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1、第二章 平 面 向 量 1 从位移、速度、力到向量问题引航引航1.1.向量及向量的模是如何定义的？怎样表示？向量及向量的模是如何定义的？怎样表示？2.2.什么是零向量、单位向量？什么是零向量、单位向量？3.3.相等向量、共线相等向量、共线( (平行平行) )向量是怎样定义的？向量是怎样定义的？1.1.向量及有向线段的概念向量及有向线段的概念(1)(1)向量的概念：把既有向量的概念：把既有_，又有，又有_的量统称为向量的量统称为向量. .(2)(2)有向线段：如图，这种具有有向线段：如图，这种具有_和和_的线段叫作有向的线段叫作有向线段，记作线段，记作_._.大小大小方向方向方向方向长度长度2.
2、2.向量的表示向量的表示箭箭头头3.3.与向量相关的概念及向量间的关系与向量相关的概念及向量间的关系(1)(1)与向量相关的概念：与向量相关的概念：名称名称 定义定义 表示方法表示方法 向量的模向量的模 向量的大小，即向量的向量的大小，即向量的_ _ | |(| |(或或| |a|) |) 零向量零向量 长度为零的向量长度为零的向量 _或或单位向量单位向量 长度为长度为_的向量的向量 长度长度0单位单位1 1(2)(2)向量间的关系：向量间的关系：相等向量：相等向量： 定义：长度相等且方向相同的向量，记作定义：长度相等且方向相同的向量，记作_ 规定：规定：_且且_的有向线段都表示同一向量的有向
3、线段都表示同一向量向量平行或共线：向量平行或共线： 定义：表示两个向量的有向线段所在的直线定义：表示两个向量的有向线段所在的直线_._. 表示：表示：a与与b平行或共线，记作平行或共线，记作_._. 规定：零向量与任一向量规定：零向量与任一向量_._.a= =b同向同向等长等长平行或重合平行或重合ab平行平行1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)向量就是有向线段，有向线段就是向量向量就是有向线段，有向线段就是向量.( ).( )(2)(2)向量可以比较大小向量可以比较大小.( ).( )(3)(3)单位向量都是相等向量单位向量都是相等向量.
4、( ).( )2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)在质量、加速度、功三个物理量中是向量的是在质量、加速度、功三个物理量中是向量的是_._.(2)(2)与与 模相等，方向相反的向量表示为模相等，方向相反的向量表示为_ _._.(3)(3)点点D D是是ABCABC边边BCBC的中点的中点, ,则向量则向量 与与 的关系是的关系是_ _._.【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .向量与有向线段都有大小、方向，有向线向量与有向线段都有大小、方向，有向线段可以表示向量，但是不能说向量就是有向线段，有向线段就段可以表示向量，但是不能说向量就是
5、有向线段，有向线段就是向量是向量. .(2)(2)错误错误. .向量既有大小，又有方向，因此不能比较大小，但是向量既有大小，又有方向，因此不能比较大小，但是向量的模可以比较大小向量的模可以比较大小. .(3)(3)错误错误. .单位向量的模相等，但是方向不一定相同，不一定是单位向量的模相等，但是方向不一定相同，不一定是相等向量相等向量. .答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)2.(1)2.(1)质量质量, ,功只有大小没有方向功只有大小没有方向, ,不是向量不是向量; ;加速度既有大小，加速度既有大小，又有方向又有方向, ,是向量是向量. .答案答案: :加速度加速度(2)
6、(2)与与 模相等，方向相反的向量表示为模相等，方向相反的向量表示为答案答案: :(3)(3)向量向量 与与 大小相等大小相等, ,方向相同，是相等向量方向相同，是相等向量. .答案答案: :相等相等( (平行或共线平行或共线) )【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 向量的概念向量的概念1.1.向量和有向线段的区别与联系向量和有向线段的区别与联系(1)(1)区别区别: :向量是可以自由移动的向量是可以自由移动的, ,故当用有向线段来表示向量时故当用有向线段来表示向量时, ,有向有向线段的起点是任意的线段的起点是任意的. .有向线段是不能自由移动的有向线段是不能自由移动的, ,有向线段平移后
7、就不是原来的有向线段平移后就不是原来的有向线段了有向线段了. .有向线段仅仅是向量的直观体现有向线段仅仅是向量的直观体现, ,是向量的一种表是向量的一种表现形式现形式, ,不能等同于向量不能等同于向量. .有向线段有平行和共线之分有向线段有平行和共线之分, ,而向量而向量的平行和共线是相同的的平行和共线是相同的, ,是同一个概念是同一个概念. .(2)(2)联系：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度联系：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向. .2.2.关于零向量与单位向量的方向关于零向量与
8、单位向量的方向(1)(1)零向量：零向量的方向是任意的，虽然规定零向量与任意零向量：零向量的方向是任意的，虽然规定零向量与任意向量平行，但一般不能说零向量与某一向量的方向相同或相反，向量平行，但一般不能说零向量与某一向量的方向相同或相反，只能用只能用“任意任意”来描述零向量的方向来描述零向量的方向. .(2)(2)单位向量：长度为单位向量：长度为1 1的向量为单位向量，单位向量的方向不的向量为单位向量，单位向量的方向不确定，但对某一个确定的单位向量来说方向是确定的确定，但对某一个确定的单位向量来说方向是确定的. .【微思考微思考】(1)(1)由平面内的两个点分别作为起点、终点，可以确定几个向由
9、平面内的两个点分别作为起点、终点，可以确定几个向量？量？提示：提示：可以确定两个，如由平面内的两个点可以确定两个，如由平面内的两个点A A，B B可以确定两个可以确定两个向量向量(2)0(2)0与与0的区别是什么？的区别是什么？提示：提示：0 0是数量，只有大小，没有方向；是数量，只有大小，没有方向；0是向量，模是是向量，模是0 0，方，方向是任意的向是任意的. .【即时练即时练】1.1.下列物理量：下列物理量：速度；速度；位移；位移；力；力；密度；密度；路程路程. .其其中不是向量的有中不是向量的有( )( )A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个2.2.判断
10、下列说法正确与否判断下列说法正确与否, ,并说明理由并说明理由. .(1)(1)温度含零上和零下温度，所以温度是向量温度含零上和零下温度，所以温度是向量. .(2)(2)方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. .(3)(3)一个向量的方向不确定当且仅当模为一个向量的方向不确定当且仅当模为0.0.【解析解析】1.1.选选B.B.是数量的有：路程、密度是数量的有：路程、密度. .是向量的有：速度、位移、力是向量的有：速度、位移、力. .2.(1)2.(1)不正确不正确. .虽然温度有零上和零下之分虽然温度有零上和零下之分, ,但这指的不是
11、方向但这指的不是方向, ,故不是向量故不是向量. .(2)(2)错误错误. .向量没有大小之分，与它们的方向无关向量没有大小之分，与它们的方向无关. .(3)(3)正确正确. .只有零向量的方向不定只有零向量的方向不定, ,大小为零大小为零. .知识点知识点2 2 向量间的关系向量间的关系1.1.关于相等向量的关注点关于相等向量的关注点(1)(1)两个向量相等必须满足两个条件：模相等，方向相同，二两个向量相等必须满足两个条件：模相等，方向相同，二者缺一不可者缺一不可. .例如，单位向量不一定是相等向量；例如，单位向量不一定是相等向量；(2)(2)相等向量是平行相等向量是平行( (共线共线) )
12、向量，但是平行向量，但是平行( (共线共线) )向量不一定向量不一定是相等向量是相等向量. .2.2.关于共线、平行向量的两点说明关于共线、平行向量的两点说明(1)(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，但向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中相同或相反，但向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线共线”的含义不同于平面几何中的含义不同于平面几何中“共线共线”的含义的含义. .(2)(2)共线向量和平行向量是一个问题的两种说法，是指向量所共线向量和平行向量是一个问题的两种说法，是指向量所在直线互相平行或重合，所
13、以共线的两个向量可能在两条平行在直线互相平行或重合，所以共线的两个向量可能在两条平行直线上，平行的两个向量也可能在同一条直线上直线上，平行的两个向量也可能在同一条直线上. .故此处的两故此处的两种说法均不正确种说法均不正确. .【知识拓展知识拓展】数学中的向量是自由向量的原因数学中的向量是自由向量的原因根据相等向量的定义来分析根据相等向量的定义来分析, ,两个非零向量只有当它们的模相两个非零向量只有当它们的模相等等, ,同时方向相同时同时方向相同时, ,才能称它们相等才能称它们相等. .任意两个相等的非零向任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示量都可以用同一条有向线段表示, , 并且
14、与有向线段的起点无关并且与有向线段的起点无关, ,所以向量只有大小和方向两个要素所以向量只有大小和方向两个要素, ,是自由向量是自由向量. .【微思考微思考】(1)(1)若两个向量的位置不同，那么这两个向量可能是相等向量若两个向量的位置不同，那么这两个向量可能是相等向量吗？吗？提示：提示：两个向量是否相等主要看两个向量的模是否相等，方向两个向量是否相等主要看两个向量的模是否相等，方向是否相同，与两个向量的位置无关，故这两个向量也可能是相是否相同，与两个向量的位置无关，故这两个向量也可能是相等向量等向量. .(2)(2)向量向量a与与0平行，能不能说平行，能不能说0与向量与向量a的方向相同或相反
15、？的方向相同或相反？提示：提示：不能，对不能，对0的规定是与任意向量平行，方向是任意的的规定是与任意向量平行，方向是任意的. .【即时练即时练】(1)(1)把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是的终点所构成的图形是_._.(2)(2)分别位于两条平行直线上的向量间的关系是分别位于两条平行直线上的向量间的关系是_ _ _ _. .【解析解析】(1)(1)把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点到起点的距离都等于这些向量的终点到起点的距离都等于1 1，所以，由
16、圆的定义得，所以，由圆的定义得，这些向量的终点所构成的图形是半径为这些向量的终点所构成的图形是半径为1 1的圆的圆答案：答案：半径为半径为1 1的圆的圆(2)(2)分别位于两条平行直线上的向量，方向相同或相反分别位于两条平行直线上的向量，方向相同或相反, ,是平行是平行( (共线共线) )关系关系. .答案答案: :平行平行( (共线共线) )【题型示范题型示范】类型一类型一 向量的表示向量的表示【典例典例1 1】(1)(1)如图所示，已知如图所示，已知AD=3AD=3，B B，C C是线段是线段ADAD的两个三等分点，分的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于别以图中各点为起点和
17、终点，长度大于1 1的向量有的向量有_._.(2)(2)如图，以如图，以1 cm3 cm1 cm3 cm方格纸中的格点为起点和终点的所有方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，请写出以向量中，请写出以A A为起点的不同向量？为起点的不同向量？【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)图中长度大于图中长度大于1 1的线段有多少条的线段有多少条? ?2.2.题题(2)(2)中确定不同向量的依据是什么中确定不同向量的依据是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.图中长度大于图中长度大于1 1的线段有的线段有AC,AD,BDAC,AD,BD三条三条. .2.2.长度和方向中只要有一个不同长度和方向中只
18、要有一个不同, ,即为不同向量即为不同向量. .【自主解答自主解答】(1)(1)根据题意可得：模等于根据题意可得：模等于2 2的向量有的向量有模等于模等于3 3的向量有的向量有答案答案：(2)(2)由图可知，以由图可知，以A A为起点的不同向量有为起点的不同向量有【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)中，条件不变，若问题改为中，条件不变，若问题改为“请写出模为请写出模为2 2的向量的向量”，结果如何？，结果如何？【解析解析】模为模为2 2的向量有的向量有【方法技巧方法技巧】向量表示法中的三个注意点向量表示法中的三个注意点(1)(1)书写时不要忘记书写时不要忘记“”“”. .(2)(2)向量向量
19、表示向量的起点为表示向量的起点为A,A,终点为终点为B,B,由由A A指向指向B.B.(3)(3)向量表示时要注意小写字母和大写字母的用法向量表示时要注意小写字母和大写字母的用法, ,不要混合使不要混合使用用. .【变式训练变式训练】在如图的方格纸上，已知向量在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形，每个小正方形的边长为的边长为1.1.(1)(1)试以试以B B为起点画一个向量为起点画一个向量b, ,使使b= =a. .(2)(2)在图中画一个以在图中画一个以A A为起点的向量为起点的向量c, ,使使| |c|= ,|= ,并说出向量并说出向量c的的终点的轨迹是什么终点的轨迹是什么? ?【解
20、析解析】(1)(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，平行，且长度相等，如图中的且长度相等，如图中的b即为所作即为所作. .(2)(2)c向量如图向量如图.(.(答案不唯一答案不唯一) )由平面几何知识可知，所有满足条件的向量由平面几何知识可知，所有满足条件的向量c的终点的轨迹的终点的轨迹是以是以A A为圆心，半径为为圆心，半径为 的圆的圆. .【误区警示误区警示】作图时容易弄错长度的关系作图时容易弄错长度的关系, ,应借助图中的方格应借助图中的方格数确定向量的模数确定向量的模. .【补偿训练补偿训练】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD边
21、长为边长为2 2，O O为其中心，为其中心，则向量则向量| |=_| |=_【解析解析】正方形的对角线长为正方形的对角线长为所以所以答案：答案：类型二类型二 向量的关系及其应用向量的关系及其应用【典例典例2 2】(1)(1)等腰梯形等腰梯形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD交于交于点点P P，点，点E E，F F分别在两腰分别在两腰ADAD，BCBC上，上，EFEF过过点点P P，且，且EFABEFAB，则，则( )( )(2)(2)如图如图,D,D，E E，F F分别是分别是ABCABC各边上各边上的中点，四边形的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，是平行四边形，
22、请分别写出：请分别写出：与与 模相等且共线的向量模相等且共线的向量. .与与 相等的向量相等的向量. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中判断向量是否相等的依据是什么？中判断向量是否相等的依据是什么？2.2.题题(2)(2)中判断向量共线的依据是什么？中判断向量共线的依据是什么？【探究提示探究提示】1.1.判断向量是否相等的依据是两个向量的模是否判断向量是否相等的依据是两个向量的模是否相等，方向是否相同相等，方向是否相同. .2.2.判断向量共线的依据是两个向量的方向是否相同或相反判断向量共线的依据是两个向量的方向是否相同或相反. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.根据
23、相等向量的定义，根据相等向量的定义，分析可得，分析可得，A. A. 与与 方向不同，方向不同，A A错误，错误，B. B. 与与 方向不同，方向不同，B B也错误，也错误，C. C. 与与 方向相反，方向相反，C C也错误，也错误，D. D. 与与 方向相同，且大小都等于线段方向相同，且大小都等于线段EFEF长度的一半，长度的一半，D D正确正确(2)(2)因为因为BCMFBCMF是平行四边形，所以是平行四边形，所以CMBF.CMBF.因为因为D D，E E分别是分别是BCBC，ACAC的中点，所以的中点，所以BFDE.BFDE.又因为又因为F F是是ABAB的中点，所以与向量的中点，所以与向
24、量 模相等且共线的向量模相等且共线的向量有有由由的分析可知，与向量的分析可知，与向量 相等的向量有相等的向量有【延伸探究延伸探究】本例本例(1)(1)中，相等的向量共有多少组？中，相等的向量共有多少组？【解析解析】依据等腰梯形的性质可知依据等腰梯形的性质可知AD=BC,AC=BD,EP=PF,AE=BF,AD=BC,AC=BD,EP=PF,AE=BF,DE=CF,DP=CP,AP=BPDE=CF,DP=CP,AP=BP每一条线段可以表示方向不同的两组相等每一条线段可以表示方向不同的两组相等向量，故共有向量，故共有1414组相等向量组相等向量. .【方法技巧方法技巧】相等向量与共线向量需注意的几
25、个问题相等向量与共线向量需注意的几个问题(1)(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. .(2)(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合合. .(3)(3)平行平行( (共线共线) )向量无传递性向量无传递性( (因为有因为有0).).(4)(4)共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上. .【变式训练
26、变式训练】如图，在正六边形如图，在正六边形ABCDEFABCDEF中，中，点点O O为其中心，则下列判断错误的是为其中心，则下列判断错误的是( )( )【解题指南解题指南】根据正六边形的性质及相等向量的定义可得答案根据正六边形的性质及相等向量的定义可得答案. .【解析解析】选选D.D.由图可知，由图可知， 但但 不共线，故不共线，故 故选故选D D【补偿训练补偿训练】如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BCEBCE为等腰为等腰直角三角形，直角三角形，(1)(1)找出图中与找出图中与 共线的向量共线的向量. .(2)(2)找出图中与找出图中与 相等的向量相等的向量
27、. .(3)(3)找出图中模与找出图中模与| | |相等的向量相等的向量. .(4)(4)找出图中与找出图中与 相等的向量相等的向量. .【解析解析】(1)(1)与与 共线的向量有共线的向量有(2)(2)与与 相等的向量有相等的向量有(3)(3)模与模与| | |相等的向量有相等的向量有(4)(4)与与 相等的向量有相等的向量有【易错误区易错误区】特殊向量在应用中的误区特殊向量在应用中的误区【典例典例】下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是( )( )A.A.若若ab，则，则a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反B.B.若若ab，bc，则，则acC.C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位
28、向量相等若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D.D.若若a= =b，b= =c，则，则a= =c【解析解析】选选D.D.由于零向量的方向是任意的，且规定与任一向量由于零向量的方向是任意的，且规定与任一向量平行，故平行，故取取a= =0，则对于任意向量，则对于任意向量b，都有，都有ab，知，知A A错；错；取取b= =0，则对于任意向量，则对于任意向量a，c都有都有ab，bc，但得不到，但得不到ac，知，知B B错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C C错；由两向错；由两向量相等的概念知量相等的概念知D D正确正确【常见误区常见误区】错解错
29、解错因剖析错因剖析选选A A或选或选B B 忽视了阴影处特殊向量在判断向量关系中的忽视了阴影处特殊向量在判断向量关系中的作用作用【防范措施防范措施】重视特殊向量在解题中的应用重视特殊向量在解题中的应用 特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题过程中特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题过程中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错出错. .如本例中涉及零向量的性质，即零向量与任意向量平行如本例中涉及零向量的性质，即零向量与任意向量平行. .解题时要验证取零向量时是否成立解题时要验证取零向量时是否成立. .【类题试
30、解类题试解】下列四个命题：下列四个命题：若若| |a|=0|=0，则，则a= =0；若若| |a|=|=| |b| |，则，则a= =b；若若a与与b是平行向量是平行向量, ,则则| |a|=|=|b| |；若若a与与b满足满足| |a| | |b| |且且a与与b同向，则同向，则ab其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4【解析解析】选选A.A.因为若因为若| |a|=0|=0，则，则a为零向量，即为零向量，即a= =0，故，故正确；正确；若若| |a|=|=|b| |，则两个向量大小相等，但方向不确定，故，则两个向量大小相等，但方向不确定，故a= =b不一不一定成立，故定成立，故错误；错误；若若a与与b是平行向量，则向量是平行向量，则向量a与与b的方向相同或相反，但大小关的方向相同或相反，但大小关系不确定，故系不确定，故错误；错误；向量不能比较大小，故向量不能比较大小，故错误，错误，故正确命题的个数是故正确命题的个数是1.1.
