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1、6.3等比数列高考理数高考理数一、等比数列的有关概念1.通项公式:如果等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式是an=a1qn-1(q0).2.等比中项:如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,且=,即G2=ab.3.前n项和公式:Sn=二、等比数列的性质已知等比数列an的前n项和为Sn.(1)数列can(c0),|an|,anbn(bn是等比数列),等也是等比数列.(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列.(3)若m+n=p+q,则aman=apaq,知识清单特别地,若m+n=2p,则aman=.(4)a1an=a2an-1=aman-m+1
2、.(5)当an的公比q-1或q=-1且m为奇数时,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等比数列.(6)当n是偶数时,S偶=S奇q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶q.【知识拓展】【知识拓展】解决与等比数列有关的问题的常见思想方法.(1)方程的思想.等比数列可以由首项a1和公比q确定,一般可以通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)数形结合的思想.通项公式an=a1qn-1可化为an=qn,因此an是关于n的函数,即点(n,an)是曲线y=qx上的一群孤立的点.单调性:当或时,an是递增数列;当或时,an是递减数列;当q=1时,an为常数列;当q0时,an为摆动数列.(3)分
3、类思想.当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn=.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是常考的易错点.等比数列的基本运算方法:(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕a1和q进行.(2)对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1,q.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题.例例1(1)(2016辽宁抚顺二模,10,5分)在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则等于()A.B.C.D.(2)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其
4、前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=()A.B.C.D.解析解析(1)设公比为q,则由an+1an,知0q0,a2a4=q4=1,S3=a1+a1q+a1q2=7,解得a1=4,q=或-(舍去),所以S5=,故选B.答案答案(1)D(2)B1-1(2016广西玉林3月模拟,7,5分)已知数列an的首项a1=1,an+1=3Sn(n1),则下列结论正确的是()A.数列an是等比数列B.数列a2,a3,an是等比数列C.数列an是等差数列D.数列a2,a3,an是等差数列答案答案B解析解析当n2时,an=3Sn-1,an+1=3Sn,两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1),即an
5、+1-an=3an,即=4(n2),又a2=3S1=3a1=3,故数列从第2项起是等比数列,故选B.1-2(2016辽宁沈阳质检,15,5分)数列an是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+anan+1=.答案答案(1-4-n)解析解析由题意得q3=q=,an=a2qn-2=,anan+1=8,数列anan+1是以8为首项,为公比的等比数列,a1a2+a2a3+anan+1=(1-4-n).在等比数列的基本运算问题中,一般是建立a1、q满足的方程组,求解方程组,但如果灵活运用等比数列的性质,便可减少运算量,提高解题速度,要注意挖掘已知中的“隐含条件”.例例2(1)(2016北京海
6、淀二模,5,5分)已知等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.16(2)(2016宁夏银川三模,6,5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则S6=()A.126B.63C.124D.120解析解析(1)a3a11=4a7,a70,a7=4,b7=4.bn为等差数列,b5+b9=2b7=8,故选C.(2)对等比数列an(q-1),有S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,S2=6,S4-S2=30-6=24,S6-S4=96,S6=S4+96=126.故选A.答案答案(1)C(2)A方法方法2等比数列
7、的性质及应用等比数列的性质及应用2-1(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案答案C解析解析由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lgan的前8项和等于lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg10=4.故选C.(1)在解决等差、等比数列综合问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.但用“基本量法”,并树立“目标意识”,需要什么,就求什么,往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果.(2)等差数列与等比数列之间是可以相互
8、转化的,即an为等差数列(a0且a1)为等比数列;an为正项等比数列logaan(a0且a1)为等差数列.例例3设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列an的通项;(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.解题导引解题导引(1)利用已知条件求a1和q,再利用通项公式求an;(2)利用(1)中通项公式求bn,再利用前n项和公式求Tn.解析解析(1)由已知得a2=2.方法方法3等差、等比数列综合问题的解法等差、等比数列综合问题的解法设数列an的公比为q,由a2=2,可得a1=,a3=2q,
9、又S3=7,所以+2+2q=7,即2q2-5q+2=0.解得q1=2,q2=(舍去),a1=1.故数列an的通项为an=2n-1.(2)由(1)得a3n+1=23n,bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,数列bn为等差数列.Tn=b1+b2+bn=ln2.故Tn=ln2.3-1(2013天津,19,14分)已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=Sn-(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解析解析(1)设等比数列an的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2=.又an不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列an的通项公式为an=(-1)n-1.(2)由(1)得Sn=1-=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1SnS1=,故0Sn-S1-=-=.当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以=S2SnSn-S2-=-=-.综上,对于nN*,总有-Sn-.所以数列Tn最大项的值为,最小项的值为-.
