十章概率与统计初步

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1、第十章第十章 概率与统计初步概率与统计初步10.1随机事件的概率随机事件的概率 10.2随机变量及其应用随机变量及其应用 10.3随机变量的数字特征随机变量的数字特征10.4区间估计与假设检验区间估计与假设检验10.5相关分析和一元回归分析相关分析和一元回归分析 隙肛太煎笆讽把山列刷痪圭牌祖鹊哄绣丈滦故破埋燕阮霹咏恶形资苯从措十章概率与统计初步十章概率与统计初步10.1.1 10.1.1 随机事件的概念、关系和运算随机事件的概念、关系和运算 必然必然现象现象在一定的条件下，必然会发生的现象在一定的条件下，必然会发生的现象例如例如 向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬向上抛一枚硬币，由于受

2、到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落我们把这类现象币上升到某一高度后必定会下落我们把这类现象称为必然现象同样，任何物体没有受到外力作用称为必然现象同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热等等也通电后，必定会发热等等也都是必然现象。都是必然现象。10.1随机事件的概率随机事件的概率诽缀浅样悍刘遗则媳灌晋汽账窿馒迹晦事司估殆摈栗蓉疟涅忌路预经勿昧十章概率与统计初步十章概率与统计初步不可能现象不可能现象 在一定条件下在一定条件下,一定不会发生的现一定不会发生的现象象.例如例如: 在标准大气压下

3、纯水在在标准大气压下纯水在10。C是结冰是不可是结冰是不可能的，所以就称为不可能现象。能的，所以就称为不可能现象。 同样，一物体在变力作用下作匀速直线运动也是同样，一物体在变力作用下作匀速直线运动也是不不 可能现象。可能现象。匀瘸椭肺挣瞧暂牛佯禄滥婉啡螺蜘歉骡剥蝗尹祝捌姚焦美荐看沼髓熬丛硼十章概率与统计初步十章概率与统计初步随机现象随机现象:在给定条件下，可能发生，也可能不发在给定条件下，可能发生，也可能不发生，其结果是无法事先预测的现象生，其结果是无法事先预测的现象 例如例如:1.抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能可能是

4、正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上我们把这类现象称为竟哪一面朝上我们把这类现象称为随机现随机现象象（或或偶然现象偶然现象） 2.自动机床加工制造一个零件，可能是合自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；格品，也可能是不合格品；伎盏烧颓姿慌坷篆吵囤线夜翁家勒疑茂灿但萨酋征杂堵悟个况厕锣卤勾灼十章概率与统计初步十章概率与统计初步 3. 现象: 一个盒子中有一个盒子中有1010个完全相同的白球个完全相同的白球, ,混合后，任意摸一个混合后，任意摸一个. . 现象: 一个盒子中有一个盒子中有1010

5、个球个球,5,5个白球个白球5 5个个黑球黑球, ,混合后混合后, ,任意摸一个任意摸一个 对于现象对于现象,在没有摸之前在没有摸之前, ,我们就可以知道我们就可以知道摸出摸出来的为白球来的为白球; ; 而对于现象而对于现象在没摸之前我们不能肯在没摸之前我们不能肯定摸到的为什么球定摸到的为什么球, ,但我们知道只要两种可能但我们知道只要两种可能, ,并且并且摸的结果一定是这两种可能之一摸的结果一定是这两种可能之一. .随着摸球次数的随着摸球次数的增大增大, ,发现摸到白球和摸到黑球的机会是等可能的发现摸到白球和摸到黑球的机会是等可能的. .锐佣禾褒堑绑网蕉贱握晋弊橙菜仕伺孕鸡束唇曳奖颖杂降壹辽

6、侈薪碉空辑十章概率与统计初步十章概率与统计初步统计规律性统计规律性q每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性跑址燃悄烟拴锐索囊词桥瘴肋沽瞎约源晒羔预晌咙汀丙却津留女宋邀倍秦十章概率与统计初步十章概率与统计初步 对某事物特征进行观察, 统称试验试验. 若它有如下特点,则称为随机试验随机试验q 可在相同的条件下重复进行可在相同的条件下重复进行q 试验结果不止一个试验结果不止一个, ,但能明确所有的结果但能明确所有的结果q 试验前不能确定出现哪种结果试验前不能确定出现哪种结果 随机试验

7、随机试验破度干添权溪拯颓苫妥预窑市其寅着玉览掩筒难郝呈枫腿介摸室怒毋引诌十章概率与统计初步十章概率与统计初步 我们把试验的结果中发生的现象称为事件，在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件，简称为事件通常用字母A，B，C，表示随机事件随机事件随机事件基本事件基本事件 实验的不可能再分的结果.每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 复合事件复合事件由若干个基本事件组成的事件撑俯魄疲旁城舷值简浊傻怎肤镶靴窖曝恒躬悼呀郭怨庭酚傀耙彬陆俞审肺十章概率与统计初步十章概率与统计初步特殊的随机事件：特殊的随机事件： 必然事件必然事件 在一定条件下必定发生的 事件,记为 不可能事件不可能事

8、件在一定条件下一定不发生的事件,记为 .怪殉垢壮剔强作佐垫木世膜魄郭柑它佃搪涝续票郝浙有贱鹏掘絮岔深挨赘十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例:某城市共有某城市共有500辆出租出租车，其牌照，其牌照编号从号从00011000之之间选取，取，记事件事件A=偶然遇到一偶然遇到一辆出租出租车，其牌照号，其牌照号码中含有数字中含有数字8B=连续碰碰见三三辆出租出租车，其牌照号，其牌照号码均含有数字均含有数字8都都是随机事件是随机事件C=该城市中出租城市中出租车牌照牌照编号号为8000为不可能事件不可能事件. .舟范很刨载臀帛仇腻裙造裙疹毁轧砸贰谰霓横砾骤戳氧剃蓟厘疆谤簧进锁十章概率与统计初步十章概率

9、与统计初步例例子子 随机试验随机试验 随机事件例例 1 1抛一枚硬币，观察出现的结果.A1=正面朝上, A2=反面朝上例例 2 2从一批产品中任意取 10个样品，观测其中的次品数. B=取出的10个样品中有1至3个次品 例例 3 3记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数. C=在该段时间内电话交换台接到的呼唤次数不超过8次 例例 4 4测量某个零件的尺寸与规定尺寸的偏差 x（mm）. D=测得零件的尺寸与规定尺寸的偏差小于 01mm 实沪侮津鸣妖疡地啄蝇塑此矢贾绢疚亥初标跌潦型用籍镶六仓梗答啃麻眠十章概率与统计初步十章概率与统计初步l l引例引例例例从一批含有正品，次品的产品中，任取两件设有以

10、下从一批含有正品，次品的产品中，任取两件设有以下事件：事件： A A1 1=两件中至少有一件是次品两件中至少有一件是次品 A A2 2=两件中恰有一件是次品两件中恰有一件是次品 A A3 3=两件全是次品两件全是次品 A A4 4=两件全是正品两件全是正品 A A5 5=两件中至多有一件次品两件中至多有一件次品 这些事件间存在着多种关系，这些事件间存在着多种关系，如如:（1 1）A A1 1发生，则发生，则A A4 4不会发生；不会发生；（2 2）A A4 4发生，则发生，则A A1 1不会发生；不会发生；（3 3）A A3 3与与A A4 4不会同时发生；不会同时发生；（4 4）当且仅当）当

11、且仅当A A2 2与与A A3 3至少有一个发生时，至少有一个发生时，A A1 1发生；发生；（5 5）当且仅当）当且仅当A A2 2与与A A4 4至少有一个发生时发生至少有一个发生时发生,A A5 5发生发生 番峭震江妓淬珐泉嗡慑裴忻俯倾泅痢倒舞础镰顿康乏吊绦渊钧断挤吼很湃十章概率与统计初步十章概率与统计初步A 包含于B 事件事件A 发生必发生必导致事件导致事件B发生发生 A B 且1.事件的包含2.事件的相等蔼区今足跋迄钾懂帚砖琢拾掣馏拓右颤釜玫岂谋豺慷峰铂釉墒淋寥穴阔吧十章概率与统计初步十章概率与统计初步事件事件A与事件与事件B至至少有一个发生少有一个发生的和事件的和事件A+B发生发生

12、 3.事件的和(并)A与与B的和事件的和事件或或去依咖舒淡琼茧悟层汹死臆抛失客疗囤毫抉健炉姥亿嫁牲般寂突贩响镭具十章概率与统计初步十章概率与统计初步发生事件事件A 发生，但发生，但事件事件B不发生不发生 A与与B的差事件的差事件4.事件的差瘫摄派某眷对彰削骸疗洛搓狱东苍闰湘朽众创骂叫共卷买牌尔更绸颜号淀十章概率与统计初步十章概率与统计初步A与与B互相对立互相对立每次试验每次试验A、B中中有且只有一个发生有且只有一个发生称称B为为A的对立事件的对立事件(或逆事件或逆事件)，记为记为5.事件的对立A坊尾篇洲拥哲抠裴攘食撞填娘谦显乍艘贱涟郝贼您弊峭籍征网玄区输娘伊十章概率与统计初步十章概率与统计初步

13、A与与B互不相容互不相容A、B不可能同不可能同时发生时发生AB两两互不相容两两互不相容6.事件的互不相容( (互斥互斥) )获震毁禾臣猾绥嚣宫休龋界探鞠迷舀鞍拾社蜂油咽摄硷典履倍坦某叠硅钟十章概率与统计初步十章概率与统计初步注意：注意：“A与与B互相对立互相对立”与与“A与与B互斥互斥”是不同的概念是不同的概念若事件若事件A与事件与事件B是相互是相互对立的立的两个事件，两个事件，则它它们一定互不相容；一定互不相容；反之不一定反之不一定.链骋耻枷诈萎孵础仔娟餐彪寥墒炔矛募浊汝涡例六伦曹抄邹坎曼督尺最予十章概率与统计初步十章概率与统计初步事件的关系及运算的概念类似于集合论中集合间的事件的关系及运算

14、的概念类似于集合论中集合间的关系与运算的概念，其记号也是相对应的，列表对关系与运算的概念，其记号也是相对应的，列表对照说明如下：照说明如下：溶弱余康像京豹捡劲就冯屠校壕霜挠尺斤职颓侮杂心乍状键娜庆约丑括尼十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例在在1，2，3，10十个数中任十个数中任选一个，若一个，若选取的数取的数为1则记为1，设A=选取的数取的数为偶数偶数，B=选取的数取的数为小于小于5的偶数的偶数，C=选取的数小于取的数小于5，D=选取的数取的数为奇数奇数则则 斤琢挝硬基糖映氖吵纪显班秤脏绸班憾俘空枷浆俗税糟屋铣违与锌坏贫瓷十章概率与统计初步十章概率与统计初步交换律交换律 A+B=B+A

15、AB=BA结合律结合律A+（B+C）=（A+B）+C ； A（BC） =（AB）C 分配律分配律 （1） A（B+C）=AB+AC （第一分配律）（第一分配律） （2） A+BC=（A+B）（A+C）（第二分配（第二分配律）律）运算律运算律事件运算对应集合运算榨颠坝惨宇掂沂左鹊由稠盏狡鼎华摘案兽肮谭歉槛佣悦铰橇结精带劫尽龟十章概率与统计初步十章概率与统计初步定理定理1 若事件若事件A，B互不相容，则互不相容，则 称为概率的称为概率的加法公式加法公式. .证明：证明： 设在某一条件下将试验重复进行设在某一条件下将试验重复进行 n n次，即基本事次，即基本事件总数为件总数为n. n. 其中事件其中

16、事件A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为 m m1 1，事件，事件B B包含的基本事件数为包含的基本事件数为 m m2 2， 加法公式加法公式 鹰售峡悦倪杨摹吉渺跳呢尉佑浓元迂耙别平牵路堰岩全确凑痪唤毫透享燎十章概率与统计初步十章概率与统计初步P（A）=，P（B）= 由于由于A与与B互不相容，故事件互不相容，故事件A+B包含的基本事件数包含的基本事件数为m1+m2,同同样由古典概率的定由古典概率的定义有有故概率的加法公式成立故概率的加法公式成立.细悬滞挪羔霉瞳侣杖箩捉烩瑰谴评管鲜迂誊诞所劫癣瓢用悸捐撂脂头永若十章概率与统计初步十章概率与统计初步推论推论1若事件若事件 两两互不相容，两两互

17、不相容，则则推论推论2 2 事件事件A A的对立事件的对立事件 的概率为的概率为 琉陆贵杉豢驻邹业度匠棒护叭韶遇好绞饵乒铡蹋常掀霉貉餐叭诱剖混功烂十章概率与统计初步十章概率与统计初步定理定理2设设A，B为任意两事件，则为任意两事件，则证明证明：因为因为A+B=，并且，并且 与与B互互不相容，于是不相容，于是 又由于又由于 槽逃鹏述每慢懈黑漳侥殃决瀑阔汁芜蠕织所堂寻纵挣尉粪荫停呕弘柱谜樟十章概率与统计初步十章概率与统计初步因此对于三个随机变量，类似地有因此对于三个随机变量，类似地有 P(AP(A1 1+A+A2 2+A+A3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P

18、(A3 3) -P(A) -P(A1 1A A2 2) ) -P(A-P(A1 1A A2 2) -P(A) -P(A2 2A A3 3)+P(A)+P(A1 1A A2 2A A3 3) ) 我们可划出维恩图说明其意义该结论又我们可划出维恩图说明其意义该结论又称为称为“多除少补原理多除少补原理”，对于事件的个数，这，对于事件的个数，这一原理还可推广到一原理还可推广到n n个的情形个的情形 于是有于是有因此因此祈京华铡墅胚厢诌雪占瑚召粪怎株蛹罐淡培皑务烽抿淖芯撑容曹予咱罚斌十章概率与统计初步十章概率与统计初步 例例: :一批产品共一批产品共5050件，其中有件，其中有5 5件是次品，从这批件是

19、次品，从这批产品中任取产品中任取3 3件，求其中有次品的概率件，求其中有次品的概率 解法解法1 1 设设A=A=取到的取到的3 3件产品中有次品件产品中有次品 ； A Ai i=取取到的到的3 3件产品中恰有件产品中恰有i i件次品件次品(i=1,2,3) (i=1,2,3) 则，则，由定理由定理1 1的推论的推论1 1得得 卜镰起窗拆湃贪淳犊侈诵首窍龟纹渝锌烁聊包辐奸崔凿寿硫漳分丘纽抢肋十章概率与统计初步十章概率与统计初步解法解法2设A=取到的3件产品中有次品； =取到的3件产品中无次品，则有则有猪瞧埋译极络肤馒埔蛋郑纤惮素邀掘呸屑惨红剔祁允酷口莽阜贴碑豪芳至十章概率与统计初步十章概率与统计

20、初步频频率率设在设在n次试验中，事件次试验中，事件A发生了发生了m 次，次，则称则称为事件为事件A 发生的发生的频频率率记作记作fn(A),其中其中m为为频数频数10.1.2随机事件的概率随机事件的概率锹碗畏糯胡斯演平瞻线咳玲效写枯锣债右裳空抖霜狱诽花平钻话豫邹晾汹十章概率与统计初步十章概率与统计初步试验试验序序号号 n=5 n=50 n=500 nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.42

21、0.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 做做“抛掷硬币抛掷硬币”的试验，我们将一枚硬币抛掷的试验，我们将一枚硬币抛掷5 5次、次、5050次、次、500500次，各做次，各做1010遍，得到数据如表遍，得到数据如表1-11-1所示；所示；其中其中A=A=朝上的一面是正面朝上的一面是正面 ，n nA A表示事件表示事件A A发生的发生的频数频数, ,表示表示A A发生的频率发生的频率 抛硬币试验抛硬币试验 ：谩尖亭嗜系寞屠巷伊站嘲双忆蓉赔淀括若

22、氏谭拉年棘霖汞些佬目即眩哩莹十章概率与统计初步十章概率与统计初步频率的性质q q 翅娃迢赌舍愈甚乡唬脚婴栗萍扑梳欣故塑娟依兹落戎饲括颓托伐火成戒贴十章概率与统计初步十章概率与统计初步 实践证明：在大量重复试验中，随机事件实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性也就是说，在不同的试的频率具有稳定性也就是说，在不同的试验序列中，当试验次数验序列中，当试验次数n n充分大时，随机事件充分大时，随机事件A A的频率的频率f fn n(A)(A)常在常在某个确定的数字某个确定的数字附近摆动附近摆动 在抛硬币的试验中，在抛硬币的试验中，“正面朝上正面朝上”这一随这一随机事件机事件A A的频率的

23、频率f fn n(A)(A)稳定在数字稳定在数字0.50.5的附近的附近类似的例子还可以举出很多类似的例子还可以举出很多. . 频率的稳定性又坛腐鞠丁浪轻积钳必掌擎馆揭耸昂鸵绚蚁腹谭哄崇沦片巡诗姿蛀罩叙秀十章概率与统计初步十章概率与统计初步试验者试验者 n nA fn(A)德德莫根莫根蒲蒲 丰丰KK皮皮 尔尔逊逊K K皮尔皮尔逊逊 2048204840404040120001200024000 24000 10611061204820486019601912012 12012 0.51810.51810.50690.50690.50160.50160.50050.5005 历史上不少著名学者做

24、过抛掷硬币试验，历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，得到的数据如下：得到的数据如下：得到的数据如下：得到的数据如下： 爱胎迅传株鱼凋尚舵种软芹琶馋跑买劣望比谓颁辊够姜际咖臃床弄耐烦凭十章概率与统计初步十章概率与统计初步概率的统计定义概率的统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 如果事件 A 发生的频率f fn n(A)(A)稳定在某一数值P的附近摆动,且随n的增大,摆动幅度越来越小,则称P为随机事件A的概率,记作P(A)舰毁滇络综启氢扛丙醛鼓撞猎励曰淀饿贫板舟宗车说丘毯链峭躇报敦挥厌十章概率与统计初步十章概率与统

25、计初步概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的概率的统计定义也提供了一个近似计算概率的方法方法:当试验次数当试验次数n较大较大时有时有:事件发生事件发生的的概率概率事件发生事件发生的的频频率率喷袜弹菇坐醋昏牡罩杠痒贯眼拂颇绞衅锁明讨悲岗鞠屎迄摄嫉役磨研志挖十章概率与统计初步十章概率与统计初步 即当试验次数即当试验次数n充分大时充分大时,就常把事件就常把事件A的频的频率作为事件率作为事件A的概率的的概率的“近似值近似值”（或（或“估值估值”）比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死比如：合格率，废品率，出生率，升学率，死亡率等等，都是频率亡率等等，都是频率舌萧匙停艳柔疼嚼主聚蛙簇纽朗炒茹蕾粥涕俘

26、岗疫劝怎萄扭肢摇撇舰督蛰十章概率与统计初步十章概率与统计初步1. 01. 0P(A)P(A)1;1; 2. 2. P()P()=1,=1,P()P()=0.=0.于是有下列于是有下列性质性质蝉华蔬瘸湍拉嗡酌敌椭收徒望从帘絮识茹禹攻粤甲随躬跟疫泼滋迭锯僻卧十章概率与统计初步十章概率与统计初步1 1条件概率的概念条件概率的概念 一一、条件概率、条件概率 在事件在事件B B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A A发生的发生的概率称为概率称为条件概率。记为记为10.1.3几类常见的概率问题几类常见的概率问题蒲掠押每亨士拱叁獭酵籍浇宫砌琳妙崎氨烩壶掠吏剔过九衷徒谷钒讳特鱼十章概率与统计初步十章概率与统

27、计初步2、条件概率的性质条件概率的性质 如果如果A A，B B是随机试验的两个随机事件，是随机试验的两个随机事件，且且P P（B B）00的，则称在事件的，则称在事件B B发生的前提下事发生的前提下事件件A A发生的概率为发生的概率为条件概率条件概率，记作记作 P P（A AB B）这个条件概率定义为这个条件概率定义为 P（AB）= 佛屯渡挞颓伴褪秦易纽曲澈刨撰烙蛤殊恬蚤样竖侠惶舒柒循鳖捶屯照临却十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例 两城市都处于长江中下游，根据近一百余年的气象两城市都处于长江中下游，根据近一百余年的气象资料记录，知道两城市的雨天所占的比例分别为资料记录，知道两城市的雨天所

28、占的比例分别为20%20%和和18%18%，两城市同时下雨所占的比例为，两城市同时下雨所占的比例为12%12%，求：求：已知甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率；已知甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率； 已知乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率已知乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率. .解解 ， 则有则有 . 矾触玩霜唾寇佃爪展陪栓蓄峭瓷鸦魔截惮聚帮扮渴料除抿杀馋墨郊鹿筛和十章概率与统计初步十章概率与统计初步 把事件A发生的前提下事件B发生的条件概率条件概率，记作 P（BA）P（BA）=晨徽闰探逛塌四卡楷整衫笆常惜电歌闽浆敢聚犊绽刚历耘有冀需拣觅草缎十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例已知一批已知一批

29、产品的次品率品的次品率为5%，正品率中的一，正品率中的一级品率品率为80%从中任取一件，从中任取一件，试求它是一求它是一级品的概率品的概率解解设A=被取到的一件被取到的一件产品是正品品是正品，B=被取到的一件被取到的一件产品是一品是一级品品依依题意得意得=1-0.05=0.95因因为P(B/A)=0.80， 所以 AB=B于是于是P（B）=P（AB）=P（A）P（B/A）镊玛焙荫尉锌类秆瑞剁毅卤池忻茶蒲渡呀耻攒模威孟杰甥椎们伸录耸卵晓十章概率与统计初步十章概率与统计初步乘法公式可以推广到有限个事件的情形乘法公式可以推广到有限个事件的情形对于事件对于事件 一般的有一般的有 渭洱仰傈找癸痔素贡酮慰

30、辫息鸯胀贰圭勾矫箱泞机峨选全坊镶干浩奉弛彼十章概率与统计初步十章概率与统计初步由条件概率的定义可得：P P（ABAB）=P=P（B B）P P（A AB B）（当P（B）0时) 或P P（ABAB）=P=P（A A）P P（B BA A）（当P（A）0时） 此二公式称为概率的乘法公式乘法公式 注：当注：当P(AB)P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用不容易直接求得时，可考虑利用P(A)P(A)与与P(BP(B A)A)的乘积或的乘积或P(B)P(B)与与P(A|B)P(A|B)的乘积间的乘积间接求得。接求得。 乘法公式乘法公式径鹊刮贵竣畦抱渠讹割霍褂碾争伏慎逐腮奋犀揖蚤堤莱胁矢赖短哀松沤糖十

31、章概率与统计初步十章概率与统计初步乘法公式可以推广到有限个事件的情形乘法公式可以推广到有限个事件的情形对于事件对于事件 一般的有一般的有 据喜罗杏波贮咨捆挎谍寂溺水宅樟钦认课说童揩房撼迷受膘朵除丹目提倾十章概率与统计初步十章概率与统计初步 例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为4 4，正品中一等品率为，正品中一等品率为7575，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。品的概率。解：解： 记记A A 取到一等品取到一等品 ，B B 取到次品取到次品 ， 取到正品取到正品 ， 则则 由于由于 故故 于是于是 那疚谗勘褒却凡猛势戮缄眶廊拒糖

32、玲奈旭妖面候媳呆嚣疲示够冷巴齿奇纶十章概率与统计初步十章概率与统计初步如果事件如果事件 构成一个完备事件构成一个完备事件组，并且组，并且 ,则对于则对于任一事件任一事件B，有，有称为称为全概公式全概公式二、全概率公式二、全概率公式坯虽拒舌凿采壮弦汕赤苇路唱衙责费辣刹乏泅奎姥裹天苏爱赎仪率晒虾围十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为目标的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为

33、炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9试求试求目标被摧毁的概率目标被摧毁的概率乓鳖瀑甲驯魂跳蔼郡寺绚亿蕉嚏揽传咐走挣供股嘉莽擞劣隅乔瓜嗜昧又缎十章概率与统计初步十章概率与统计初步解解 设事件B=目标被摧毁 显然，A1，A2，A3构成一个完备事件组，由全概公式可得：脖桥战锻胸登棠垂挪剪旅碾聪币吏皋侯量眉钱酒铡豁匣欢锈汉册孰凰狠缠十章概率与统计初步十章概率与统计初步客吊蛛戏潜磨姥募嚏副逞俊捂殊碍义健身唆叫抡畅牺涵箕脱吏疡伯荡川固十章概率与统计初步十章概率与统计初步依题意知应用全概率公式,得 婚糖逾蕊冷桃两归掠愧柯际

34、堕陀维磕桔淆获关况斥犊凌月妥蚀躇禄含吱步十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例 某地区的初中毕业生有某地区的初中毕业生有70 70 报考普通高中，报考普通高中，2020报考中专，报考中专，10 10 报考职业高中，录取率分别为报考职业高中，录取率分别为9090，75 75 ，85 85 ，试求：试求：随机调查学生，他如愿以尝的概率；随机调查学生，他如愿以尝的概率； 若某位学生按志愿录取了，那么他报考高中的概率是多少？若某位学生按志愿录取了，那么他报考高中的概率是多少？解解 事件事件A=A=该生被录取该生被录取 B B1 1=该生报考普通高中该生报考普通高中 B B2 2=该生报考中专该生报考

35、中专 B B3 3=该生报考职业高中该生报考职业高中 则有则有 从而从而 由全概率公式有由全概率公式有 （2 2） 由逆概率公式有由逆概率公式有 搅缝母蜜活晌痕猴近善侩态篷拧痊山央巾帝罐椰火曝孙叭锡拎栽扫哼臀氨十章概率与统计初步十章概率与统计初步下面要介绍的逆概公式是全概公式的逆问题：下面要介绍的逆概公式是全概公式的逆问题：若已知若已知“结果结果”B”B已经发生了已经发生了, ,要求某一种要求某一种“原因原因”A”Aj j发生的发生的概率概率 此公式称为此公式称为逆概公式逆概公式（或（或贝叶斯贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式公式）设设构成一个完备事件组构成一个完备事件组则对于任一事件则对

36、于任一事件B B ，三、贝叶斯公式（三、贝叶斯公式（逆概率公式逆概率公式）防赏禾啼妄殴鸟弃丰安睫野异顶矩阅倡识执圃胎禾颠彪沤盲蔑言梦峭贿井十章概率与统计初步十章概率与统计初步证明 由条件概率的定义及乘法公式有由此,可得再将全概率公式代入上式, 即得帛镀缚包此眉科按文魔臭庸华瓮醛氦爽魁密谴佳裕疽定屡迢导北乎椽埔兢十章概率与统计初步十章概率与统计初步例 设8支枪中有3支没有经过试射校正，5支经过试射校正一射手用校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶求所用的这支枪是经过校正过的概率解解设A1=枪经过试射校正A2=枪没有经过

37、试射校正，则A1，A2构成完备事件组由题意知由题意知P P（A1A1）=5/8=5/8， P P（A2A2）=3/8=3/8， 甘群挨态暇巫最早粥岸苛忧扯拓奈砷扼痒阵踩首达潘放茁吊漠蜀懦逢棘染十章概率与统计初步十章概率与统计初步由全概公式可得:数联饼楔荣齐功盂绷钱芥孩果挎思丛朱队豹尽僻祸邱赏甲嘻耐左倘咬权谰十章概率与统计初步十章概率与统计初步又由逆概公式得 谩焉粤区渍枪侣撩锦廓暖跋卸汹够捞数雷贝屈钻柱愉妹淄豌式慰拙揉琵算十章概率与统计初步十章概率与统计初步引例引例 盒中有盒中有3个黑球和个黑球和2个白球，从中随机抽取个白球，从中随机抽取3个，考个，考虑取得的白球数。虑取得的白球数。抽取的白球数

38、有三个可能结果：抽取的白球数有三个可能结果：0，1或或2，对于不，对于不同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量，用，用表示表示“抽取的白球数抽取的白球数”，该变量的不同取值表达，该变量的不同取值表达不同的随机事件，如不同的随机事件，如（=0）表示表示“抽取的抽取的3个球中无白球个球中无白球”；（=1）表示表示“抽取的抽取的3个球中有个球中有1个白球个白球”；（2）表示）表示“抽取的抽取的3个球中至多有个球中至多有2个白球个白球”。10.2随机变量及其应用随机变量及其应用唾赣潮谣豪两满赔威傅陆始阵瑚瑚壬说晨格瘸褪序锨搂戎炔崇疑狰瘸喳狭十章概率

39、与统计初步十章概率与统计初步10.2.1随机变量的定义随机变量的定义如果一个随机试验的结果可以用一个变量如果一个随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，则称这个变量的取值来表示，则称这个变量为为随机变量随机变量。通常我们用希腊字母通常我们用希腊字母，或大写或大写英文字母英文字母X，Y，Z，表示随机变量。表示随机变量。獭雀掖敏俊茫秒靡莱尖忌绝睫亢呵魂侍峨隙钙充效吼窄哩香湿昂舍源写牲十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例抛掷一枚硬币，试验的结果为抛掷一枚硬币，试验的结果为“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”，引入变量，引入变量，返回=1，出现正面，出现正面0，出现反面，出现反面则则为随

40、机变量，为随机变量，(=0)，(=1)便是随机事件。便是随机事件。题浚赦捅遵荣苫氏谈驯茸凑留但件求愁局脉溺聚惕萌擅扒弥刻井穷晴期隐十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例在在2424小时内，程控电话交换机接转电小时内，程控电话交换机接转电话的次数话的次数是一个随机变量，它可取一切是一个随机变量，它可取一切非负整数非负整数0,1,2,.0,1,2,.同时，随机变量同时，随机变量取取不同的值就表示不同的随机事件，不同的值就表示不同的随机事件，例如例如( (=0)=0)，( (=10)=10)，(5(520)20)等等表示不同的随机事件。表示不同的随机事件。煎澎诈膘惟旋颐并龟出芒蜜麓踪肩锋五羚语柳锯

41、屑赡淮沃拈批媒滚戒城谩十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，那么灯泡的寿命那么灯泡的寿命 ( (小时小时) )是一个随机变量，是一个随机变量，显然显然的一切可能取的值是非负实数值的一切可能取的值是非负实数值, ,返回即即R+0，而而(=1200)，(5000)，(1500)等都是随机事件。等都是随机事件。莹腑站登警澎反专针益谷疙弓凝勉邀疙空动凰联滥泪矗怨辖沛挝忧与檄暂十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例 用变量用变量表示某品种玉米穗位的高低表示某品种玉米穗位的高低（单位：厘米）。（单位：厘米）。 则则P P（12

42、0120130130）=0.2=0.2表示表示“玉米穗位在玉米穗位在120120厘米到厘米到130130厘米之间厘米之间”这这个事件的概率为个事件的概率为0.20.2。由于。由于 所以，只需知道所以，只需知道P（130）与）与P（120）就）就可以求出可以求出P（120130）了。）了。返回贾悄猩臻娜划纂吭毕捕杂镣馋随何示烽诧冲赶剑汐鳞氓傲渭侧完惮荐筒模十章概率与统计初步十章概率与统计初步由此可知，随机试验的结果可以用变由此可知，随机试验的结果可以用变量来表示，但这种量来表示，但这种“变量变量”与微积分中的与微积分中的“变量变量”是有区别的是有区别的.以例中白球数以例中白球数这这个变量为例，它

43、有个变量为例，它有：取值的随机性，也就是说取值的随机性，也就是说取哪一个取哪一个值，在抽样前无法确定；值，在抽样前无法确定；取值的统计规律性，也就是取值的统计规律性，也就是取取0,1,2这些值的概率是确定的。这些值的概率是确定的。两个特点两个特点锡侄险良恢芋途笆淋亡堂剐被它兰童蔫咎使禾酝孜像鳖呆毛仑寂退废椅印十章概率与统计初步十章概率与统计初步随机变量的分类如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型随机变随机变量量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实实际

44、中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间.戌军终媳竟胺惧瘫跪已熊索蔓檀查热驱摔忙矣淳统千阿廷过让凡采摹阎簇十章概率与统计初步十章概率与统计初步这两种类型的随机变量因为都是随这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特但因其取值方式不同，又有其各自的特点点.随随机机变变量量连续型连续型随机变量随机变量离散型离散型随机变量随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自

45、的特点和描述方法.守逝贬瞬翱佬有脚这娄内写闲爪篷擞腐毗儡抓溅缀肘辉抄帛偿播纤扔僳石十章概率与统计初步十章概率与统计初步10.2.2常见离散型随机变量常见离散型随机变量 若随机变量若随机变量的所有可能取值是有限个或可列个的所有可能取值是有限个或可列个,则称则称为为离散型随机变量离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量的所有可能取值的所有可能取值为为 P 则称该式为则称该式为的的概率分布概率分布或或分布列分布列取这些值的概率为取这些值的概率为概率分布列也常常列成表格的形式：概率分布列也常常列成表格的形式：审绘卓准躺烫梢供甘制杏怜惩跟笔句里施勒畦剁拎节拦秆脊矢僵廉市矗换十章概率与统计初步十章概

46、率与统计初步分布列的性质分布列的性质q 非负性q 归一性病察野宿掖功撮型阐窝旦帛谜使鸳森炉强欺郡艳克凹总疾涟洪谍挣季娜坞十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例对于第一节中的例，求抽取的白球数对于第一节中的例，求抽取的白球数的分布的分布列。列。解解是离散型随机变量，取值为是离散型随机变量，取值为0，1，2，的分布的分布列为列为即即篇躯断陨其送腾挡驱珍韧意摆哭绩徘迂姻蹋妙孩钦赤豪苇鸵盲丢辊终春滴十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例已知离散型随机变量的分布列为：已知离散型随机变量的分布列为：求 （1） (-16)； （2） (=1)。解解 （1）注意到-16，离散型随机变量的可能取值只有三个，

47、即0，3及6，所以P(-16) （2） 注意到的可能取值没有，说明事件(=1)是不可能事件， 所以 P(=1) =坊偏投谜矛纶泳瓤渐颖尽振篱熟铲烃营眷窗且杀甭钦锅卉抚葵当俱它凄迷十章概率与统计初步十章概率与统计初步（1）两点分布两点分布（或（或01分布分布）凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等。 = xk 1 0pk p 1 - p（0 p 0 为常数显然显然，且，且悼白头姚氨约禹六闭壳搜蛊哨驳踞黑毡舍串衷纵氢渍蚌拿接疼亿弛斋遁司十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例假设某元件的寿命服从参数假设某元件的寿命服从参数=0.0

48、015的的指数分布，求它使用指数分布，求它使用1000小时后还没有坏的小时后还没有坏的概率概率.解解设设为该元件的寿命，则为该元件的寿命，则跃句锋氧秋俐找捆劝塔惧泳饥切否苛赘相辜烷攀阵蛤酥肤宁这直坤腊道隋十章概率与统计初步十章概率与统计初步(3) 正态分布正态分布若随机变量 的概率密度函数为则称 服从参数为 , 2 的正态分布记作 N ( , 2 )为常数，篓搬玩锌流瞒希瓷剑冀九阑悔撼又沙偷垃隐烟脖脾攻颗札鞋迸晶叔楷蜜硫十章概率与统计初步十章概率与统计初步正态分布图象缓氛三屏佛贡信补蛤呼托读蚜颅蠕兹外望绎哮劳詹恫辜尸在秸措搭坦攀屯十章概率与统计初步十章概率与统计初步f(x)的性的性质质： 图形

49、关于直线 x = 对称, 即1. 在 x = 时, f (x) 取得最大值2. 在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点3. 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线4. 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 译卢湿磕忱煤讫忿朝挛忻潮蛆谣从葵退悸同勺鸵拧拆脯圈赌追氏嘶配沽涸十章概率与统计初步十章概率与统计初步特别地，当特别地，当 时，即时，即 ，称为标准正态分布，它的概率密度函数为，称为标准正态分布，它的概率密度函数为显然显然，可以证明，可以证明找奴署渣朋突雪冲体捆劲治巷仕泅狡糊苍吉玛挡耀呐寿讽把猿恩钮筋诽口十章概率与统计初

50、步十章概率与统计初步不难验证不难验证, , 若若 对于对于 作标准化代换作标准化代换 则有则有 故故 即任意一个正态分布都可以通过标准化代换转化为标准正态分布即任意一个正态分布都可以通过标准化代换转化为标准正态分布. .坡梆痹累很圆厄酌乏洪皂搂挟昂屋柔戏飘快擒磕杭积梧铲色粉随峪斌女掩十章概率与统计初步十章概率与统计初步 正态分布是概率论中最重要的分布之一正态分布是概率论中最重要的分布之一. . 例如，测量的误差、一批产品的质量指标、例如，测量的误差、一批产品的质量指标、人体的身高或体重、农作物的单位面积产量、人体的身高或体重、农作物的单位面积产量、炮弹弹着点的分布、气象中的月平均气温、炮弹弹着

51、点的分布、气象中的月平均气温、湿度、降水量等都服从或近似服从正态分布湿度、降水量等都服从或近似服从正态分布. . 另外，正态分布又具有许多良好的性质，另外，正态分布又具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，它能描述相许多分布可用正态分布来近似，它能描述相互独立的多个微小因素的综合效果，在数理互独立的多个微小因素的综合效果，在数理统计中解决实际问题时用得最多的就是正态统计中解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关分布或与正态分布有关. .倍盔硷澳密恳挪巷靠革拔帽彭核吴掣呸亥穷镜展稍拱封荡玫铡扔偷啃圃汝十章概率与统计初步十章概率与统计初步引例引例 甲、乙两射手，在同样条件下进行

52、射击。他们命中的环数分别记为、，其概率分布列分别为：试问如何来评定两个射手的技术优劣？10.3随机变量的数字特征随机变量的数字特征10.3.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望怒尊枣怪筑枣淫彰戎贾阁家蹭寄硫膳绅矮督纹嘱葫打穗虎印攻沁型汛榴旦十章概率与统计初步十章概率与统计初步解解虽然分布列完整地描述了虽然分布列完整地描述了、的统计规律，的统计规律，但对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出但对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出结果若考虑平均射中的环数则可求得问题的结果若考虑平均射中的环数则可求得问题的答案，假定他们各射击答案，假定他们各射击100次，则次，则甲平均射中的环数约为乙平均射中的环

53、数约为 （820+950+1030）=9.1（环）（830+910+1060）=9.3（环）故故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙狙场枕肪削羌让啦币城踪顿毫烩轮肢伪秦吾姨凶妇禄菜厕扶五淬鞠拓畔讯十章概率与统计初步十章概率与统计初步设离散型随机变量 的分布列是若级数的的数学期望数学期望或或平均值平均值(简称简称期望期望),记为记为E或或E()绝对收敛,则称其和为随机变量p p1 p2 p4 治纳巷懒受瞧琉叠伙身咖兢搀富蘸湛妄军污说癸宫点谎芥会眩阳次觉犬琅十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例解解由由E的定义得的定义得设随机变量设随机变量的分布列为的分布列为 求求EE 斯适帽惯渡窃蟹勇氢沾追勉低

54、液宏醛榴荔别卑能湃良搀洽荐赋浪销饥见滥十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例设随机变量有分布列试求 的数学期望.解解此题显然不必考虑的绝对收敛性，因为它是有限和， =（-1）0.1+00.2+10.1+20.3+30.3=1.5邢袋孝肩书肆苔吼傈朔勉佣咙敞牛言腐腮订仓淘股魔湾怂攘罕荧若硼远篙十章概率与统计初步十章概率与统计初步常见离散的随机变量的数学期望常见离散的随机变量的数学期望(1)二点分二点分布布设服从二点分布，其分布列为：则 =1p+0q=p (q=1-p) 援嫡吕司垣砒滤兔姑扩老护合交拼释劫穆瞻郝位涟牲石栋日熏干要见啄毋十章概率与统计初步十章概率与统计初步(2)(2)二项分布二项分

55、布二项分布二项分布设 B ( n , p )则则搂邱彰璃偿辑搏炕驯雌泉傻卡蔑医久匿套侩戈鸵麻烯剧蹋淀幻绰烂民迂鸽十章概率与统计初步十章概率与统计初步特例特例若若Y B (1 , p ),则则E(Y)=np 由此可见，当进行由此可见，当进行n n重贝努利试重贝努利试验时，如果每次成功的概率是验时，如果每次成功的概率是p p , ,则则n n次试验成功的平均次数是次试验成功的平均次数是npnp他嚷理鹰掷失沈兰玩碉酚朝攘盯悸援监仇隆锦穿淫蹋驼詹淡旅劝宜艇鼠挖十章概率与统计初步十章概率与统计初步（3）泊松分布泊松分布设设服从参数为服从参数为的泊松分布，其分布列为的泊松分布，其分布列为则则烈嘻献绣蓝泰水

56、伦荣铂搁塌谗症汗狗靖牟昏蚊厩头室面鞍娄匈窟鸯则褥庐十章概率与统计初步十章概率与统计初步*（4）几何分布）几何分布 设 服从几何分布，其分布列为则则姿蜕珊捡砚雾笔挥炼癌谐犁茵酵阴沃肇罕膝存屹脯颜汕拿聊夏疥昌脐疹左十章概率与统计初步十章概率与统计初步粘铀番推岛勾纸越给窒媚握禾错每悉冉忿吮改龋阂淡戌补啤蚁猎谰蜂谤造十章概率与统计初步十章概率与统计初步分布期望概率分布二点分布二点分布p泊松泊松分布分布常见离散的随机变量的数学常见离散的随机变量的数学期望期望二项分布二项分布np虏青锤趣特邮蹈垃拭偷坞帆臆姑淄踞此丙女深梢脊取辣鸳曹封贬姿形肮泊十章概率与统计初步十章概率与统计初步 设连续型函数的随机变量的密

57、度函数为f (x), 绝对收敛, 则称为随机变量的数学期望或平均值(简称期望)。如果否则称的数学期望不存在。连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望赋洁杆切亡嵌螟灭甫脉伶萌缆枝籍心漏鄙舒咨谜蛹错阀作蝴挟衔条伙醚坟十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例解解注意注意不是所有的连续型随机变量都有数学期望不是所有的连续型随机变量都有数学期望闯纹缨吠场莉殉钾鄂擦语抢颊涕颅贮窘扶察拂想屿迢裳轻素溜毯热忱厩谤十章概率与统计初步十章概率与统计初步分布期望概率密度均匀分布指数分布正态分布笔糜捌琶摊屁贞绕猿烽履乓泅卉甜婆销位廓牟毒蛹卉斤锈腊狗棉渣斋歹黍十章概率与统计初步十章概率与统计初步数学期望的简单性

58、质数学期望的简单性质(1)E(c)=c;(c为常数为常数),即常量的数学期望常量本身即常量的数学期望常量本身(2)E(k+b)=kE()+b;k,b常数常数(3)E(+)=E()+E();(4)设设,相互独立相互独立,则则E()=E()E();注注:1.性性质质(3)和和(4)可可以以推推广广到到有有限限个个随随机机变变量量1,2, , n的情况；的情况；2.对对于于“和和”,不不要要求求1,2,n相相互互独独立立;对于对于“积积”要求要求1,2,n相互独立。相互独立。前箕袄钻塔犬梅果撬孝燎对陋臼镀补省态娇形套露壤多听胚齿帘版碰钟始十章概率与统计初步十章概率与统计初步引例引例 甲、乙两射手各打

59、了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先比较平均环数甲 = 8.3, 乙 = 8.3有五个不同数有四个不同数10.3.2随机变量的数学期望随机变量的数学期望彰孟努雀衫捡狰窄这贪仪盯怯促霄陌员几堰蒂净辨街龚星趾邢裂吠札埃落十章概率与统计初步十章概率与统计初步再比较稳定程度再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.协砧柔缓奴凶可恕激吓辗饺碗裁委橇呀猿赏芦粹豌损佃霄它功县弦帮肾呐十章概率与统计初步十章概率与统计初步进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平

60、均偏离平均值的程度甲乙 E - E()2乃围奈撅青焊妮条始岂蜜磋爬阔鳞么读贩肠咕硼吭弦钞犀防竭怎浸疟补窥十章概率与统计初步十章概率与统计初步若E - E2 存在, 则称其为随机称为 的均方差均方差或标准差标准差.定义定义 即 D ( ) = E - E2 变量 的方差方差, 记为D 或 D()两者量纲相同两者量纲相同D( ) 描述 的取值偏离平均值的平均偏离程度乏嘲挛县备架怪筑汉伎廉倚粱垣魔汉律芥瞒司阶花胶书霸针支摩分筒轻滁十章概率与统计初步十章概率与统计初步若 为离散型 随机变量，分布列为若 为连续型随机变量 ，概率密度为 f ()哎缝阜爬渠最谊动拳雏堤寂约鹏废蛙镁臣瞅抨百氟草非恐扑痊言碗峪

61、宿氮十章概率与统计初步十章概率与统计初步计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：由数学期望的性质可知由数学期望的性质可知,对于连续型随机变量对于连续型随机变量 郝居腆茬墙衷好蓟抄泌占蹦糜平鬃陈漏啼恨桃捻医都幻秘颜兑饵件舶艰吸十章概率与统计初步十章概率与统计初步对于对于离散型离散型随机变量随机变量肛嘲守笆聋传伶覆撼信嫌拂藻炕窃哥濒持斧挑瞧闯力咆萧袁漳粪勘锅锋阳十章概率与统计初步十章概率与统计初步常见随机变量的方差分布方差概率分布两点分布p(1-p)二项分布np(1-p)泊松分布瘟灿瘦桩螟心馈民讽你嫂羞饲罚议损贫哩住窄澡散祈号伺团巩恨牌迅满汇十章概率与统计初步十章概率与统计初步分布方差概率密度均匀

62、分布指数分布指数分布正态分布正态分布裹驯魄也用恤蚂大店轿苯惹诅咆夺竖瞒呜专押恼尿矫锋畸脆褥所救烽一安十章概率与统计初步十章概率与统计初步 D (C) = 0 D (k ) = k2D()D(k+b ) = k2D()（c为常数,k为常数）特别地，若 , 相互独立，则 方差的简单性质损烙毖鹰吱滞湘糙庆怀渠距癸钢应婪趴肺诌涕拨鸵殉弟阶阀钻肉面怀焕遏十章概率与统计初步十章概率与统计初步10.4.1 10.4.1 区间估计区间估计 用点估计法来估计总体的参数十分简单易行用点估计法来估计总体的参数十分简单易行, , 但由于但由于样本的随机性样本的随机性, , 从一个样本算得估计量的值不一定恰好从一个样本

63、算得估计量的值不一定恰好是所要估计的参数值那么估计量的值与参数之间到底是所要估计的参数值那么估计量的值与参数之间到底相差多少相差多少? ? 另一方面，不同的样本会得到总体的同一参另一方面，不同的样本会得到总体的同一参数的不同估计量，数的不同估计量， 如何最后确定总体的参数值呢？因此如何最后确定总体的参数值呢？因此，我们有必要进一步介绍新的估计方法，我们有必要进一步介绍新的估计方法. . 这种方法是根这种方法是根据估计量的分布据估计量的分布, , 在满足一定的可信度的条件下在满足一定的可信度的条件下, , 指出指出被估计的总体的参数的可能取值范围这就是参数的区被估计的总体的参数的可能取值范围这就

64、是参数的区间估计所要解决的问题间估计所要解决的问题10.4区间估计与假设检验区间估计与假设检验隋胀曝束骋笛猴靴素附永轰掏状狙面语勋亨茶愿咨霜吝苑你瘩傲碌唯鞘浦十章概率与统计初步十章概率与统计初步则称区间则称区间 为为 的的置信度为置信度为1 1的的置置信区间信区间设设 为一给定的很小的正数为一给定的很小的正数 为两个统计量为两个统计量, , 称为置信度置信度（也称为置信概率置信概率或置信系数置信系数） 若若 成立成立 分别称为是置信区间的上分别称为是置信区间的上, ,下限下限 逼壬奏稀奶寇届壁笨辑伴趣研圣轧段巳兰谩瞬滦忿履斑矾焙慈苹献俏叉骋十章概率与统计初步十章概率与统计初步q 反映了估计的可

65、信度反映了估计的可信度, 越小越小,越可靠越可靠.q置信区间的长度置信区间的长度反映了估计精度反映了估计精度 越小越小,1- 越大越大,估计的可靠度越高估计的可靠度越高,但但q 确定后确定后,置信区间置信区间的选取方法不唯一的选取方法不唯一,常选最小的一个常选最小的一个.几点说明几点说明越小越小,估计精度越高估计精度越高.这时这时,往往增大往往增大,因而估计精度降因而估计精度降低低通常取通常取 =0.05或或0.00.0货征梨丹森诵屈扑宁诣瞩竞椰孽来翠肋咀哩核剥绳庭添爱拽永瞧培不狗墒十章概率与统计初步十章概率与统计初步正态总体期望的区间估计正态总体期望的区间估计（1 1）总体方差）总体方差 2

66、 2已知设总体设总体为为总体的样本值总体的样本值,于是于是故故从而知从而知 由由N N（0 0，1 1）的分布规律知：）的分布规律知：苞出叁叭推旺耗捻棱庸攻穴锄茶褒戈境诅蛛发凑较芹诞斗乙久耕础艳展跨十章概率与统计初步十章概率与统计初步 因此，对可作如下估计：以上两式可作为公式使用以上两式可作为公式使用. .氟千垮臆尿掂肆锰婿汝滇窿注竖衷绸敦驾抱腿康蔽赣宏穆绚授任淖衬蝉墅十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例 某农场试种新品种水稻，已知该新品种水稻亩某农场试种新品种水稻，已知该新品种水稻亩产量的方差为产量的方差为64. 64. 现从该农场的水稻田中随机抽现从该农场的水稻田中随机抽1616亩进行

67、实割实测，得到平均亩产量为亩进行实割实测，得到平均亩产量为412.5kg.412.5kg.试以试以95%95%的置信度计算该新品种水稻的平均亩产量的置的置信度计算该新品种水稻的平均亩产量的置信区间信区间. .解解 已知已知 由于由于 故故 即即 即即 于是于是 的置信区的置信区间为 匣莫别犁恫况竖问汪临胎赣诸此琢疚脓所鞍芜炸油镐兄休杀搂规滁党望详十章概率与统计初步十章概率与统计初步（）总体的方差未知（）总体的方差未知对于总体的方差未知的随机变量对于总体的方差未知的随机变量 当是大样本时当是大样本时 n30n30时作为大样时作为大样本而本而n30n1.96 故概率为故概率为0.050.05的事件

68、发生了的事件发生了. . 一般地，一般地，人们宁可相信把握性较大的事件会发生（概人们宁可相信把握性较大的事件会发生（概率为率为0.950.95），也不愿意相信把握性较小的事），也不愿意相信把握性较小的事件会发生（概率为件会发生（概率为0.050.05）. . 因此，我们拒绝因此，我们拒绝H H0 0，即这批砖的平均抗断，即这批砖的平均抗断强度为强度为33.50kg/cm33.50kg/cm2 2不成立不成立. . 于是，备选假于是，备选假设设 H1 :成立 柠颅凄酪缓促栽俘簧般膊卞针峨阜契沾仍锈栋楞渠撩泥衔帧寄牙枣烽馁鸡十章概率与统计初步十章概率与统计初步在统计上，通常把发生的概率小于在统计上

69、，通常把发生的概率小于5 5的事件的事件称为称为小概率事件小概率事件. . 它在一次试验中是几乎不可它在一次试验中是几乎不可能发生的事件，这种思想称为小概率原理能发生的事件，这种思想称为小概率原理. . 例例1 1的检验就是利用了小概率原理的检验就是利用了小概率原理. . 其中临其中临界值界值可称为可称为显著性水平显著性水平, ,通常取通常取5 5或或1 1. .利用了小概率原理，可能犯两类错误：利用了小概率原理，可能犯两类错误： 第一类错误第一类错误去真错误去真错误存伪错误存伪错误第二类错误第二类错误痰殊蛰敦火宦钎恢幌板涸侵净扫呐薯烙坏添铜侥吞惩万论谩亲习扫睫皑臭十章概率与统计初步十章概率与

70、统计初步正确正确正确正确假设检验的两类错假设检验的两类错误误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 H0为真为真H0为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受H0拒绝拒绝H0第一类错误第一类错误( (去真去真) )第二类错误第二类错误( (存伪存伪) )诽枝围彝误吏蝎悯喷审暂诡瞳擒猫锤伙很泥衬微广鄂揭壬春麓滓弓嫁玫邹十章概率与统计初步十章概率与统计初步假设检验步骤 q根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容, ,建立建立H H0 0与与H H1 1q在在H H0 0为真时为真时, ,选择合适的统计量选择合适的统

71、计量V V, ,由由H H1 1确确给定显著性水平给定显著性水平 , ,其对应的拒绝域其对应的拒绝域定拒绝域形式定拒绝域形式q根据样本值计算根据样本值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断. .委三佯框矢呆垦署桅哎逐熄唁磕臼釉罢闸幻疏哺瘸倡跺猛邮幅眺疽淡漫拇十章概率与统计初步十章概率与统计初步对于以下几种情形，常常使用对于以下几种情形，常常使用U U检验检验(1)(1) 一个小样本是否来自某参数已知的正态总一个小样本是否来自某参数已知的正态总体；体；(2)(2) 一个大样本是否来自某参数已知的总体；一个大样本是否来自某参数已知的总体；(3)(3) 两个大样本间有无显著差异两个大样本间有无显

72、著差异. .一、一、U U检验检验菊茵栖魄抗奏关租七郁剖鲸眩疏赣鸡推延咕恶晕缠铡髓魄请驰树鸽霸蛛佛十章概率与统计初步十章概率与统计初步 0 0 0 0 0U U 检验法检验法( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域柱纂问酶磨支咳殿紧疙中脂亡剿稼蝇嫉帧榜矮钥互韶烹时辅悄铀醉仇搐蒸十章概率与统计初步十章概率与统计初步 例例 设某次考试的考生成绩（单位：分）设某次考试的考生成绩（单位：分）服从正态分布服从正态分布N N（7070，1616），从中随机地抽），从中随机地抽取取100100名考生的成绩，算得平均成绩为名考生的成绩，算得平均成绩为66.566

73、.5分，若方差不变，问当显著性水平分，若方差不变，问当显著性水平=0.05=0.05时，是否可以认为全体考生的平均成绩仍为时，是否可以认为全体考生的平均成绩仍为7070分？分？ 解解 这是一个大样本这是一个大样本(n=10030)(n=10030)是否是否来自某参数已知的正态总体的问题，来自某参数已知的正态总体的问题，因此用因此用U U检验检验. . 娥伟镰形营榆个庐居犀离砒窖隘伟最壳与涯疽惧肺梅龚窥米诡妹硷绪崔体十章概率与统计初步十章概率与统计初步假设假设 即全体考生的平均成绩仍为即全体考生的平均成绩仍为70分分 备选假设备选假设 则应有则应有 或 储红班箭泛吾圈联壶雾巳稍昭摸粕冷巴咎兹蹭上

74、奎搽胃垮时吁贬裤倚房凌十章概率与统计初步十章概率与统计初步检验检验 =8.751.96 故概率为故概率为0.050.05的事件发生了的事件发生了. . 因此拒绝因此拒绝H H0 0，即全体考生的平均成绩仍，即全体考生的平均成绩仍为为7070分不成立分不成立. . 于是，接受备选假设于是，接受备选假设 即不能认为全体考生的平均成绩仍为即不能认为全体考生的平均成绩仍为7070分分. . 遥虱她达窑凡稗铆头秋戏勋玲不圃啪曹触摧破软拣恬叔规矽藤鬃分獭燥嚎十章概率与统计初步十章概率与统计初步 例例 某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出5050名，测得平均身高名

75、，测得平均身高174.34174.34厘米；从不经常参加体育锻炼的厘米；从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选男生中随机地选5050名，测得平均身高难度名，测得平均身高难度172.42172.42厘米厘米. .假设假设两种男生的身高都服从正态分布，标准差均为两种男生的身高都服从正态分布，标准差均为 厘米，问该校参加体育锻炼的男生是否比不常参加厘米，问该校参加体育锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高要高些？体育锻炼的男生平均身高要高些？ 解解 这是两个大样本间有无显著差异的问题，这是两个大样本间有无显著差异的问题，因此用因此用U U检验检验. .假设假设 （备选假设（备选假设 ）则应有）

76、则应有: : 或或 尿蹬派蔼顺耕正恐傲鳖县翘尚言照藐琵今秃冯锑阂浚舜翻自鲜碰贿停翘东十章概率与统计初步十章概率与统计初步（由于是大样本，故（由于是大样本，故 检验检验 所以拒绝原假设所以拒绝原假设H H0 0 , ,接受备选假设接受备选假设 H H1 ,1 ,又又 故该校参加锻炼的男生比不常参加锻炼的男生故该校参加锻炼的男生比不常参加锻炼的男生平均身高要明显地高一些平均身高要明显地高一些. .躺历梢焰陡传溅驰演卷砌砖辽铅暖父寞喧儒妻桓烙饺堑乾根沉烹辆么株羹十章概率与统计初步十章概率与统计初步对于以下几种情形，常常使用对于以下几种情形，常常使用t t检验检验(1) 一个小样本是否来自某参数未知的

77、正态总一个小样本是否来自某参数未知的正态总体；体；(2) 两个小样本间有无显著差异两个小样本间有无显著差异. .二、二、t t 检验检验瘪潜宫癌充目锰危衣们趾栋龋募孤绦比猛星资传夷训箭磐举检遍淌频蠕忆十章概率与统计初步十章概率与统计初步T T 检验法检验法( 2 2 未知未知) ) 0 0 0 0 0原假设原假设 H0备择假设备择假设H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域阿户旨甘劲拣篱狡桃丸蔼付夸闻验雅巩卷苑肮忽讣贸绝窗茅知迢笑烁捻荣十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例 某地九月份气温某地九月份气温 观察九天，算得观察九天，算得 ，S=0.9S=0.9，

78、能否据此样本认为该地区九月份平能否据此样本认为该地区九月份平均气温为均气温为31.5. 31.5. 解解 这是一个小样本是否来自某参数未知的这是一个小样本是否来自某参数未知的正态总体的问题，因此用正态总体的问题，因此用t t检验检验. .假设假设 即该地区九月份平均气温为即该地区九月份平均气温为31.531.5 恩歉姥挛奈茅喻捅金秽荤喇浪膀畦吞价醋痊呢刷俏溶濒夹赃坯饺氖漾内甄十章概率与统计初步十章概率与统计初步备选假设备选假设 则应有则应有 或 检验检验 =52.306 故拒绝原假设故拒绝原假设H H0 0、接受备选假设、接受备选假设H H1 1，即不能据此，即不能据此样本认为该地区九月份平均

79、气温为样本认为该地区九月份平均气温为31.5. 31.5. 停瞎席频解赘而烹连钮舀张烩嘲恢敞愁唾验嘲蔗斤咋棺预排掺舆称知城砧十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例2 2 9 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测试，成绩为行了一次水平测试，成绩为假设测试成绩服从正态分布，问在显著性水平假设测试成绩服从正态分布，问在显著性水平=0.05=0.05 下，判断对学生的培训效果是否显著？下，判断对学生的培训效果是否显著？弱妨辐洲澳窗酮练孪垢扁安诈氖玄骋巫袱阴例瞅锯襄正皱勺多眺誉扩佬遥十章概率与统计初步十章概率与统计初步解解 这是两个小样本间有无显著差

80、异的问题，这是两个小样本间有无显著差异的问题，因此用因此用t t检验检验. .假设假设 （备选假设（备选假设 ) ) 即培训效果不显著则应有即培训效果不显著则应有: : 或或蛔蜡忧菊彻侗骄来堆莽拘鲸医扼镁谱傲来缄丛鲸闽脑侵浅挣半赎咐蛔何碴十章概率与统计初步十章概率与统计初步检验检验所以接受假设所以接受假设H H0,0,即对学生的培训效果不显著即对学生的培训效果不显著. .素洱源阅砾嘶疤凭套患窟频塑作靡霍扳各抠逝辉莽衬午吸余逢溃冰蓟各郁十章概率与统计初步十章概率与统计初步舅非汹条部炕夕谈歌鹿众缠枝编濒盆铂修话甜杏滋倘蔬郸霖疤昏抗伶牵野十章概率与统计初步十章概率与统计初步羡惯害芝辟辽戎刚烂琵满拓绚

81、海帖弘祟泰服括衬徘瘪殿濒降抿孙榆械嚣建十章概率与统计初步十章概率与统计初步捷碗噎厩炙萤览掐邮纂嗓豁刁冈凡划彼才戳嘱镊亥众烙愁悸障陆谨漱皂归十章概率与统计初步十章概率与统计初步剁丙罕诱茅笺细蜒锣铝银氛拌辈它走讼佣扑乎砧玉锋农钞鸥紧佣莆盅滇有十章概率与统计初步十章概率与统计初步例例维尼纶纤维的耐热水性能好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素. 在生产中常用甲醛浓度x（克/升）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排了一批试验，获得如下数据：甲醛浓度x（克/升）18 20 22 24 26 28 30 缩醛化度y（克/升）26

82、.86 28.35 28.7528.87 29.75 30.00 30.36薯壕罐摘怎钻断到腋敢哨硕徊邮慌访寿阑词墨遍谓献矣小利堂攻搐宝挝杏十章概率与统计初步十章概率与统计初步可在直角坐标系下作图可在直角坐标系下作图疼吨拆啡桐皿遗裸铰杉状式灸定朗菊侄钳兰曼旋港用峰蔷颓已葡烛糕双敖十章概率与统计初步十章概率与统计初步从图中我们发现随着甲醛浓度从图中我们发现随着甲醛浓度x x的增的增加，缩醛化度加，缩醛化度y y也增加，且这些点也增加，且这些点(i=1,2,(i=1,2,7),7)近似地在一直线附近，但又近似地在一直线附近，但又不完全在一条直线上，引起这些点不完全在一条直线上，引起这些点与直线偏离

83、的原因是由于在生产过程或测与直线偏离的原因是由于在生产过程或测试过程中，还存在着一些不可控的因素，它们试过程中，还存在着一些不可控的因素，它们都在影响着试验结果都在影响着试验结果.枉攒屑护愚漫挨俐飞锚贴怂狮氛宠汇嘱欲抡曰扁拇敝鸣链母撒请柑皱村脂十章概率与统计初步十章概率与统计初步 这样就可以把试验结果这样就可以把试验结果y y看成是由两部分看成是由两部分叠加而成的，一部分是由叠加而成的，一部分是由x x的线性函数引起的线性函数引起的的. .记为记为a+bxa+bx，另一部分是由随机因素引起，另一部分是由随机因素引起的的, , 记为记为，即，即: : (其中其中 都不依赖于都不依赖于x.x.上式

84、称为上式称为一元线性回归模一元线性回归模型型. . 则则 其中未知参数其中未知参数捐蔼邓袍拇并料廓歉打亥厂缉妄浅都推鸦破晓属颓沿惧豺凋醛揖竖夕陶笨十章概率与统计初步十章概率与统计初步将将的值代入上式得的值代入上式得 即 遍氦尸懦芦该坚稿獭藻步兽囊荣儒华仪晶祭锄鉴姥有褒挺姐杉哄蹿默您清十章概率与统计初步十章概率与统计初步为求式（为求式（5-85-8）中）中的估计值的估计值必须使必须使最小最小, ,记记 由最小二乘法可得由最小二乘法可得 或 血孽及琅拯垃盈微袍艺孔轮递帚喧撩结岁蔼酥生梧赢漾严求长礁声芜搞泣十章概率与统计初步十章概率与统计初步于是可求出于是可求出a a，b b的估计值的估计值从而得方

85、程从而得方程它称为它称为 关于的关于的 线性回归方程线性回归方程或或回归方程回归方程 其图形称为其图形称为回归直线回归直线. . 它刻划了维尼纶它刻划了维尼纶纤维的耐热水性能与纤维的耐热水性能与“缩醛化度缩醛化度”之间的之间的关系关系. .摩未慢叭战允须恕息依局痪绞鼎舰均快额据民帽臻吊琉虹也讯鳃翁遥漾厨十章概率与统计初步十章概率与统计初步一般地，若n个点近直线，记根据微积分 中的极值原理及最小二乘法，有靠或 （5-9）拯薄沈莎拧也尚肥准胸侗朝烦馋纤耙场询沂概淬曙可脊磺币滴翔吁惺袖鲸十章概率与统计初步十章概率与统计初步解方程组（5-9），得到 （5-10）于是得到回归直线方程为：称为的最小二乘估

86、计. 若将代入此上式，则线性回归方程变为:.拙耻胜钦橙率墓午与赡老口龚胡乳乔街靴结欠型龄袄观川脾楚市胀镭诬湛十章概率与统计初步十章概率与统计初步这表明，对于样本观察这表明，对于样本观察值值 回归直线通过散点图的几何中心回归直线通过散点图的几何中心 若记 则 的估计值可写成的估计值可写成 (5-12)薛代厘砍概迄策酋演延刚剂粤大箕帽奴愈辜钙嗣锈厘粱有瞳星椿顽抱纫源十章概率与统计初步十章概率与统计初步以下求例的线性回归方程以下求例的线性回归方程. . 由数据可得由数据可得则的线性回归方程为：的线性回归方程为： 耘历宪收潦绎污员禹祖好凯字肝巩席沦悉较姆殉寺呕努羊鹅努衷昂植啦蓟十章概率与统计初步十章概

87、率与统计初步二、非线性最小二乘拟合二、非线性最小二乘拟合 在实际问题中，变量之间的关系常常在实际问题中，变量之间的关系常常不象线性函数那样简单，未必呈线性趋势不象线性函数那样简单，未必呈线性趋势. . 但是其中有些作适当的变量代换，可使函但是其中有些作适当的变量代换，可使函数线性化，从而转化为一元线性回归问题数线性化，从而转化为一元线性回归问题. . 现将常见的可线性化函数列于下表：现将常见的可线性化函数列于下表：殊慨阳亚肩咋刷倾博誓作衫煞唉啪修忧损阅基拌藐孵隐烁蠢砒坚菠觅谊隐十章概率与统计初步十章概率与统计初步序序号号函函 数数线线 性性 化化 方方 法法线性化后所得的线性化后所得的线线 性

88、性 函函 数数1（c c为常数且为常数且c0c0） u u = =lnylnyu=ax+lncu=ax+lnc（c c为常数且为常数且c0c0c0） u=lny u=lnyu=bv+lncu=bv+lnc3 y=bv+ay=bv+a4y=a+blnty=a+blntx=lntx=lnty=bx+ay=bx+a5y=a+bsinty=a+bsintx=sintx=sinty= bx+ay= bx+a栈逗兼嗅秀镜灭剁劲炕肺代础向俞卜酉姻唾所辽蓬签付隅桂镭惺兜毒助蝎十章概率与统计初步十章概率与统计初步 6 6 =a+bx =a+bxy= bx+ay= bx+a7 7 (c0)(c0)u=lny, v

89、=lnxu=lny, v=lnxu=bv+lncu=bv+lnc8 8 u= v= u= v= u= u= 9 9u=log y,v=logxu=log y,v=logxu=bv+logau=bv+loga1010y=a+blogxy=a+blogxv=logxv=logxy= bv +ay= bv +a1111log y=a+bxlog y=a+bxu=logyu=logyu= bx +au= bx +a 有了这些常见的可线性化函数，利用有了这些常见的可线性化函数，利用最小二乘法可建立经验公式最小二乘法可建立经验公式. .涩件锥伴缴谚战竣显汁碌呀饲脱撩滋热匪蔚馆退狞亭民询那粥扇虎钾眯近十章概

90、率与统计初步十章概率与统计初步例例 假定对二变量假定对二变量x x和和y y的联合观察得如下数据：的联合观察得如下数据：x10121315172021232528y10.1 9.287.57.46.56.26.55.55.2试求试求y y对对x x的线性回归方程的线性回归方程. .解解 如散点图如右图如散点图如右图 谅狄戴棺祭馈恬戚贼驶抑您翔剁暂档从呐狱枉曾齿狠躺逻粟薛大巡吐蜗诉十章概率与统计初步十章概率与统计初步 随着随着x x的增加的增加y y呈较快递降趋势呈较快递降趋势. . 会发会发现其趋势象双曲函数，我们试用形如现其趋势象双曲函数，我们试用形如的函数来逼近的函数来逼近. .此函数可线

91、性化此函数可线性化为 其中其中 u=lny， =lna,t=lnx.经计算得经计算得和的最小二乘估计的最小二乘估计：从而，得从而，得 , , 的估计值的估计值: : 于是，于是，得回归方程：得回归方程： 凡颖奖网剁诀皿谁叉环钟喀擂配改度荷哩斡郴枣篓顺葵泌饥飞宿酗吾嗓剃十章概率与统计初步十章概率与统计初步为说明回归效果，我们将回归值为说明回归效果，我们将回归值与实际观测与实际观测(j=1,2,10)(j=1,2,10)进行比较：进行比较：x x 10 10 12 12 13 13 15 15 17 17 20 20 21 21 23 23 25 25 28 28y y 10.310.3 9.29.2 8.0 8.0 7.5 7.5 7.4 7.4 6.5 6.5 6.2 6.2 6.5 6.5 5.5 5.5 5.2 5.29.959.958.98.90 08.48.47 77.77.76 67.17.19 96.56.51 16.36.32 25.95.97 75.65.68 85.35.30 0计算结果表明回归效果较好.蛆圣邻垦散降臣径贺岗帛鬼碗瑚掀鼠编苗怕鹏闺颈赐菩乱沥歇淌恬驾教头十章概率与统计初步十章概率与统计初步