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1、2021/5/211abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出一、问题的提出2021/5/212abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）2021/5/213观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放2021/5/214曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，2021/5/215曲
2、边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为2021/5/216实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值2021/5/217（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值2021/5/218二
3、、定积分的定义二、定积分的定义定义定义2021/5/219被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限Riemann积分和积分和2021/5/2110注意：注意：2021/5/2111对定积分的对定积分的补充规定补充规定:2021/5/2112定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理稍后证明。稍后证明。2021/5/2113注：注：1)1)闭区间上的单调函数，即使有无限多个间断点，仍闭区间上的单调函数，即使有无限多个间断点，仍不失其可积性不失其可积性. .在在0,10,1上可积上可积. .2)2)在有限区间在有限区间a,ba,b上可积
4、的函数必在该区间上有界上可积的函数必在该区间上有界. . 简言之，可积必定有界简言之，可积必定有界. .反之不真反之不真. .例如例如Dirichlet 函数在函数在0，1上不可积上不可积.2021/5/2114曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义2021/5/2115几何意义：几何意义：2021/5/2116解解 (1)如图，如图，例：用定积分的几何意义求下列定积分的值：例：用定积分的几何意义求下列定积分的值：(2)如图，如图，2021/5/2117例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解2021/5/211
5、8注注：积分存在时，求积分值时可等分区间且取特殊点为：积分存在时，求积分值时可等分区间且取特殊点为介点，比如小区间的左右端点、中点；但证明函数的可介点，比如小区间的左右端点、中点；但证明函数的可积时，区间的划分和介点的选取必须是任意的。积时，区间的划分和介点的选取必须是任意的。2021/5/2119例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解2021/5/2120例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解2021/5/21212021/5/2122证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得2021/5/2123极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得2021/5/212
6、4故故注：存在不可积函数，例如注：存在不可积函数，例如Dirichlet 函数函数. 2021/5/2125五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：Riemann和式的极限和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限2021/5/2126思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.2021/5/2127思考题解答思考题解答原式原式2021/5/2128练练 习习 题题2021/5/21292021/5/2130练习题答案练习题答案2021/5/2131
