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1、1111. .1 1分类加法计数原理与分步分类加法计数原理与分步乘法计数原理乘法计数原理知识梳理考点自测1.两个计数原理n类不同的方案 n个步骤 2知识梳理考点自测2.两个计数原理的区别与联系3知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.()(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(5)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都
2、有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种不同的方法.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)4知识梳理考点自测234152.已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从集合M,N中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在平面直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A.18 B.14C.16 D.10 答案解析解析关闭从M中取一个数作横坐标,从N中取一个数作纵坐标,可得22+12=6(个);从N中取一个数作为横坐标,从M中取一个数作为纵坐标,可得22+22=8(个),共有6+8=14(个). 答案解析关闭B5知识梳理考点自测
3、234153.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18C.12 D.9 答案解析解析关闭由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B. 答案解析关闭B6知识梳理考点自测234154.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,演出开始前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为()A.42 B.30C.20 D.12 答案解析解析关闭在已排好的5个节目产生
4、的6个空当中,第一个节目有6种插法,在6个节目产生的7个空当中,第二个节目有7种插法,共67=42种不同的插法. 答案解析关闭A7知识梳理考点自测234155.已知一个乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,从中选取男、女队员各一名组成混合双打,共有种不同的选法. 答案解析解析关闭先选男队员,有5种选法,再选女队员,有4种选法,由分步乘法计数原理知共有54=20种不同的选法. 答案解析关闭208考点1考点2考点3例1(1)(2017河南郑州质检)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14 B.13C.12 D.9(2)已知椭圆 的
5、焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭9考点1考点2考点3思考使用分类加法计数原理应遵循的原则是什么?解题心得解题心得使用分类加法计数原理应遵循的原则:分类的标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.10考点1考点2考点3对点训练对点训练1把甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方案共有()A.20种B.30种C.40种D.60种 答案解析
6、解析关闭 答案解析关闭11考点1考点2考点3例2(1)(2017江西上饶模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数,其中偶数的个数是()A.24 B.30C.40 D.60(2)(2017福建泉州模拟)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有种.(用数字作答) 答案解析解析关闭(1)由题意知,三位数的个位数字为2或4,有2种情况,在剩下的4个数字中任取一个数字放在百位有4种选择,最后十位有3种选择,由分步乘法计数原理知共有偶数243=24(个).故选A.(2)从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方
7、法,D有4种涂色方法.由分步乘法计数原理可知,共有6544=480种涂色方法. 答案解析关闭 (1)A(2)48012考点1考点2考点3思考应用分步乘法计数原理解决问题时,如何分步?对分步有何要求?解题心得解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.13考点1考点2考点3对点训练对点训练2从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有种. 答案解
8、析解析关闭分步完成此事,第一步,选1人去巴黎,有4种方法;第二步,选1人去伦敦,有5种方法;第三步,选1人去悉尼,有4种方法;第四步,选1人去莫斯科,有3种方法,由分步乘法计数原理可知,共有4543=240种不同的选择方案. 答案解析关闭24014考点1考点2考点3例3(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司,另3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司,则不同的分配方案有()A.36种B.38种C.108种D.114种(2)(2017四川成都二诊)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求
9、每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有.(用数字作答)答案: (1)A(2)96 15考点1考点2考点3解析: (1)由题意可知,有2种分配方案:分给甲公司2名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选1人,有3种可能,共有323=18种分配方案.分给甲公司1名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选2人,有3种可能,共有323=18种分配方案.由分类加法计数原理,可知不同的分配方案共有18+18=36(种),故选A.(2)按区域1与3是否同色分类:区域1与3同色;先涂区域1与3,有4
10、种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色),有 种方法.所以区域1与3同色,共有4 =24种涂色方法.区域1与3不同色:第一步,涂区域1与3,有 种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法.所以共有 213=72种涂色方法,故由分类加法计数原理,知不同的涂色方法有24+72=96(种).16考点1考点2考点3思考应用两个计数原理解决计数问题时的一般思路是怎样的?解题心得解题心得在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又要用到分类加法计数原理.1
11、7考点1考点2考点3对点训练对点训练3(1)从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为.(2)(2017河北石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为.(用数字作答)(3)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.答案: (1)17(2)8(3)260 18考点1考点2考点3解析: (1)分两类:当取1时,1只能为真数,此时对数值为0;不取1时,分两步:取底
12、数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的取法.其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,所以不同的对数值的个数为1+54-4=17.(2)第1步,把甲、乙分到不同班级,有 =2种分法;第2步,分丙、丁:丙、丁分到同一班级,有2种分法;丙、丁分到不同班级,有 =2种分法.由分步乘法计数原理,知不同的分法为2(2+2)=8(种).(3)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.所以共有544+5433=260种不同的涂色方法.19考点1考点2考点31.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础,并贯穿其始终.2.解决计数问题的基本方法:列举法、两个计数原理.3.选择两个原理解题的关键是:根据题目,弄清完成一件事的要求,只有这样才能正确区分“分类”和“分步”.4.对于复杂问题,一般是先分类再分步.1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.20
