列规划问题：记记金融数学资产组合管理 则对指定的则对指定的 ，方差最小的证券组合为：，方差最小的证券组合为：此即此即命题命题5.105.10的结论。的结论。有效前沿：有效前沿： 其中其中 如前如前所述。所述。金融数学资产组合管理因此对只含多种风险证券而言，有效前沿为双曲因此对只含多种风险证券而言，有效前沿为双曲线的右支，最小方差的点为线的右支，最小方差的点为( ),( ),称称为为最小方差证券组合，记作

10、最小方差证券组合，记作MVP.MVP.此点权重对应此点权重对应命题命题5.95.9的结论。的结论。金融数学资产组合管理n n5.2.4 5.2.4 既含多个风险证券又含无风险证券情形既含多个风险证券又含无风险证券情形 设含有设含有 种风险证券种风险证券( (股票股票) )和一种无风险证券和一种无风险证券( (债券债券) ) ，以，以 为为 种股票上的投种股票上的投资比例，则资比例，则 就是投资在债券上的比例。就是投资在债券上的比例。对指定的期望收益率对指定的期望收益率 ，求投资比例，求投资比例 ，使，使得方差最小，就是解下列规划问题：得方差最小，就是解下列规划问题：金融数学资产组合管理解上述规

11、划，得知对指定的期望收益率解上述规划，得知对指定的期望收益率 ，方，方差最小的投资组合为：差最小的投资组合为：标准差为：标准差为：其中其中 如前述。如前述。金融数学资产组合管理n n由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效前沿是过点前沿是过点 的一条射线。会是什么样的射的一条射线。会是什么样的射线呢？线呢？ 假设含有两支股票假设含有两支股票 和和 及一种债券及一种债券 ，由前面，由前面讨论知，把全部资金投入股票讨论知，把全部资金投入股票 和和 ，得到双曲，得到双曲线的一支，而如果投资于股票线的一支，而如果投资于股票 及债券及债券 ，得到，得到有效前沿

12、为射线有效前沿为射线 ; ;而如果投资于股票而如果投资于股票 及债券及债券 ，得到有效前沿为射线，得到有效前沿为射线 ; ;如果把资金投资于如果把资金投资于 和债券和债券 中，则连接中，则连接 和曲线和曲线 上任意一点上任意一点的射线都是可能的投资组合。因此从的射线都是可能的投资组合。因此从 出发，出发，与曲线与曲线 相切的射线，为有效前沿相切的射线，为有效前沿( (为什么？为什么？) )记记切点为切点为 。金融数学资产组合管理 如果投资者选择切点如果投资者选择切点 ，则表示将资金全部，则表示将资金全部购买股票购买股票 和和 ；如果选择；如果选择 点，则是把一部分点，则是把一部分资金用于买债券

13、，余下部分用来买股票资金用于买债券，余下部分用来买股票 和和 ，而资金在而资金在 和和 上分配比例与切点上分配比例与切点 一样；如一样；如果选择果选择 点，则是以点，则是以 借入资金，连同原有资金借入资金，连同原有资金一起用来买股票一起用来买股票 和和 ，而资金在，而资金在 和和 上分上分配比例仍与切点配比例仍与切点 一样。见下页图示。一样。见下页图示。金融数学资产组合管理金融数学资产组合管理n n有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许卖空的情形。切点证券组合卖空的情形。切点证券组合 ，它决定有效前沿，它决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。上任意

14、点处的风险投资比例。 例例 一投资者拥有资金一投资者拥有资金1000010000美元。美元。 (1) (1) 用用40004000美元购买美元购买 股票，其余全部购买股票，其余全部购买 股股票，则在票，则在 点处的投资组合为点处的投资组合为 ； (2) (2) 如果该投资者抽取如果该投资者抽取50005000美元作无风险投资，其美元作无风险投资，其余仍用于购买余仍用于购买 股票，则此时购买股票，则此时购买 股票股票的资金分别是的资金分别是 2000 2000 美元和美元和 3000 3000 美元。美元。金融数学资产组合管理n n有效前沿为蓝色虚线部分，切点证券组合有效前沿为蓝色虚线部分，切点

15、证券组合 ，决，决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。定有效前沿上任意点处的风险投资比例。金融数学资产组合管理n n切点切点 处的投资组合权重为处的投资组合权重为例例 设风险证券设风险证券 和和 分别有期望收益率分别有期望收益率 ，方差分别为，方差分别为 和和 ，它，它们之间的协方差为们之间的协方差为 。又设无风险利率。又设无风险利率为为 . . 求切点证券组合求切点证券组合 。 金融数学资产组合管理 5.3 CAPM模模型型 资本资产定价模型资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, (Capital Asset Pricing Model, CAPM)CAP

16、M)是在理想的，称之为完善的资本市场中是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。它的基本假设有：建立的。它的基本假设有：(1)(1)投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和方差来评价此组合；方差来评价此组合；(2)(2)投资者具有不满足性投资者具有不满足性( (风险相同时，期望越大越风险相同时，期望越大越好好) )；(3)(3)投资者都是风险回避者投资者都是风险回避者( (期望相同时，风险越小期望相同时，风险越小越好越好) )；(4)(4)任何一种证券都是无限可分的；任何一种证券都是无限可分的；(5)(5)存在一个无风险利率，任何投资者都可以依此存在一个

17、无风险利率，任何投资者都可以依此利率不受限制地存、贷款；利率不受限制地存、贷款；金融数学资产组合管理(6) (6) 不存在税收和交易费用；不存在税收和交易费用；(7) (7) 所有投资者考虑的投资期都是一样的；所有投资者考虑的投资期都是一样的；(8) (8) 无风险利率对任何投资者都相同；无风险利率对任何投资者都相同；(9) (9) 所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；(10) (10) 所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同投资者对每种股票的期望和方差的看法一样，投资者对每种股票的期望和方差的看法一

18、样，对个证券之间的协方差看法也一样。对个证券之间的协方差看法也一样。 同时满足以上十个假设的市场就称为同时满足以上十个假设的市场就称为完善资本市完善资本市场。场。金融数学资产组合管理 在介绍了完善资本市场之后，我们再介绍在介绍了完善资本市场之后，我们再介绍市场均市场均衡衡和和市场投资组合市场投资组合的概念。的概念。市场均衡市场均衡：在完善的资本市场上，当证券的价格调整时，：在完善的资本市场上，当证券的价格调整时，对证券的需求和供给也相应变动。如果随着证券价格对证券的需求和供给也相应变动。如果随着证券价格的调整，对证券的需求和供给相应调整为：每一种证的调整，对证券的需求和供给相应调整为：每一种证

19、券需求量正好等于其供给量，而且对无风险证券，存券需求量正好等于其供给量，而且对无风险证券，存贷款数目正好相等的状态，就称之为市场均衡。贷款数目正好相等的状态，就称之为市场均衡。市场投资组合市场投资组合(Market Portfolio) (Market Portfolio) 是指市场处于均衡时，切是指市场处于均衡时，切点点 的投资组合，为了区别，我们将市场投资组合记的投资组合，为了区别，我们将市场投资组合记为为 , ,坐标为坐标为 金融数学资产组合管理 当市场处于均衡时，包含无风险债券和多种风险证券的有效前当市场处于均衡时，包含无风险债券和多种风险证券的有效前 沿是在沿是在 平面上，从平面上，

20、从 点点 出发，过出发，过 点的一条射线，点的一条射线，称它为称它为资本市场线资本市场线(Capital Market Line,CML).(Capital Market Line,CML).其方程为：其方程为： 其中其中 的斜率称为风险的斜率称为风险 报酬，而报酬，而 的截距称为的截距称为 等待报酬。等待报酬。 金融数学资产组合管理 注意：注意： 并不给出单个风险证券的期望回报率和标准差的线并不给出单个风险证券的期望回报率和标准差的线性关系。性关系。 反例反例 Modigliani Modigliani Pogue (1974): Pogue (1974): 股票股票 年回报率年回报率 标准

21、差标准差 BCBC公司股票公司股票 100100种普通股票组合种普通股票组合 此例指出了对此例指出了对BCBC公司股票，如果以标准差作为风险度量的标准，则成公司股票，如果以标准差作为风险度量的标准，则成为回报率低，风险却大的股票，这与普通的投资常识矛盾。为回报率低，风险却大的股票，这与普通的投资常识矛盾。 金融数学资产组合管理n n定理定理5.11(CAPM)5.11(CAPM) 当完善的资本市场达到均衡时，任何当完善的资本市场达到均衡时，任何单个风险资产或资产组合的超额回报和市场投资组合的单个风险资产或资产组合的超额回报和市场投资组合的超额回报成比例关系，即有关系式超额回报成比例关系，即有关

22、系式 其中其中 反映任意单个资产或资产组合的期望收益与贝塔系数关反映任意单个资产或资产组合的期望收益与贝塔系数关系的位于系的位于 平面上的直线称为平面上的直线称为证券市场线证券市场线（Security Security Market Line,SMLMarket Line,SML）。见下页图所示。）。见下页图所示。金融数学资产组合管理 为了便于比较，我们将资本市场线为了便于比较，我们将资本市场线( (左左) )和证券市和证券市场线场线( (右右) )放在一起。试分析二者的区别？放在一起。试分析二者的区别？ 金融数学资产组合管理n n关于关于CAPMCAPM应用的例子应用的例子例例 已知已知 设

23、证券设证券 的的Beta Beta 系数系数分别为分别为 求求 解：由解：由CAPMCAPM知，两证券的期望回报率分别为：知，两证券的期望回报率分别为： 此例告诉我们，确实可用此例告诉我们，确实可用CAPMCAPM求单个资产的期求单个资产的期望收益率。除此之外，还可以用来发现股票的定望收益率。除此之外，还可以用来发现股票的定价是否合理。价是否合理。金融数学资产组合管理 这是因为，由这是因为，由CAPMCAPM可知，可知， 从而有从而有 表明当市场均衡时，所有股票每承担一单位风险，表明当市场均衡时，所有股票每承担一单位风险，市场给予的期望回报都应该相等。如果不等，则市场给予的期望回报都应该相等。

24、如果不等，则意味着市场处于不均衡状态，存在某些股票定价意味着市场处于不均衡状态，存在某些股票定价过高或过低的现象。过高或过低的现象。金融数学资产组合管理例例 已知已知S S和和I I公司的公司的Beta( )Beta( )系数及期望回报率如下系数及期望回报率如下表所示，无风险利率为表所示，无风险利率为 . .若若S S公司的股价被认公司的股价被认为是合理的，请问为是合理的，请问I I公司的股价是否合理？定价过公司的股价是否合理？定价过高还是过低呢高还是过低呢? ? 股票股票 期望回报率期望回报率 S S公司公司 1.3 1.3 I I公司公司 0.8 0.8 金融数学资产组合管理n n解：由解

25、：由CAPMCAPM可知，可知， 从而有从而有 表明此时市场处于不均衡状态，若表明此时市场处于不均衡状态，若S S公司的股价被认为是公司的股价被认为是合理的，则合理的，则I I公司的股价定价过高。这是因为：公司的股价定价过高。这是因为：I I公司承担公司承担一单位风险得到的补偿不如一单位风险得到的补偿不如S S公司承担一单位风险得到的公司承担一单位风险得到的补偿大。究其原因，是对补偿大。究其原因，是对 而言，而言， 的期望回报的期望回报率太低了。率太低了。 由由 或或 知，知，若若 偏低，则初始股价偏低，则初始股价 定价偏高。定价偏高。金融数学资产组合管理5.4 系统风险和非系统风险 我们先考

26、虑单支股票我们先考虑单支股票 的风险问题。的风险问题。 由于由于CAPMCAPM模型是在市场达到均衡时，证券模型是在市场达到均衡时，证券 的期望回报率的期望回报率 和和 的关系的关系, ,为强调均衡，我为强调均衡，我们记们记 为为 . .这时这时CAPMCAPM模型可写成：模型可写成： 为了描述实际的超额回报模型，引入一个与证券为了描述实际的超额回报模型，引入一个与证券 的回报率的回报率 相独立的随机误差项相独立的随机误差项 ，将证券，将证券 的实际回报率表示为的实际回报率表示为我们称上式为证券我们称上式为证券 的的特征线特征线。金融数学资产组合管理 由回归模型，可得证券由回归模型，可得证券

27、i i 的总方差为的总方差为从而从而 被分解为两部分：被分解为两部分： 第一部分为第一部分为 ，与市场投资组合，与市场投资组合MM有关，称有关，称之之为系统风险或市场风险，为系统风险或市场风险， 越大，证券越大，证券i i的市场风险的市场风险 就越大，由就越大，由CAPMCAPM知，知， 越大，相应的期望回越大，相应的期望回报率就越高。因此，系统风险是有报酬的，但无法报率就越高。因此，系统风险是有报酬的，但无法消除或减少。消除或减少。金融数学资产组合管理 第二部分为第二部分为 ，与市场投资组合，与市场投资组合MM无关，无关，称之为非系统风险或非市场风险。非系统风险是称之为非系统风险或非市场风险

28、。非系统风险是没有报酬的，但可以通过组合消除它。当一个投没有报酬的，但可以通过组合消除它。当一个投资组合已消除所有非系统风险时，则称它为有效资组合已消除所有非系统风险时，则称它为有效的。的。 证券的特征线是围绕它的市场线上下波动的，证券的特征线是围绕它的市场线上下波动的，一种证券的特征线斜率等于此证券的一种证券的特征线斜率等于此证券的 系数，而系数，而此此 也给出了该证券对市场投资组合也给出了该证券对市场投资组合MM的敏感度。的敏感度。一般而言，以下结论成立。一般而言，以下结论成立。金融数学资产组合管理 （1 1）进攻型股票进攻型股票( ) ( ) 该股票该股票 特点：当市场投特点：当市场投资

29、组合资组合MM的回报率上升或下降时，这种股票的回的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比报率上升或下降得比MM要快。要快。 （2 2）防御型股票防御型股票( ) ( ) 该股票该股票 特点：当市场投特点：当市场投资组合资组合MM的回报率上升或下降时，这种股票的回的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比报率上升或下降得比MM要慢。要慢。（3 3）中性股票中性股票( ) ( ) 该股票该股票 特点：这种股票的特点：这种股票的回报率就平均而言，与市场投资组合回报率就平均而言，与市场投资组合MM的回报率的回报率一致。一致。金融数学资产组合管理 接下来考虑组合的风险。接下来考虑组

30、合的风险。 CAPMCAPM模型对单个模型对单个资产和资产组合都适用，请问组合的资产和资产组合都适用，请问组合的 系数系数( ( 我我们记作们记作 ) )如何表示呢？如何表示呢？其中其中 表示各支股票的权重，满足表示各支股票的权重，满足 金融数学资产组合管理 类似单个证券讨论，可得组合的总方差为类似单个证券讨论，可得组合的总方差为从而从而 也被分解为两部分：也被分解为两部分： 第一部分为第一部分为 ，与市场投资组合，与市场投资组合MM有关，称有关，称之之为系统风险或市场风险。同样系统风险是有报酬的为系统风险或市场风险。同样系统风险是有报酬的但无法减少。第二部分为但无法减少。第二部分为 ，与市场投资组合，与市场投资组合MM无关，称之为非系统风险或非市场风险。非系统风无关，称之为非系统风险或非市场风险。非系统风险是没有报酬的，但可以通过组合消除它。经验认险是没有报酬的，但可以通过组合消除它。经验认为，为，1515种左右的投资组合就可忽视其非系统风险了。种左右的投资组合就可忽视其非系统风险了。金融数学资产组合管理