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1、第第 3 章章 刚体的转动刚体的转动3.1刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动1 . 刚体刚体2. 刚体的基本运动刚体的基本运动平动和转动平动和转动（1）平动）平动第第i个质点个质点特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。平动时，刚体上所有平动时，刚体上所有点运动都相同。点运动都相同。(2)转动转动 刚体转动时其转轴是可以改变的，刚体转动时其转轴是可以改变的， 瞬时轴瞬时轴 转轴固定不动，则为定轴转动转轴固定不动，则为定轴转动刚体内质点的运动？刚体内质点的运动？任何物体的复杂运动都可看作任何物体的复杂运动都可看作是平动和转动的合成。是平动和转动的合成
2、。3.3.描写刚体转动的物理量描写刚体转动的物理量用用角量表示角量表示角位移，角速度，角加速度角位移，角速度，角加速度（1）角位移）角位移（2）角速度）角速度平均角速度平均角速度瞬时角速度瞬时角速度（3）角加速度）角加速度平均角加速度平均角加速度瞬时角加速度瞬时角加速度角坐标角坐标矢量矢量rad/s定轴转动：定轴转动：参考方向参考方向xyzr4 .4 .角量与线量的关系角量与线量的关系P 点的速率点的速率匀变速转动匀变速转动(为常数为常数)的公式：的公式：定轴转动：定轴转动：刚体上任意点都绕同刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且一轴作圆周运动，且 ， ， 都相同。都相同。考虑矢量性考虑矢量性参
3、考方向参考方向xyzr例例:一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机, 滑轮半径为滑轮半径为0.5m, 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以 匀加速上升。匀加速上升。(1) 滑轮的角加速度；滑轮的角加速度；(2) 开始上升后开始上升后, t=5 秒时滑轮的角速度；秒时滑轮的角速度；(3) 在这在这5秒内滑轮转过的圈数；秒内滑轮转过的圈数；(4) 开始上升后开始上升后,t=1秒时滑轮边缘上一点的加速度秒时滑轮边缘上一点的加速度(不打滑不打滑) 。解解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与轮缘上一点的切向加速度与 物体的加速度相等物体的加速度相等 (2)(3)(4)a
4、r1. 力矩的轴向分量力矩的轴向分量 (力对轴的矩力对轴的矩)（对（对O点）点）（对（对z轴）轴）3.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 0垂直垂直z轴，不考虑轴，不考虑Miz刚体总外力矩刚体总外力矩(对对z轴轴)：xyzOriFiF/F (质点系角动量定理的轴向分量式质点系角动量定理的轴向分量式)xyzOri2. 刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量刚体上任一质量刚体上任一质量 质点处于质点处于P处处质点质点 mi 对对O点的点的角角动量动量J为刚体对为刚体对z 轴的轴的转动惯量转动惯量刚体总的角动量刚体总的角动量不考虑不考虑z方向方向3. 转动定律转动定律矢量式矢量式4. 角动量定理的
5、积分形式角动量定理的积分形式5. 角动量守恒定律角动量守恒定律冲量矩冲量矩角动量增量角动量增量1)、一个刚体、一个刚体:3)、一个刚体系、一个刚体系:滑冰滑冰,跳水跳水,跳舞跳舞M=0为转动平衡状态为转动平衡状态2)、一个物体、一个物体:质心质心:对任一点对任一点:mgfBAC梯子处于平衡态。侧面光滑，梯子长度梯子处于平衡态。侧面光滑，梯子长度l、质量、质量m和和倾角倾角 已知，求支持力。已知，求支持力。合外力为零合外力为零合外力矩为零合外力矩为零m1m2d1d2m3d36. 6. 转动惯量转动惯量(1) 与总质量有关与总质量有关RR木木铁铁(2) m 一定时，一定时， 与质量对轴的分布有关与
6、质量对轴的分布有关(3) 与转轴的位置有关与转轴的位置有关J=m1d12+ m2d22+ m3d32J= m2(d1+d2)2+m3(d1+d3)2如果刚体是连续分布的质点系如果刚体是连续分布的质点系mmOdmxdx例例1计算质量为计算质量为 m , 长为长为 l 的均匀细杆的转动惯量的均匀细杆的转动惯量(1)假定转轴通过杆中心并与杆垂直假定转轴通过杆中心并与杆垂直;(2)假定转轴通过杆的端点与杆垂直。假定转轴通过杆的端点与杆垂直。xOdmxdx解解:转动惯量与转轴位置有关！转动惯量与转轴位置有关！例例2计算质量为计算质量为m, 半径为半径为R的均匀细圆环的转动惯量的均匀细圆环的转动惯量. 轴
7、与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。0Rdmm解解: 如图各质元到轴的垂直距离相等如图各质元到轴的垂直距离相等质量为质量为m, 半径为半径为R的薄壁圆筒对的薄壁圆筒对其轴的转动惯量是其轴的转动惯量是mR2lR0实心圆柱对轴的转动惯量实心圆柱对轴的转动惯量圆盘圆盘J ？ y rix z yi xi mi (2) 平行轴定理平行轴定理:刚体对任一轴的转动惯量刚体对任一轴的转动惯量J,等于对过质心的平行轴等于对过质心的平行轴的转动惯量的转动惯量Jc与刚体质量和二轴间的垂直距离与刚体质量和二轴间的垂直距离d的的平方的乘积之和。平方的乘积之和。 mrd平行轴间距平行轴间距d：质心轴转动
8、惯量质心轴转动惯量 (3)对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理 yx z 圆盘圆盘 R C m计算计算J J的几条规律的几条规律(1)对同一轴，对同一轴，J具有可叠加性具有可叠加性 例例1 已知：已知：R, J, m ，绳质量不计，绳质量不计，求物体下落加速度。求物体下落加速度。 OmR解解(一一)：由角动量定理：由角动量定理：把把 代入上式代入上式解解(二二)：隔离体分析隔离体分析 联立三式解出：联立三式解出：OmRmgTT T =T如滑轮看作如滑轮看作 匀质圆盘，则匀质圆盘，则J=MR2/2Om1RMm2T1 = T2？m1gT1m2gT2T1T2延伸延伸1：下图中分析绳上的力
9、、：下图中分析绳上的力、滑轮角加速度及物体的加速度。滑轮角加速度及物体的加速度。延伸延伸2vo o例例2 2： 已知：均匀直杆已知：均匀直杆( (l, ,M),),一端挂在光滑水平轴上，开始时一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（静止在竖直位置，有一子弹（m，vo o) )在杆端水平射入而在杆端水平射入而不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度( (设作用时间极短设作用时间极短) )解：解：从子弹进入杆中到随杆一起从子弹进入杆中到随杆一起运动，瞬间完成运动，瞬间完成系统（子弹系统（子弹+杆）杆）外力：外力：重力、轴的作用力重力、轴的作用力对轴的力
10、矩为零对轴的力矩为零角动量守恒角动量守恒方向？方向？或或讨论：若子弹以速度讨论：若子弹以速度v穿过杆，穿过杆，方程？若子弹以速度方程？若子弹以速度v被弹回去，被弹回去，方程？方程？例例3：圆盘（：圆盘（R，M），人（），人（m）开始静止，人相对盘边缘）开始静止，人相对盘边缘走一周，求盘相对地转动的角度走一周，求盘相对地转动的角度 解：解： 系统对转轴系统对转轴角动量守恒角动量守恒人人 ，盘，盘 =1. 力矩的功力矩的功设刚体受到几个外力作用设刚体受到几个外力作用3.3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 设刚体设刚体P处受外力处受外力 内力内力 OP,定轴定轴刚体刚体 z （1 1）
11、 若若 M= =恒量恒量 ，刚体转过角，刚体转过角 （2 2）若）若 M为变力矩为变力矩（3 3）一对内力的功？）一对内力的功？一对内力和为零一对内力和为零, 一对内力矩和为零一对内力矩和为零0刚体所有质点的角位移相同刚体所有质点的角位移相同讨论：讨论：2. 2. 转动动能转动动能P P处质点处质点mi的动能：的动能：刚体刚体若干个连续或无数个不连若干个连续或无数个不连续分布的质点组成续分布的质点组成,定轴定轴刚体刚体zOPri3 . 刚体定轴转动中的动能定理刚体定轴转动中的动能定理4 . 力矩的功率力矩的功率质点力学中质点力学中刚体力学中刚体力学中W=J/s5. 5. 定轴转动的功能原理定轴
12、转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：刚体重力势能：刚体重力势能：若若W外外+ W非内非内=0，则则EK +EP =常量。常量。mghc = =Emghpii= = mmgmhii = = 机械机械 能守恒定律能守恒定律ChchimiEp=0W外外+W非内非内=(EK2+EP2) (EK1+EP1)守恒条件守恒条件解：解：受力：重力、轴的作用力受力：重力、轴的作用力例例1一匀质细杆（一匀质细杆（l，m）绕光滑水平轴在竖直面内）绕光滑水平轴在竖直面内 转动转动,初始初始 时在水平位置，静止释放。时在水平位置，静止释放。求求: 1、摆至竖直位置重力所作的功、摆至竖直
13、位置重力所作的功; 2、下落、下落 角角 时的角速度时的角速度; 3、 角时轴端所受的力。角时轴端所受的力。1方法方法1：重力功等：重力功等于重力势能的减量。于重力势能的减量。2、1、0势能势能动能定量、动能定量、功能原理、功能原理、机械能守恒定律机械能守恒定律摆至摆至 角时重力做功角时重力做功A1/2mglsin mg 方法方法2：或者或者mg l/23、 角时轴端所受的力角时轴端所受的力质心运动质心运动mg NtC Nnmg例例2 2如图示已知：如图示已知：M=2m，h=2m, =60o求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0 0=?=?P P转到转到x轴时盘的轴时盘的 =? =? =?=
14、?解：解：碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m +盘系盘系统，冲力远大于重力，故统，冲力远大于重力，故重力对重力对O力矩可忽略，角动力矩可忽略，角动量守恒：量守恒：JMRmRmR= =+ += =122222v=6.3m/sF63m=6.3mg水平水平 对对 m + + M + +地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功， EM 守恒。守恒。P、 x 重合时重合时EP=0 。令令1mgRJJosin + += =12222 = =+ +ghRgR222cossin= =+ +12243RghR.()() = =60oo = = = =MJmgRmRgR222P P转到转到x轴时盘的轴时盘的
15、 =? =? =?=?xP刚体转动由质心轴确定，刚体转动满足转动定律。刚体转动由质心轴确定，刚体转动满足转动定律。3.4 刚体的复合运动刚体的复合运动1、刚体的质心运动、刚体的质心运动2、刚体绕质心转动、刚体绕质心转动3、刚体的一般运动、刚体的一般运动刚体的位置由质心确定，质心运动满足牛顿定律。刚体的位置由质心确定，质心运动满足牛顿定律。刚体机械能：刚体机械能：柯尼希定理柯尼希定理绕质心的转动与质心运动的叠加绕质心的转动与质心运动的叠加质点系的内动能质点系的内动能刚体动能：刚体动能：刚体势能：刚体势能：例例1：在光滑的水平桌面上有一静止的匀质细棒，：在光滑的水平桌面上有一静止的匀质细棒，现在棒
16、的一端施一垂直于棒的水平力现在棒的一端施一垂直于棒的水平力 。解：解：由质心运动定律：由质心运动定律：求：求：棒的质心加速度。棒的质心加速度。棒上何处加速度为零。棒上何处加速度为零。由由刚体体转动定律：转动定律：设距质心右侧设距质心右侧 x 处处在运动开始的瞬间加速度为零。在运动开始的瞬间加速度为零。30因摩擦力不做功，可用机械能守恒定律。因摩擦力不做功，可用机械能守恒定律。例例2：一个质量为：一个质量为 m 、半径为、半径为R 的球壳在长为的球壳在长为L 的斜面的顶端由静止无滑动地下滚。的斜面的顶端由静止无滑动地下滚。 解：解：以质心为转轴，列方程：以质心为转轴，列方程： 求：求：下滚加速度
17、下滚加速度落底速度。落底速度。或以接触点为轴或以接触点为轴例例3：台球被球杆水平撞击中心后获得初速度：台球被球杆水平撞击中心后获得初速度 ，已知该台球质量为已知该台球质量为m，半径为，半径为R，摩擦系数为，摩擦系数为 。试求：台球在桌面上停止滑动前的滑动距离。试求：台球在桌面上停止滑动前的滑动距离。 解：解：根据质心平动：根据质心平动：根据刚体转动：根据刚体转动：速度相等停滑：速度相等停滑：3.5 回转仪的进动回转仪的进动1、 回转仪的进动回转仪的进动俯视图大小大小:考虑矢量的正交性考虑矢量的正交性 :水平旋转水平旋转(进动进动)的角速度的角速度2、陀螺运动、陀螺运动mgo角动量的增量角动量的
18、增量vvvvMdLdt= =dLMdtMvvvvvv= =vvvvvvvv当当时，时，MLd LL 只改变只改变 方向不改变其大小方向不改变其大小LsinvvdLLd= =sin Q Qddt= = Q Q令令 则则MdLdtLddt= = =vvsin Q QL= =sin 即：即： ，当当时，时， = = = =90 MJ 。= = = MLMJsinsin 1转动定律转动定律角动量守恒定律角动量守恒定律转动惯量转动惯量刚体的角动量刚体的角动量J 刚刚体体总总结结力矩的功力矩的功 和刚体的动能和刚体的动能机械能守恒定律机械能守恒定律W外外+ W非内非内=0刚体的重力势能按质心计算刚体的重力
19、势能按质心计算飞轮的转动惯量为飞轮的转动惯量为J，t=0时角速度时角速度0，制动过程中阻力矩制动过程中阻力矩M的的大小与角速度大小与角速度的平方成正比，比例系数的平方成正比，比例系数K K0 0。当当0/3时，时，飞轮角加速度飞轮角加速度？从开始制动至从开始制动至0/3所经过的时间所经过的时间t=?MJ MK2K2/J转台转台(R=3m)可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴摩可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴摩擦不计，初始静止。当小孩相对转台以擦不计，初始静止。当小孩相对转台以1m/s的速率沿转台边的速率沿转台边缘行走时，转台角速度？缘行走时，转台角速度？角动量守恒角动量守恒rmv +J2 2=0rm(1r2)+J22=0或或rmvJ2 2rm(1r2)J22
