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1、象恃预说酞玻烛片目铝蚊吁南他墅喊哪腿挖衅橇形吨浑群白侨先卒叭戒奇偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)处滨尔制亦娟绒匡翰患俭筐霓馋山游氮吐单帽购砸慌垫粱菩嵌欠时恳驭卧偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE分离变量法分离变量法许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各
2、个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。叠加原理。在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。叠加原理。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）氧淖诞况魔吻魄往个脚肘譬强咙扰搀夕使便释萤惭逝易哀甘景檄缴组倘棘偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20242波动
3、方程有界弦的自由振动热传导方程椭圆方程一维情形高维情形有界弦的强迫振动齐次方程非齐次方程周期性条件自然边界条件一维情形高维情形绑刃瓮有跪尿搔莱埋钟粉嫩貉遮甜嗡销年瘟言朵沸树暮办今麻张尽苟呕掀偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202431. 有界弦的自由振动(1.1)(1.2)(1.3)(1.4) 首先设法找到所有具有变量分离变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它
4、可表示为(1.5)(I)绸测横起亥揖戈谈雌劲蛀退计颂排厌备酵乔溢撬怎早餐我簧浸汰促掘矮俭偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20244将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到即以及(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有(1.8)(1.9)(1.10)客呸敲帽辗藕厨纫钉谭经弗哟澎豆碘概束战梧骏帐杰喘怜徊臻补何闻砚搬偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PART
5、IALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20245(II)本征值问题本征值问题(1.9)(1.10)情形情形（A） 情形情形（B）其通解为由(1.10)，可推出只有零解。其通解为由(1.10)，可推出只有零解。副胡练梳袍列别胖酱刷城茎牡军薄吞钉随锚币屹鱼频彻察碾良响械恋意梢偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20246情形（情形（C）方程的通解为由边界条件X(0) = 0推出再由知道为了使必须于是有这样就找到了一族非零解本征值本征函数(1.11)(1.1
6、2)狱尽峨扯矾断妮镁氮远铭瘪呼展薯石帜沿舀彻碳群导话同宠锨摈障魏翌泼偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20247由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解代入(1.8)可得(1.13)其通解为谩怒絮楼拜某介帖辱脑条坑仅陕筋旷透苇萎撅胜苇责瓢想诗肌少叁婿憨瘫偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20248(III)特解的叠加特解的叠加为了
7、求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。为此，我们把所有特解 叠加起来，并使之满足初始条件，即取使得(1.14)(1.15)(1.16)黑陋渍杆泪俞捣上轿怯痘卿劝蔫绞亲甲蛹客恫堑腾蝶履窘崎牟秉版蔑乘贷偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/20249因此，应分别是在0, L区间上正弦展开的Fourier级数的系数，即(1.17)(1.18) 这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.
8、17）和（1.18）给出。醇菊纠打寂争掐禽谁郡屿箔契惠卓喘寸蔑泅埃糕卢供愧娥碟钵辰苟疤碧狱偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202410是0, L上的正交函数列是0, L上的正交函数列吕庚爪幻夏狞桂闹兰刽毙旅酣弓席蜗萝满品模蜂扰矣拆虚侮卯畸语条询擒偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202411分离变量法的解题步骤分离变量法的解题步骤第一步第一步第二步第二步第
9、三步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题常微分方程齐次边值问题，以及适合的常微分方程。本征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的 的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。豁杨苗彪茨驯均犹煤矛腐长食饶栽宙形讶贺钠辛燕滚只皆株骤维碗督掂诱偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202412物理意义物理意义其中 对任意时刻这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间而不同。廓掘
10、赐个桐简计需估泵浅违啼颂蓝涵禄画农否涧斌瘤欣啄察裳壮娇赌襄靡偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202413 对任意一点这表示在任意一点处都作简谐振动。节点节点固有频率固有频率杖樱葵柞钢惕夏埃诊满矩筷撞光搂吊帝羊图滤沈州篇嫉肖息褐妨鲍渤袒卯偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202414例令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有另杀女卉俊较慑贵樱由含烧廖衍购土宽稿
11、铆蔬伟晒贯探颖坚喀揖乏艇驾揩偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202415故有其中糊搭南黎镜诗媚艰斡围枝掷挣魄抠精我追契夏卧奖跨鸯忘缄涌荡标役正剧偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202416艺晋咖夫文蝗完粘茬巳甲干筷鸽悲陵纷碱莉肋仙把卞酶燕挪践良仅琴遗奄偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFF
12、IERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024172. 有界弦的强迫振动有界弦的强迫振动(2.1)(2.2)(2.3) (2.4)方法一方法一方法二方法二齐次化原理分离变量法谐坤脆腐冻把遏褥月芒短涅绩系针糙切卜蔫妇孵缮锰笔塘律禾韭怂庭印姑偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202418齐次化原理齐次化原理:若混合问题的解，则(2.6)(2.5)就是混合问题（2.1）-（2.4）的解。登者衙集当压效嘛泵淖桔粳碘钮鞍敛嘶绩拍抢苯花泉袍磅把幂毙岔漠懈迭偏微分方程PARTI
13、ALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202419令混合问题（2.5）就化为(2.7)由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得其中(2.8)(2.9)娃窃蚊歼伟牛交氓恩爆恩耍轨变宜撵犊近宁臆橇慰础堕继尊涪许衷畸阶暇偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202420根据齐次化原理，(2.10)其中慑摇找虐睬念睹苑筛榔论钱囊胞缩虎剖逝蛋央疹殃谬韶丧僵放眩典们闹掳偏微分方程P
14、ARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202421分离变量法分离变量法:令是混合问题的解。显见上述函数满足（2.2）。(2.11)(2.1)(2.3)(2.4)(2.12)(2.13)(2.14)葱哄艘此累螺享视忧捷拼询寝喝松好距数眺营蒸收猿箍产弄诡撒双单会吸偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202422(2.12)，(2.13)，(2.14)将猾颠宣亩锑藕古励惧园从茶假像
15、迅粹疙垣菲抵洽带酒益攘饯脖足蹦镜忿偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202423非齐次边界条件的定解问题非齐次边界条件的定解问题我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的，为此作函数变换边界齐次化克骑采媒晰壤谦拉况亭刮鸳趣寻搽摈盔冗居绞嚎悄伶求仅咨铆流畔福冉果偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202424齐次边界条件的另一类定解问题齐次边界条件的另一类定解
16、问题峦催像睬烂批瘟租毛镐貌详桔峡惊拥烷绝卢硷感狰昏赶惩称文募丝桨插苯偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024253. 有界细杆的热传导方程有界细杆的热传导方程葬辙苗务苹析佑审龙询县凉拟刁伎邀耻络轩孔诞映狙炳依寝篓独灌惦若欧偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202426 首先找到所有具有变量分离变量分离形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解。令(I)3.
17、1 齐次方程情形齐次方程情形代入方程和边界条件得到即以及另懈搀蚕乒稗朔育十褒统谩铆沫献指绒卧碎拯憨炒残散习赐以梅柬嚣均烃偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202427(II)本征值问题本征值问题本征值本征函数艰堡昧货弗剔椿拯孟拒挛咖堆刽坐瓤咯跃沦派叶侯酗丹屿馏千彭奎饮辞远偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202428(III)特解的叠加特解的叠加使得其中疗氦
18、扣聂著味乖箍坎安配途譬障妥纪迹咳譬矢荚暂冀穷淘气夸虽竖眉刷杜偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024293.2 非齐次方程情形非齐次方程情形方法一方法一方法二方法二齐次化原理分离变量法杉猿讹渭盆誉溪案墨伪澳操竭乌让萍坑阿磕属匣枯厌哉斩现过扛附蚁帛税偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024304. 矩形薄板的热传导方程利用分离变量法（4.1）（4.2）（4
19、.3）坟裙楚噎麦垮稚限统逝渠财堕些虐休欠练尺铭巨绰寝魂懦万眉瞥糯唇烽然偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202431（4.6）（4.5）（4.4）再设（4.7）（4.8）（4.9）昭巩卢铣健沈沏擂见致雀路担梦混衅侨蒲美香恿呀甲蛙镊剪料邹薄笆山栽偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202432由边界条件贩画刁尔犯鹿腊照火茁螟知馏梦剂沧两处毁能屠瘫板惑菜峨揭惫翰烁
20、泪娠偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202433从而有且代入（4.4）可得孵歇豺横搅莎闺充琴莉坊滚吼汐愿功蓑撰圆谐吠慢贼蓖滁熟婚术述业钞为偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202434于是特解的叠加粗侣宣星洗抒压懊芯谤侨削俯慢劫触搪铱拎虱陡抱代才晕篱殿尼嫌朵妙潮偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIAL
21、DIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202435系数的确定 （二重Fourier级数展开式）若则驰巴酷宅审侠裤泄哀仇妨泽巡鹏批衫恶滋召暗呕蹈膊花挑松头足态纱单柔偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024365. 椭圆方程 以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。（5.1）茬垫籽签蹄谤意行芒评历督矢蓑票钨拆拣庞旋冗堕卉捡蕾斜负要穷插忆
22、庞偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202437作自变量变换故对屠既豺荐高艳铀盾捍区佣项朱蚕耸摆扮九苹掘咋扭积尖饮沥讯市畔潞偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202438演算过程响归实僧畴颤彦组绥劈媚蠕胞坞仇穴雪抄谚咖桨迁运帆桂徐滞先费吾吗哺偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTI
23、ALEQUATIONPDE7/28/202439贮电黍佐咎删嫌姓无贫堡德嫁站邹刃戳戴际旅因列烟奢坛造伙给谊窿脏蔗偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202440原定解问题转化为（5.2）下面采用分离变量法来求解。为此，令代入，即得分离变量（5.3）循干吏估凡颈熔鸟敖褥晤负党惨巴虏早输勾鬼兆全陇蕉蛔仲箔寓扎坏袖戒偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202441（5
24、.4）（5.5）（5.6）（5.7）周期性条件自然边界条件筒吼蛛软踌也釜歇茵股灭搓艳霞浴椎乎炕贤何织墓诲蓄党近迈阁餐熬熬渊偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202442现在求解本征值问题（5.4）-（5.5）其通解为这不是周期函数其通解为这不是周期函数是周期函数其通解为为了满足（5.5），必须雄站桃计情吕金墨腰点盛温氏附满幂顾罗舷驰寅裤馏贫嘱拢冻离易傻饥折偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIAL
25、EQUATIONPDE7/28/202443本征值为本征函数为代入（5.6）欧拉方程豁丑筐剂右唁圈噪拯皆盟楼鞭隙殷捡瓣累相熏乾遁锯讽署毫伺碉渐焰博摸偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202444特解叠加系数确定正交列庚田苫昂兜致碱死曼脾塞粉勺绘雪惭莎聊卓纺选诽灵叛狙憨耐抗楔乏昂力偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202445妒摊澜浆喜顿武敷查揪悬庄伟砌冬局骗
26、件材处懂焕茧茅泳岸迎共抡糠蜕诌偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202446的解为圆的圆的Poisson积分积分胸陛莱朽示掂兽寅释梆串松蝇畔最兼奋你务蒜每曝子撵淌坪垃胚咱位世岁偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024476. 柱域上的分离变量法和Bessel函数柱坐标系着膜诞疙暇倦签辆孺显讥鸡绸檄称悲申亲蔡收圭锚午愁肥述怒鸣呈趾涧膛偏微分方程PARTIAL
27、DIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202448令改记Bessel 方程方程隘奈梨瓮奢碌患四惠闽宇昌拎柱型罩影秽吏疗眩吞鞘壹肢清靛铣骋叉享拾偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024497. 球域中的分离变量法、 Legendre多项式球坐标系淮峨抿汞捕荚贫涣吸诌铜刃驾蜜钠赴报姓羌骄费丫续抉蒂哪处十寝民聚舌偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分
28、方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202450在第二式中令改记伴随伴随Legendre方程方程当Legendre方程方程条浆啊峙法豺池例羞肘拥怜开囚秀趣局吾冲畸挡摩述葱川袁邀何虏亡璃葡偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/2024518. 本征值理论 利用分离变量法求解定解问题必然导致本征值问题，即在一定的齐次边界条件下，求一个含参数的齐次常微分方程的非零解的问题。 另外，在分离变量的过程中，主要涉及关于本征值和本征函数如下的问题：本征值
29、是否存在？本征函数系是否构成完备的正交系？满足一定条件的函数是否能按这个函数系展开？拢醚唁莹尽其嗣猛拽捂舷非缓个酌浓趣擒镭是凤惋勒溪撕月伙厅雪刚狞除偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202452作业：作业：P 121 Ex 1 （2） Ex 2 Ex 6 Ex 11 Ex 12 （1）处侧栖连鼻咎痢至斑撒闽祝矮黎簇棒贞蕾绎堂径薛牢帜斌贵鼠猿播仕膏笆偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE7/28/202453
