几何元素间的相互关系

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1、第第 4 4 章章 几何元素间的相对关系几何元素间的相对关系 4.1 平行问题平行问题4.1 4.1 平行问题平行问题4.2 4.2 相交问题相交问题4.3 4.3 垂直问题垂直问题4.4 4.4 综合问题分析综合问题分析4.1 4.1 平行问题平行问题4.1.2 平面与平面平行平面与平面平行4.1.1 4.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。 若一直线与某一投影面垂直面平行，则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行PCDBA例例1 试判断直线试判断直线AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcede

2、dc结论：直线AB不平行于定平面XO例例例例2 2 过点过点过点过点K K作一水平线作一水平线作一水平线作一水平线ABAB平行于已知平面平行于已知平面平行于已知平面平行于已知平面 CDECDE。b a af fbc e d edk kcXO4.1.2 4.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。内的两相交直线，则这两个平面平行。 若两投影面垂直面平行，则它们具有积聚性的若两投影面垂直面平行，则它们具有积聚性的那组投影必然相互平行。那组投影必然相互平行。PSEFDACB例例3 3 试判

3、断两平面是否平行试判断两平面是否平行f e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例例例4 4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和和和CDCD给定。试过点给定。试过点给定。试过点给定。试过点K K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO例例例例5 5 5 5 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行结论：两平面平行结论

4、：两平面平行ef e fsr s d dc a acb brPHSHXO4.2 相交问题相交问题4.2.1 积聚性法积聚性法4.2.2 辅助平面法辅助平面法交点与交线的性质交点与交线的性质 直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面不不平平行行则则必必相相交交。直直线线与与平平面面相相交交有有交交点点，通通常常称称为为穿穿点点。穿穿点点既既在在直直线线上上又又在在平平面面上上，因因而而穿穿点点是是直直线线与与平平面面的的共共有有点点。两两平平面面的的交交线线是是直直线线，它它是是两两个个平平面面的的共共有有线线。求求线线与与面面穿穿点点、面面与与面面交交线线的的实实质质是是求求共共有有点点、共

5、共有有线线的投影。的投影。 PABKDBCALKEF4.2.1 4.2.1 积聚性法积聚性法 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的直线与平面积聚性投影的交点，交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM一一眼眼可可见见直线可见性的判别直线可见性的判别b ba acc m mn k n特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性直接判别直线的可见性-观察法观察法 V

6、HPHPABCacbkNKMk在平面在平面之前之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例6 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，相交， 求交点并判别可见性。求交点并判别可见性。面上定点面上定点（2 2） 两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性，交平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNL

7、b bacnlmc m a l n fkf k X XO O平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLX XO Ob bacnlmc m a l n kff k 过过AB作作平面平面P垂直于垂直于H投影面投影面4.2.2 4.2.2 辅助平面法辅助平面法DECP12KBA2PH1 作题步骤：作题步骤：1、 过过AB作作铅垂平面铅垂平面P。2、求、求P平面平面与与CDE的的交线交线。3、求交线、求交线与与AB的交的交点点K。XOa b bacd e edc 12 kk 直线直线ABAB与平面与平面CDECDE相交，判别可见性。相交，判别可见性。( )a b bace edc

8、 d 124 （ ）kk XO3 342 1 以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤步骤：1、 过过EF作作正垂平面正垂平面Q。2、求、求Q平面平面与与ABC的的交线交线。3、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。f e efba acb c k k两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 利用求一利用求一般位置线面交般位置线面交点的方法找出点的方法找出交线上的两个交线上的两个点，将其连线点，将其连线即为两平面的即为两平面的交线。交线。FBCALKED作题步骤作题步骤 1、用直线、用直线与平面求交与平面求交点的方法求点的方法求出两平面的

9、出两平面的两个共有点两个共有点K、L。bacc b a dd eff e PVQV21k kl l2、连接两、连接两个共有点，个共有点，画出交线画出交线KL。X XO O1 2 例例例例7 7 试过试过试过试过K K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面 ABCABC，并与直线，并与直线，并与直线，并与直线EFEF相交相交相交相交 。ac ba cb f e efk kXO分析分析分析分析FPCABEKH 过已知点过已知点K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直线；直线EFEF与平与平面面P P交于交于H H；连接；连接K

10、HKH，KHKH即为所求。即为所求。作图步骤作图步骤m n h hnmff ac ba cb e ek kPV1 12 21、过点、过点K作平作平面面KMN/ ABC平面。平面。2、过直线、过直线EF作正垂平面作正垂平面P。3、求平面、求平面P与与平面平面KMN的交的交线线。4、求交线、求交线 与与EF的交点的交点H。5、连接、连接KH，KH即为所求。即为所求。方法：运用方法：运用“三面共点三面共点”的原理作辅助平面的原理作辅助平面例例2： ABC与两平行直线与两平行直线DF、EG决定的平面相交决定的平面相交SRPQMACKDEBFGXacdebf gabcdefgXacdebf gabcde

11、fgPVQVk1234m1234km4.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直4.3.2 平面与平面垂直平面与平面垂直4.3.1 4.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE 几何条件几何条件：若一直线垂直于一平面，则必若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。垂直于属于该平面的一切直线。 定理定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDC

12、BEHa ad c b dcbe eknk n X XO O 定理定理2（逆）：（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a cac n nkf d b dbfk VPAKLDCBEHX XO O例例例例8 8 平面由平面由平面由平面由 BDFBDF给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点MM作平面的垂线。作平面的垂线。作平面的垂线。作平面的垂线。a cac nn mf d b dbfm 例

13、例9 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。h hh hh h kk SVk kPVk kQH例例例例10 10 平面由两平行线平面由两平行线平面由两平行线平面由两平行线ABAB、CDCD给定，试判断直线给定，试判断直线给定，试判断直线给定，试判断直线MNMN是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。e f em nmn c a ad b cdbfXO4.3.2 4.3.2 4.3.2 4.3.2 两平面垂直两平面垂直两平面垂直两平面垂直 几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都

14、垂直于该平面。条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直AB例例例例12 12 平面由平面由平面由平面由 BDFBDF给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点K K作已知平面的垂面作已知平面的垂面作已知平面的垂面作已知平面的垂面g ha cac h kk f d b dbfgXO例例例例13 13 试判断试判断试判断试判断 A ABCBC与相交两直线与相交两直

15、线与相交两直线与相交两直线KGKG和和和和KHKH所给定的平面是所给定的平面是所给定的平面是所给定的平面是否垂直。否垂直。否垂直。否垂直。g h a chac kk b bgf fd d结论：两平结论：两平面不垂直。面不垂直。XO|zA-zB |ABABbbaaCXO1 1）求直线的实长及对水平投影面的夹角）求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2 2）求直线的实长及对正面投影面的夹角）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|ABbbaaCXO|YA-YB|例

16、题例题 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，求它的水平投影，求它的水平投影。a|zA-zB|ab ab|yA-yB|ABABab|zA-zB|bXabAB 平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。HPNMaB CAB4.4 4.4 平面的最大斜度线平面的最大斜度线最大斜度线的几何意义最大斜度线的几何意义: :用来测定平面对投影面的角度用来测定平面对投影面的角度1. 1. 平面上对水平投影面平面上对水平投影面平面上对水平投影面平面上对水平投影面HH的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线 EFE

17、F AB平行于平行于 H， EF垂直于垂直于 ABPEFBA2. 2. 平面上对正面投影面平面上对正面投影面平面上对正面投影面平面上对正面投影面V V的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线 CDCD AB平行于平行于V， CD垂直于垂直于 ABPBACD3. 3. 平面上对侧面投影面平面上对侧面投影面平面上对侧面投影面平面上对侧面投影面WW的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线的最大斜度线 MNMN AB 平行于平行于W， MN垂直于垂直于ABPBAMNbddee例例例例1:1:1:1:求作求作求作求作 ABC ABC ABC ABC 平面上对水平面的最大斜度线平面上对水平面的最大斜度

18、线平面上对水平面的最大斜度线平面上对水平面的最大斜度线BEBEBEBE 。aa给题例例例例2: 2: 2: 2: 已知直线已知直线已知直线已知直线EFEFEFEF为平面对为平面对为平面对为平面对H H H H面的最大斜度线，试作出该平面。面的最大斜度线，试作出该平面。面的最大斜度线，试作出该平面。面的最大斜度线，试作出该平面。例例例例3 3 3 3BE为最大斜度线，为最大斜度线，求求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角。be BEddeeabcabc例例例例4 : 4 : 试过点试过点试过点试过点N N作一平面，使该平面与作一平面，使该平面与作一平面，使该平面与作一平面，使该平

19、面与V V面的夹角为面的夹角为面的夹角为面的夹角为60 60 ，与，与，与，与H H面的夹面的夹面的夹面的夹角为角为角为角为45 45 。nnXO平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf分析分析分析分析直径任取NM|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnnXO作图过程作图过程作图过程作图过程4.5.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题4.5.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题 平行、相交、及垂直等问题侧重于探求平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方每一个单个问

20、题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。需要多种作图方法才能解决。 求解综合问题主要包括：空间几何元素求解综合问题主要包括：空间几何元素的的定位问题定位问题（交点、交线）和空间几何元素（交点、交线）和空间几何元素的的度量问题度量问题（如距离、角度）。（如距离、角度）。 综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤拟定解题步骤例例例例14 14 已知三条直线已知三条直线已知三条直线已知三条直线CDC

21、D、EFEF和和和和GHGH，求作一直线，求作一直线，求作一直线，求作一直线ABAB与与与与CDCD平行，并且与平行，并且与平行，并且与平行，并且与EFEF、GHGH均相交。均相交。均相交。均相交。4.5.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题c g h e f d cefghdXO分析分析 所求得直线所求得直线AB一定在平行于一定在平行于CD的平的平面上，并且与交叉直线面上，并且与交叉直线EF、GH相交。相交。ABCDHGEF作图过程作图过程k kc g h e f d cefghdXOPV11 2 2aa bb 例例例例15 15 试过定点试过定点试过定点试过定点A A作直线与已知直

22、线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线EFEF正交。正交。正交。正交。a efaf e XO分析分析EQFAK过已知点过已知点A A作平面与已知直线作平面与已知直线EFEF交于点交于点K K，连接连接AKAK，AKAK即为所求。即为所求。作图过程作图过程2 1a efaf e 1 22 PVa efaf e 1 k k21例例16 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。c a b cabXO分析分析PABCK 过过C点作直线点作直线AB的垂线的垂线CK一定在过一定在过C点并且点并且与与AB垂直的平面垂直的平面P内，过内，过C点作一平面与直线点作一平面与直线AB垂垂直，求出该平面

23、与直，求出该平面与AB的交点的交点K，最后求出垂线，最后求出垂线CK的实长即为所求。的实长即为所求。作图过程作图过程c a b cabXOe d ed1 2 12kk 所求距离所求距离例例例例17 17 求交叉直线求交叉直线求交叉直线求交叉直线ABAB和和和和CDCD的公垂线。的公垂线。的公垂线。的公垂线。4.5.2 4.5.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题cc a b abXOdd 分析分析LKABDCGHEFP 过一条直线过一条直线CDCD作平面作平面P P平行于另一条直线平行于另一条直线ABAB，在，在过点过点A A作平面作平面P P的垂线的垂线AHAH，求出垂足点，求出垂足

24、点E E；在平面；在平面P P上过上过点点E E作直线作直线EFEFABAB与直线与直线CDCD交于点交于点K K；过点；过点K K作直线作直线KL KL AHAH交交ABAB于于L L点，点，KLKL即为所求的公垂线。即为所求的公垂线。作图过程作图过程作图过程作图过程ccababXOddgg1122hh3434eef kklfl本章小结本章小结1. 平行问题平行问题 （1 1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2 2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2. 相交问题相交问题

25、 （1 1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 （2 2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。面相交求交线的作图方法。 （ 3 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3. 垂直问题垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。4. 综合问题分析及解法综合问题分析及解法 （1 1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；）熟练掌握点、线、面的基本作图方法； （2 2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。题步骤和方法。个人观点供参考，欢迎讨论