数学中考知识点系统总结_中学教育-中考

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1、 1 数学中考知识点系统总结 专题一 数与式 考点 1.1 、实数的概念及分类 1、 实数的分类 有理数：整数( 包括：正整数、0、负整数) 和分数( 包括：有限小数和无限环循小数) 都是有理数如：3，0.231 ，0.737373 ， 无理数：无限不环循小数叫做无理数如：，0.1010010001 ( 两个1之间依次多1个0) 实数：有理数和无理数统称为实数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如3+8 等；

2、（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等； （4）某些三角函数，如 sin60o等 注意：判断一个实数的属性( 如有理数、无理数) ，应遵循：一化简，二辨析，三判断要注意： “神似”或“形似”都不能作为判断的标准 3、非负数：正实数与零的统称。 （表为：x0） 常见的非负数有： 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 a 2aa(a0) (a 为一切实数) 2 性质：若干个非负数的和为 0，则每个非负担数均为 0。

3、 4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。 解题时要真正掌握数形结合的思想， 理解实数与数轴的点是一一对应的， 并能灵活运用。 画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（原点） ，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴（ “三要素” ） 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 作用： A.直观地比较实数的大小;B. 明确体现绝对值意义;C. 建立点与实数的一一对应关系。 5、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有

4、符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。即：(1) 实数a的相反数是a(2)a和b互为相反数0ab 6、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| 0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a 0；若|a|=-a ，则 a 0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 (1) 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 即： (0)0 (0) (0)aaaaa

5、a另有两种写法 (2) 实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离 (3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零， 例如： 若20abc ， 则0a ，0b ，0c 注意：a0, 符号“”是“非负数”的标志; 数 a 的绝对值只有一个; 处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。 7、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1 。零没有倒数。 即(1) 实数a(a0)的倒数是1a (2)a和b互为倒数1ab。 (3) 注意 0 没有倒数 8、有效数字 一个近似数四舍五入到

6、哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直

7、线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 3 9、科学记数法 把一个数写做na10的形式，其中101a，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 （1）确定a：a是只有一位整数数位的数 （2）确定 n：当原数1 时，n等于原数的整数位数减 1； ；当原数1 时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零） 。 例如：407004.07 105，0.000043 4.3 105 （3）. 近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 （4）按精确度

8、或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来 10、实数大小的比较 知识 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。 解题时要真正掌握数形结合的思想， 理解实数与数轴的点是一一对应的， 并能灵活运用。 知识 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设 a、b 是实数， ,0baba ,0baba baba0 （3） 求商比较法： 设 a、 b 是两正实数，;1;1;1babababababa （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则baba。 （5）平方

9、法：设 a、b 是两负实数，则baba22。 11、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律 abba 2、加法结合律 )()(cbacba 3、乘法交换律 baab 4、乘法结合律 )()(bcacab 5、乘法对加法的分配律 acabcba )( 6、实数的运算顺序 1 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 2 （同级运算）从“左”到“右” （如 5515）;( 有括号时) 由“小”到“中”到“大” 。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数

10、实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 4 12、有理数的运算： 加法：同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。异号相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符

11、号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与 0 相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘得 0。乘积为1 的两个有理数互为倒数。 除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数。0 不能作除数。 乘方：求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A 叫底数，N 叫次数。 考点 1.2、实数与二次根式 1、平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。 一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数 a 的平方根记做“a” 。 2、算术平方

12、根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“a” 。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a（a0） 0a aa2 ；注意a的双重非负性： -a（aba+cb+c abacbc(c0) abacbc(cb,bc ac ab,cd a+cb+d. 5、一元一次不等式 、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。axb、axb、axb、axb、axb(a 0) 。 、一元一次不等式的解法 （在数轴上表示解集） 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两

13、个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 13 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（

14、3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1 即通过去分母、 去括号、 移项合并同类项， 把不等式化为axb( 或axb)(0a ) 的形式，再把系数化为 1 得出不等式的解集 说明：在去分母和化系数为 l 时，需特别注意不等式两边同时乘以( 或除以) 一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下： 当0a 时，bxa( 或bxa) 当0a 时，bxa( 或bxa) 当0a 时，若0b ，不等式无解( 或不等式的解集为一切实数) 当0a 时，若0b ，不等式的解为一切实数( 或不等式无解) 6、一元一次不等式组 、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一

15、次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 、一元一次不等式组的解法 （在数轴上表示解集） （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表( 其中ab) 口诀 不等式组 解集 在数轴上表示 同小取小 xaxb

16、 xa ab 同大取大 xaxb xb ab 大小取中 xaxb axb ab 两背为空 xaxb 不等式组无解 ab 考点 2.4 一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如

17、等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 14 2、一元二次方程的一般形式 ) 0( 02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 3、一元二次方程的解法 、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法

18、适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0直线与 y 轴交点在 x 轴的上方 b=0直线过原点 b0 k0 时，y 随 x 增大而增大； 当 k0 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。 b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小

19、数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 20 k0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分

20、支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0抛物线与 x 轴有两个不同交点 =0抛物线与 x 轴有唯一的公共点( 相切) 0 时，抛物线有最低点，函数有最小值 当 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ； （3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （

21、2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ； （3） 在对称轴的左侧， 即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 7、二次函数) 0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义： a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当0 时，图像与 x 轴没有交点。 补充： 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标

22、为（x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 221221yyxx A 0 x 1 B 2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 左加右减、上加下减 khxay2 2yaxbxc 21xxxxay 开口方向 0a开口向上函数有最小值顶点为最低点 0a开口向下函数有最大值顶点为最高点 对称轴 直线x h 直线2bxa 直线122xxx 顶点坐标 ()hk， 24()24bac baa， (2- ()121224xxa xx，) 增减性 当0a 时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y随着

23、 x 的增大而增大；当0a 时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减少； 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的

24、直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 27 最值 当x h，yk最值 当2bxa，244ac bya最值 当122xxx，求y最值用代入法 考点 3.6、 二次函数的应用题 考点 3.7、 用函数观念看方程与不等式 方程思想 数学思想 函数思想 转化思想 数形结合 分类讨论 y 0 一元一次方程 kxb 0 直线与 x 轴交点 y0 kxb 0 x 轴上方部分 y0 一元一次不等式 kx b 0 x轴下方部分 二元一次方程组111222a xb yca xb yc 解是坐标 坐标是解 y 0 一元二次方程

25、2yaxbxc0 与 x 轴交点 y0 2yaxbxc 0 x 轴上方部分 y0 一元二次不等式 2yaxbxc0 x轴下方部分 解是横坐标 横坐标是解 专题四 空间图形与证明 考点 4.1 点 线 面 相交线 平行线和视图 直线、射线和线段 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体

26、的是面，分为平面和曲面。 一次函数bkxy k0 二次函数2yaxbxc() 0a 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定

27、的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 28 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点

28、的两个大写字母来表示。 注意： （1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。 （2）直线和射线无长度，线段有长度。 （3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。 （4）点和直线的位置关系有线面两种： 点在直线上，或者说直线经过这个点。 点在直线外，或者说直线不经过这个点。 7、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段

29、的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 角 10、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 当角的两边在一

30、条直线上时，组成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干

31、个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 29 的余角。 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。 11、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法： 用数字表示单独的角，如1，2，3 等。 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。 用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C等。 用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，C

32、AE 等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 12、角的度量 角的度量有如下规定： 把一个平角 180 等分， 每一份就是 1 度的角， 单位是度， 用 “”表示，1 度记作“1” ，n 度记作“n” 。 把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1 ” 。 把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1” ” 。 1=60 =60” 13、角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 15、角的平分线及其性质 一条射线把

33、一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 相交线 16、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。 我们把两条直线相交所构成的四个角中， 有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。 临补角互补，对顶角相等。 直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线EF 所截） ，构成八个角。其中1 与5 这两个角分别在 AB，CD 的上方，并且在 EF

34、的同侧， 像这样位置相同的一对角叫做同位角； 3 与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3 与6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。 17、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD” （或“CDAB”)，读作“AB 垂直于 CD”括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性

35、数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 30 （或“CD 垂直于 AB” ） 。 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：直线外一点与直

36、线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 平行线 （38 分） 18、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“ABCD” ，读作“AB 平行于 CD” 。 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 19、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 20、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直

37、线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。 平行线的两条判定定理： （1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 21、平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 命题、定理、证明 22、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。

38、理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 公理 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数

39、如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 31 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出

40、由已知推出求证的途径，写出证明过程。 投影与视图 23、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 24、视图 当我们从某一角度观察一个实物时， 所看到的图像叫做物体的一个视图。 物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 考点 4.2、三角形及全等

41、 三角形知识结构 内角和定理及推论概念一般三角形性质三边关系定理及边角之间的关系角平分线三角形全等三角形全等应用线段中垂线不等边三角形按边分等边三角形等腰三角形一般等腰三角形分类直角三角形按角分钝角三角形斜三角形锐角三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点； 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线

42、段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时

43、要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 32 （简称三角形的高） 。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC” ，读作“三角形ABC” 。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰

44、不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： 判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理

45、：三角形三个内角和等于 180。 推论： 直角三角形的两个锐角互余。 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积 三角形的面积=21底高 全等三角形 1、全等三角形的概念 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如

46、等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 33 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和

47、性质 全等用符号“”表示，读作“全等于” 。如ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成 “边边边” 或 “SSS” ） 。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边

48、、直角边定理） ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点 4.3 等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1： 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直

49、于底边。 即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2180A 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个

50、三角形中的边相等。 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题

51、时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 34 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1、 等腰三角形底边上的中线垂直底边， 平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、 如果一个三角形的一边中线垂直这条边 （平分这个边的对角） ， 那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三

52、角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边 （平分对边） ， 那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。 高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、 如果一个三角形一边上的高平分这条边 （平分这条边的对角） ， 那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半腰长周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中

53、点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5：三角形中任

54、意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 注意：重要辅助线 中点配中点构成中位线; 加倍中线; 添加辅助平行线 证明方法 直接证法：综合法、分析法 间接证法反证法：反设归谬结论 证线段相等、角相等常通过证三角形全等 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个

55、实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 35 证线段倍分关系：加倍法、折半法 证线段和差关系：延结法、截余法 证面积关系：将面积表示出来 考点 4.4 直角三角形 1、有一个角为 90的三角形，叫做直角三角形。 直角三角形可用 Rt表示，如直角三角形 ABC写作 RtABC。 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 2、性质 性质 1: 直角三角形两直角边的平方

56、和等于斜边的平方 性质 2: 在直角三角形中，两个锐角互余 性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径 RC/2）。 性质 4: 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质 5: 射影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 BDADCD2 ABADAC2 CD AB ABBDBC2 （）ABCD=ACBC(可用面积来证明） (5) 直角三角形的外接圆的半径 R=1/2BC, (6) 直角三角形的内切圆的半径 r=1/2(AB+AC

57、-BC)( 公式一) ； r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二) 性质 6: 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30。 3、判定方法： 判定 1：有一个角为 90的三角形是直角三角形。 判定 2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。 判定 3： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。 判定 4：若一个三角形 30内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形

58、是以这条长边为斜边的直角三角形。 判定 5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 判定 6：在直角三角形中，60 度内角所对的直角边等于斜边的 根号 3/2 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担

59、数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 36 判定 7： 在证明直角三角形全等的时候 可以利用 HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角三角形全等。 注意： 、等腰直角三角形中，两腰为 1 的话，斜边为根号 2。 、有一个角为 30角的直角三角形中，短直角边为 1 的话，长直角边为根号 3，斜边为 2。 、面积 .底高法 S=ah/2 .海伦公式（三边法） S=(d(d-a)(d-b)(d-c) 其中 d=(a+b+c)/2 .两边夹一角 S

60、=a*b*sinC 再除以 2 .一边与三角 S=(a*a*sinB*sinC)/(2*sinA) .内切圆半径 S=(1/2)*r*C .外接圆半径则请用正弦定理 4、角平分线 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【注意】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！( 即内心) 。 定理 1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在

61、一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 定理 2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 5、 垂直平分线 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 垂直平分线的性质 1. 垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2. 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 垂直平分线的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做

62、无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 37 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证

63、明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 考点 4.5 尺规作图 1基本作图 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 (1) 作一条线段等于已知线段 (2) 作一个角等于已知角 (3) 平分已知角 (4) 经过一点作已知直线的垂线 (5) 作线段的垂直平分线 2. 作图公法 以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： 通过两个已知点可作一直线

64、。 已知圆心和半径可作一个圆。 若两已知直线相交，可求其交点。 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 若两已知圆相交，可求其交点。 考点 4.6 四边形与平行四边形 四边形的相关概念 1、四边形 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。 2、凸四边形 把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。 3、对角线 在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。 4、四边形的不稳定性 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的

65、不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。 5、四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360。 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360。 推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 ) 2(n180； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义

66、的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 38 6、多边形的对角线条数的计算公式 设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数为2) 3(nn。 平行四边形 1、平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形用符号“ABCD ”表示，如平行四边形 ABCD 记作“ABCD ” ，读作“平行四边形 ABCD

67、” 。 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。 （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四

68、边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长高=ah 注意： 性质 对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分的四边形 考点 4.7、矩形 菱形 正方形 1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对

69、称图形 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的

70、并能灵活运用画 39 3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长宽=ab 菱形 1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积 S菱形

71、=底边长高=两条对角线乘积的一半 正方形 1、正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定 （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

72、先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行四边形； 再证明它是菱形（或矩形） ； 最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积 设正方形边长为 a，对角线长为 b S正方形=222ba 2 注意：特殊平行四边形的性质和判定 名称 矩形 菱形 正方形 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起

73、来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 40 性质 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 直角三角线斜边上的中线等于斜边一半 对边平行 四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，且平分一组对角 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 判定 有三个角

74、为直角的四边形 有一个角为直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 四条边都相等的四边形 一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一个角为直角的菱形 有一组邻边相等的矩形 中点四边形 顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。 任意四边形的中点四边形是平行四边形， 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 分类表： 1一般性质（角） 内角和：360 顺次连结各边中点得平行四边形。 推论 1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论 2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 外角和：360 2特

75、殊四边形 研究它们的一般方法: 平行四边形、矩形、菱形、正方形; 梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形 菱形 对角线的纽带作用： 定义性质判定 边 角 对角线 面积 对称性 轴对称 中心对称 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 互相平分 相等且互相垂直 垂直 相等 相等 垂直 相等且互相平分 互相垂直平分 互相垂直平分且相等 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二

76、是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 41 3对称图形 轴对称（定义及性质）; 中心对称（定义及性质） 4有关定理：平行线等分线段定理及其推论 1、2 三角形、梯形的中位线定理 平行线间的距离处处相等。 （如，找下图中面积相等的三角形） 5重要辅助线：常连结四边形

77、的对角线; 梯形中常“平移一腰” 、 “平移对角线” 、 “作高” 、 “连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。 6作图：任意等分线段。 考点 4.8、梯形 1、梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形 梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 2、梯形的判定 （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）一

78、组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、等腰梯形的性质 （1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。 （3）等腰梯形的对角线相等。 （4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定 （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积 （1）如图，DEABCDSABCD)(21梯形 （2）梯形中有关图形的面积： 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数

79、正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 42 BACABDSS； BOCAODSS； BCDADCSS 6、梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 考点 4.9、圆的相关概念和计

80、算 知识结构 圆的定义圆的概念确定圆的条件：不在同一直线上的三点共圆旋转不变性：四关系定理圆的性质圆内接四边形的性质圆周角定理圆切线的判定 圆的切线和作法直线和圆的位置关系切线的性质圆与圆的位置关系：圆与圆的五种位置关系及判定方法园与正多边形的关系：圆的有关计算扇形、弓形的弧长和面积 圆柱、圆锥的侧面展开图 考点一圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“O” ，读作“圆 O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义

81、（1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD） 直径等于半径的 2 倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分

82、弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺

83、一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 43 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距

84、、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个

85、三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有： dr点 P 在O 外。 考点八、过三点的圆 rddCBAOOEDCBAFEDCBAOCBAODCBAOCBAO括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的

86、属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 44 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假

87、设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果O的半径为 r，圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那么： 直线 l 与O相交dr； 考点十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切

88、线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 drd=rrd括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽

89、的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 45 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种

90、。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr） 两圆内含dr） 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正

91、多边形的外接圆。 考点十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边图3rRd图4rRd图5rRd图1rRd图2rRd括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数

92、如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 46 2rrhlrhl2rnABOnCABOn形的中心。

93、2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 考点十八、弧长和扇形面积 (1) 定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n边形分成2n个全等的直角三角形。 *（2）公式：中心角0360nn 边长01802 sinnaRn 边心距0180cosnPRn 3圆周长、弧长：2 Rc 扇形弧长：180n rl 4圆、扇形、弓形的面积： 扇形的面积公式：213602n rSlr扇形 弓形面积公式：SSS弓形扇形 5、圆柱 6圆锥 1、圆锥的侧面展开图是一个扇形， 圆锥的母线长等于扇形的半径， 底面圆

94、的周长等于扇形的弧长。 2、222rhl 3、2180n lr 4、Srl圆锥侧 5、2()SSSrrlr rl侧圆锥表底 1、圆柱的母线长等于圆柱的高， 2、圆柱的侧面展开图是一个矩形 长等于底面圆周长，宽等于母线长。 3、2Srl圆柱侧 4、22222()SSSrrlr rl侧圆柱表底 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率

95、或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 47 补充： （此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助） 1、相交弦定理 O 中， 弦 AB 与弦 CD 相交与点 E， 则 AEBE=CEDE 2、弦切角定理 弦切角： 圆的切线与经过切点的弦所夹的角， 叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周

96、角。 即：BAC=ADC 3、切割线定理 PA 为O 切线，PBC 为O 割线， 则PCPBPA2 考点 4.10 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 1. 直线和圆的位置关系 三种位置及判定与性质： 2. 圆换圆的位置关系 五种位置关系及判定与性质：( 重点：相切) 切线的判定和性质 3.1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 注意; 一、一组计算公式 1. 圆周长公式 2. 圆面积公式 3. 扇形面积公式 4. 弧长公式 5. 弓形面积的计算方法 6. 圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 二、点的轨迹

97、dR d=R dR+r d=R+r R-rdR+r d=R-r dBC ） ，并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， 其中 AC=215 AB0.618AB 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 相

98、似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 用数学语言表述如下： DEBC，ADEABC 相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC； （2）对称性：若ABCA B C ，则A B C ABC 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性

99、数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 52 （3） 传递性： 若ABCA B C ， 并且A B C ABC， 则ABCABC。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似

100、的判定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 （2）直角三角形相似的判定方法

101、以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质

102、 相似多边形的对应角相等，对应边成比例 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 注意：一、 （比例的有关性质） ： 反比性质：cdab 更比性质：dbcaacbd 或 合

103、比性质：ddcbba bcaddcba （比例基本定理） bandbmcandbnmdcba:) 0(等比性质 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫

104、做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 53 涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。 注意：定理中“对应”二字的含义; 平行相似（比例线段）平行。 二、相似三角形性质 1对应线段;2 对应周长;3 对应面积。 三、相关作图 作第四比例项; 作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1 “等积”变“比例” ， “比例”找“相似” 。 2找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。)(,为中间比nmnmdcnmba ,nnnmdcnmba ),(,nmnmnnmmnmdcn

105、mba或 3添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 4对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。 5对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形） “抽”出来的办法处理。 考点 5.3 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：C=90A+ B=90 相似基本定理 推论 (骨干定理) 平行线分线段成 比 例 定 理 (基本定理) 应用于中 相似三角形 判定定理定理 1 定理 2 定理 3 Rt 推论 推 论 的逆定理 推论 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理

106、数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 54 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一

107、半。 A=30 可表示如下： BC=21AB C=90 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下： CD=21AB=BD=AD D为 AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba 5、射影定理 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边 在 斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜 边 上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 BDADCD2 ABADAC2 CD AB ABBDBC2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC 直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果

108、三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。 锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC中，C=90 锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为 sinA，即casin斜边的对边AA 锐角 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为 cosA，即cbcos斜边的邻边AA 锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为 tanA，即batan的邻边的对边AAA 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无

109、限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 55 锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA 2、锐角三角函数的概念 锐角

110、A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围 0sin1，0cos1，tan0，cot0. 3、一些特殊角的三角函数值 sin cos tan cot 0 0 1 0 不存在 15 624 624 23 23 30 12 32 33 3 45 22 22 1 1 60 32 12 3 33 75 624 624 23 23 90 1 0 不存在 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A) tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90 A) （2）平方关系 1cossin22AA （3）倒数关系

111、 tanAtan(90 A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcossin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个

112、之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 56 ABPQx2、解直角三角形的理论依据 在 RtABC 中，

113、C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系：222cba（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+ B=90 （3）边角之间的关系： baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin 对实际问题的处理 1 俯、仰角： 2方位角、象限角： 3 坡度： 3 在 两 个直 角 三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式 （1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB （2）Rt面积公式：1122Sabch （3）直角三角形外接圆的半径2cR，内切圆半径2a b cr 结论：

114、直角三角形斜边上的高abhc 4应用解直角三角形的知识，可以解决： (1) 测量物体高度 (2) 有关航行问题 (3) 计算坝体或边路的坡度等问题 5测底部不可到达物体的高度如右图， 在 RtABP中， BP=xcot 在 RtAQB中， BQ=xcot 8QBP=a， 即 xcot -xcot =a 专题六 统计与概率 平均数 1、平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有 n 个数,21nxxx那么，)(121nxxxnx叫做这 n 个数的平均数，x读作“x 拔” 。 仰角 俯角 北 东 西 南 h l i i=h/l=tg 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理

115、数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 57 （2） 加权平均数： 如果 n 个数中，1x出现1

116、f次，2x出现2f次， ，kx出现kf次 （这里nfffk21） ，那么，根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表示为nfxfxfxxkk2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,21叫做权。 2、平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据,21nxxx比较分散时，一般选用定义公式：)(121nxxxnx （2）加权平均数法： 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nfxfxfxxkk2211，其中nfffk21。 （3）新数据法： 当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式：axx 。 其中， 常数 a 通常取接近这组数据平均数的较 “整” 的数，

117、axx11，axx22， ，axxnn。)(121nxxxnx是新数据的平均数（通常把,21nxxx叫做原数据，,21nxxx叫做新数据） 。 统计学中的几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 众数、中位数 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 括有限小数和无

118、限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 58

119、2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 方差 1、方差的概念 在一组数据,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即 )()()(1222212xxxxxxnsn 2、方差的计算 （1）基本公式： )()()(1222212xxxxxxnsn （2）简化计算公式（） ： )(12222212xnxxxnsn 也可写成2222212)(1xxxxnsn 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（） ： )(1222221

120、2xnxxxnsn 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组新数据axx11，axx22，axxnn，那么，2222212)(1xxxxnsn 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法： 原数据,21nxxx的方差与新数据axx11，axx22，axxnn的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得,21nxxx的方差就等于原数据的方差。 3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 )()()(1222212xxxxxxnssn 频率分布 1、频率

121、分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规

122、定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 59 占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。 2有关概念 (1) 分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在 100 个以内时，通常分成 512 组 (2) 频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数 n (3) 频率：每个小组的频数与数据总数 n 的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为 l (4) 频率分布表： 将一组数据的分组及各组相应的频数、 频率所列成的表格叫做频率分布表 (5) 频率分布直方图：将频率分布

123、直方表中的结果， 以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。 每个小长方形的面积等于该组的频率。 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于 1 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另 IJ 占样本容量 n 的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小， 一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布 3 研究样本的频率分布的一般步骤是： 计算极差（最大值与最小值的差） 决定组距与组数 决定分点 列频率分布表 画频率分布直方图 频率分布的有关概念 极差：最大值与最小值的差 频数：落在各个小组

124、内的数据的个数 频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量 n）的比值叫做这一小组的频率。 各种统计图的特点 1条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目 2折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况 3扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比 确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的

125、可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。 要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平， 就是看它们发生的可能性是否一样。 所谓判断事件可能性是否相同， 就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 概率的意义与表示方法 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有

126、特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 60 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。 2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，表示事件 A 的概率 p，可记为 P（A）=P 确定事件和随机事件

127、的概率之间的关系 1、确定事件概率 （1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1 概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 古典概型 1、古典概型的定义 某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P

128、（A）=nm 列表法求概率 （10 分） 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 树状图法求概率 （10 分） 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时， 用列表法就不方便了， 为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 利用频率估计概率（8 分） 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利

129、用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 2、 在统计学中， 常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切

130、实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 61 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。 注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率即正难则反易 初中数学常用的 10 种解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，

131、提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、 一种数学方法在代数、 几何、 三角等的

132、解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax +bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0）根的判别，=b -4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程( 组) ，解不等式，研究函数乃至几何、三

133、角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数， 而后根据题设条件列出关于待定系数的等式， 最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是

134、一个图形、一个方程( 组) 、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角

135、函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 62 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法( 结论的反面只有一种) 与穷举反证法( 结论的反面不只一种) 。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1) 反设；(2) 归谬；(3) 结论。 反设是反

136、证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/ 不是；存在/ 不存在；平行于/ 不平行于；垂直于/ 不垂直于；等于/ 不等于；大( 小) 于/ 不大( 小) 于；都是/ 不都是；至少有一个/ 一个也没有；至少有 n 个/ 至多有(n 一 1) 个；至多有一个/ 至少有两个；唯一/ 至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公

137、式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积， 而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。 运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。 所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一

138、映射。 中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有

139、利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数

140、或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不

141、可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画 63 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。 （6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。 括有限小数和无限环循小数都是有理数如无理数无限不环循小数叫做无理数如两个之间依次多个实数有理数和无理数统称为实数有理数整数有限或无限循环性数分数实数无理数无限不循环小数正无理数负无理数正整数负整数正分数时之它包含两层意思一是无限小数二是不循环二者缺一不可归纳起来有四类开方开不尽的数如等有特定意义的数如圆周率或化简后含有的数如等有特定结构的数如等某些三角函数如等注意判断一个实数的属性如有理数无理数应遵循切实数性质若干个非负数的和为则每个非负担数均为数轴规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时要注意上述规定的三要素缺一不可解题时要真正掌握数形结合的思想理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用画