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1、11-6 11-6 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动 在实际工程中，很多问题都是简化为多自由度体系来计算。多在实际工程中，很多问题都是简化为多自由度体系来计算。多自由度体系在强迫振动时的动力反应与体系的动力特性自由度体系在强迫振动时的动力反应与体系的动力特性( (自振频自振频率、主振型等率、主振型等) )有密切关系。有密切关系。分析多自由度体系自由振动的目的分析多自由度体系自由振动的目的是确定体系的自振频率和相应的主振型。是确定体系的自振频率和相应的主振型。 在单自由度体系自由振动的分析中已经看到，阻尼对自振频率在单自由度体系自由振动的分析中已经看到，阻尼对自振频率的影响很小，
2、在多自由度体系中也是如此。另外，在分析多自的影响很小，在多自由度体系中也是如此。另外，在分析多自由度体系强迫振动的动力反应时，常要用到不考虑阻尼情况下由度体系强迫振动的动力反应时，常要用到不考虑阻尼情况下体系的主振型。所以在分析多自由度体系的自由振动时，体系的主振型。所以在分析多自由度体系的自由振动时，不考不考虑阻尼的影响。虑阻尼的影响。 本节先讨论两个自由度体系，下节再推广到本节先讨论两个自由度体系，下节再推广到n个自由度体系。个自由度体系。与单自由度体系一样，两个自由度体系建立运动方程也有柔度与单自由度体系一样，两个自由度体系建立运动方程也有柔度法和刚度法，分别讨论如下。法和刚度法，分别讨
3、论如下。 1一、柔度法一、柔度法 1.运动方程的建立运动方程的建立2按动静法，将惯性力按动静法，将惯性力 和和 分别作用在质点分别作用在质点m1 1和和m2 2上上( (图图11-11-34b)34b)，则质点位移，则质点位移y1 1( (t) )、y2 2( (t) )应等于这两个惯性力共同作用所产生的静应等于这两个惯性力共同作用所产生的静力位移。根据叠加原理可得力位移。根据叠加原理可得 或或式中式中 ，的物理意义如图，的物理意义如图11-34c11-34c、d d所示，它们是结构的所示，它们是结构的柔度系数。根据位移互等定理，柔度系数。根据位移互等定理， .32.频率和振型的计算频率和振型
4、的计算注意到单自由度体系的自由振动为简谐振动，假定微分方程组的特解为两个注意到单自由度体系的自由振动为简谐振动，假定微分方程组的特解为两个质点作同频率、同相位的简谐振动，质点作同频率、同相位的简谐振动，即即 二阶导数为二阶导数为将上面式子代入运动方程，消去公因子将上面式子代入运动方程，消去公因子sin(t+ )，经整理后得，经整理后得 4右式是以质点振幅右式是以质点振幅A1和和A2为未知量的齐次线性为未知量的齐次线性代数方程组。其中零解对应于无振动的情况，代数方程组。其中零解对应于无振动的情况，不是所要求的解答。为使方程组具有非零解，不是所要求的解答。为使方程组具有非零解，则其系数行列式必须等
5、于零，即则其系数行列式必须等于零，即 上式称为频率方程，用它可求出体系的自振频率上式称为频率方程，用它可求出体系的自振频率。 令令 = ，并将上式展开得，并将上式展开得 由此可解出由此可解出 的两个正实根的两个正实根 (大值大值)和和 (小值小值)如下：如下： 5于是求得频率的两个值为于是求得频率的两个值为 两个自由度体系有两个自振频率，其中较小的一个用两个自由度体系有两个自振频率，其中较小的一个用1表示，称为第一频率或表示，称为第一频率或基本频率；另一个用基本频率；另一个用2表示，称为第二频率。相应的两个自振周期分别为表示，称为第二频率。相应的两个自振周期分别为: : 将将1、2分别代入下式
6、可求相应的分别代入下式可求相应的A A1 1和和A A2 26当当=1或或 =2使使方方程程组组(11-46)的的系系数数行行列列式式等等于于零零，因因此此它它的的两两个个方方程程不不是独立的，只能由其中的任一方程求出是独立的，只能由其中的任一方程求出A1与与A2的比值。的比值。当当=1时时, ,此时此时A1用用 表示，表示，A2 用用 表示，则由式表示，则由式(11-46)的第一式得的第一式得 相应地，得到质点位移相应地，得到质点位移y1(t)、y2(t)的一个特解的一个特解 由此可知由此可知 。它表明：在自由振动过程中，两质点位。它表明：在自由振动过程中，两质点位移的比值保持为常数移的比值
7、保持为常数 ，也就是说在，也就是说在任何时刻体系的振动都保持同一形任何时刻体系的振动都保持同一形状。这种相对位移保持不变的振动形式称为主振型，简称振型。状。这种相对位移保持不变的振动形式称为主振型，简称振型。 7同理，对于同理，对于 的情况，有的情况，有 当体系按当体系按 振动时，质点位移振动时，质点位移y1(t)与与y2(t)之比为之比为1: ，称为，称为第一振型或基本第一振型或基本振型振型。当体系按。当体系按 振动时，质点位移振动时，质点位移y1(t)与与y2(t)之比为之比为1: ，称为，称为第二振第二振型型。当多自由度体系按某个主振型作自由振动时，由于振动形式不变，只需。当多自由度体系
8、按某个主振型作自由振动时，由于振动形式不变，只需一个几何坐标即能确定全部质点的位置，因此它一个几何坐标即能确定全部质点的位置，因此它实际上如同一个单自由度体实际上如同一个单自由度体系那样在振动。系那样在振动。 8要使体系按其某一主振型作简谐自由振动，只有在特定的初始要使体系按其某一主振型作简谐自由振动，只有在特定的初始条件下才能出现。例如，对应于第一振型，应有条件下才能出现。例如，对应于第一振型，应有 这表明只有当质点这表明只有当质点2的初位移和初速度均分别为质点的初位移和初速度均分别为质点1的初位移和初速度的的初位移和初速度的 倍倍时，体系才会按第一振型作自由振动。这种在特定初始条件下出现的
9、运动形式在时，体系才会按第一振型作自由振动。这种在特定初始条件下出现的运动形式在数学上称为微分方程组的特解。数学上称为微分方程组的特解。 3.运动方程的通解运动方程的通解将两个特解进行线性组合就得到通解：将两个特解进行线性组合就得到通解： 9式中有四个独立的待定常数，它们可由四个初始条件来确定。所式中有四个独立的待定常数，它们可由四个初始条件来确定。所以，给定任意四个初始条件后，即可完全确定体系的自由振动。以，给定任意四个初始条件后，即可完全确定体系的自由振动。由上式可知，在一般初始条件下，质点的位移是由具有不同频率由上式可知，在一般初始条件下，质点的位移是由具有不同频率的简谐振动叠加而成的，
10、它的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐振动不再是简谐振动。不同质点的位移的。不同质点的位移的比值也不再是常数，而是随时间变化。比值也不再是常数，而是随时间变化。 需要指出，需要指出，体系能否按某个主振型作自由振动由初始条件决定体系能否按某个主振型作自由振动由初始条件决定，但由式但由式(11-47)(11-50)可以看出，可以看出，体系的自振频率和主振型则完全体系的自振频率和主振型则完全取决于体系的质量和柔度系数，而与初始条件无关。取决于体系的质量和柔度系数，而与初始条件无关。 10例例11-9 试求图试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 11解：解：(
11、1)求柔度系数求柔度系数体系有两个自由度。作体系有两个自由度。作 图，如图图，如图b、c所示。由图乘法求得柔度系数所示。由图乘法求得柔度系数12(2)求自振频率求自振频率将柔度系数及将柔度系数及m1=m2=m代入式代入式(11-48)求得求得 于是得到两个自振频率于是得到两个自振频率 13(3)求主振型求主振型由式由式(11-49)求得第一振型为求得第一振型为 由式由式(11-50)求得第二振型为求得第二振型为 这表明体系按第一频率振动时，两质点保持同向且相等的位移，其振型是对这表明体系按第一频率振动时，两质点保持同向且相等的位移，其振型是对称的称的 ;按第二频率振动时，两质点的位移是等值而反
12、向的，振型为反对称形按第二频率振动时，两质点的位移是等值而反向的，振型为反对称形状状 14由此例可以看出，由此例可以看出，若结构本身及质量分布都是对称的，则其主振型不是对称的若结构本身及质量分布都是对称的，则其主振型不是对称的便是反对称的便是反对称的。因此，在求自振频率和振型时，可以分别就对称和反对称两种。因此，在求自振频率和振型时，可以分别就对称和反对称两种情况取情况取半结构半结构来进行计算。例如图来进行计算。例如图11-36a所示的对称刚架，质量分布也是对称的。所示的对称刚架，质量分布也是对称的。其一个主振型必是对称的，另一个主振型必是反对称的其一个主振型必是对称的，另一个主振型必是反对称
13、的(图图11-36b、c)。分别取。分别取半结构半结构(图图11-36d、e)，从而变成两个单自由度体系来求自振频率。，从而变成两个单自由度体系来求自振频率。 15例例11-10 试求图试求图11-37a所示刚架的自振频率和主振型。所示刚架的自振频率和主振型。EI=常数。常数。 解：这是两个自由度体系。设质点解：这是两个自由度体系。设质点的水平位移为的水平位移为y1(t)，向右为正；质，向右为正；质点的竖向位移为点的竖向位移为y2(t)，向下为正。，向下为正。则沿则沿y1(t)方向的质量方向的质量m1=2m，沿，沿y2 2(t)方向的质量方向的质量m2=m (1)求柔度系数求柔度系数 作作 图
14、，如图图，如图11-37b、c所示。由图乘法，可得所示。由图乘法，可得 16(2)(2)求自振频率求自振频率 将柔度系数及将柔度系数及m m1 1=2=2m m、m m2 2= =m m代入式代入式(11-48)(11-48)求得求得 两个自振频率为两个自振频率为 (3)求主振型求主振型由式由式(11-49)求得第一振型为求得第一振型为 17由式由式(11-50)求得第二振型为求得第二振型为 两个主振型的形两个主振型的形状如图状如图11-37d、e所示所示 18二二. . 刚度法刚度法1.1.运动方程的建立运动方程的建立刚度法是列动力平衡方程来建立运动刚度法是列动力平衡方程来建立运动方程，列动
15、力平衡方程时，可以取质方程，列动力平衡方程时，可以取质点为隔离体用平衡条件建立运动方程，点为隔离体用平衡条件建立运动方程，也可以不将质点分离，而按第八章位也可以不将质点分离，而按第八章位移法的步骤来处理。即先在移法的步骤来处理。即先在m m1 1、m m2 2处处沿位移方向加入附加链杆阻止质点的沿位移方向加入附加链杆阻止质点的位移位移( (图图11-38b)11-38b)，然后施加质点的惯，然后施加质点的惯性力性力 ，这时两链杆，这时两链杆的反力分别为的反力分别为 ；其次，；其次，令两链杆发生与两质点实际位置相同令两链杆发生与两质点实际位置相同的位移的位移y y1 1( (t t) )、y y
16、2 2( (t t)()(图图11-38c)11-38c)，此，此时两链杆上所需施加的力为时两链杆上所需施加的力为S S1 1( (t t) )、S S2 2( (t t) )： 式中式中k11、k21、k12、k22的物理意的物理意义如图义如图11-38d、e所示，它们是所示，它们是结结构的刚度系数构的刚度系数。 19图图11-38b、c两种情况的叠加，使两种情况的叠加，使体系恢复到图体系恢复到图11-38a的实际运动的实际运动位置而处于瞬时平衡，附加链杆位置而处于瞬时平衡，附加链杆上的总反力应等于零上的总反力应等于零(本来没有本来没有附加链杆附加链杆)。即。即 将将 代入上式得两个自由代入
17、上式得两个自由度体系自由振动的运动方程为度体系自由振动的运动方程为20仍设其特解为以下形式：仍设其特解为以下形式： 将上式代入运动方程式，消去公因子将上式代入运动方程式，消去公因子sin( t+ )后，经整理得后，经整理得 上式是以质点振幅上式是以质点振幅A1、A2为未知量的齐次线性代数方程组，称为振型方程。有为未知量的齐次线性代数方程组，称为振型方程。有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零，即非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零，即 上式可用来确定频率值，称为频率方程。将其展开得上式可用来确定频率值，称为频率方程。将其展开得 21由此解得由此解得 的两个根为的两个根为 由式由式(
18、11-53)的第一式可求得两个主振型为的第一式可求得两个主振型为 22例例11-11 试求图试求图a所示体所示体系的自振频率和主振型。系的自振频率和主振型。已知梁的已知梁的EI=常数，质点常数，质点m1=m，m2=2m，弹，弹簧的刚度系数簧的刚度系数 。 解：设质点解：设质点m1、m2的竖向的竖向位移分别为位移分别为y1 1(t)、y2 2(t),向下向下为正为正 (1)求刚度系数求刚度系数 分别令质点分别令质点m1、m2沿振动正沿振动正方向发生单位位移，作方向发生单位位移，作 图图 如图如图b、c所示。取质点为隔离所示。取质点为隔离体，利用平衡条件求得刚度系体，利用平衡条件求得刚度系数：数：
19、 23 k12=k21=- -k (2)求自振频率求自振频率 将刚度系数及将刚度系数及m1=m、m2=2m代入式代入式(11-55)，求得，求得 两个自振频率两个自振频率 (3)求主振型求主振型 由式由式(11-56)求得两个主振型为求得两个主振型为 24作振型图如图作振型图如图11-39d、e所示所示 :2511-7 11-7 一般多自由度体系的自由振动一般多自由度体系的自由振动 本节讨论本节讨论n个自由度体系的自由振动，并采用矩阵表示形式。个自由度体系的自由振动，并采用矩阵表示形式。一、柔度法一、柔度法 1.运动方程的建立运动方程的建立的图的图11-40a所示为所示为n个自由度体系，在个自
20、由度体系，在自由振动的任一时刻自由振动的任一时刻t，质点，质点mi的位移的位移为为yi(t)，此位移可看作是由各质点的，此位移可看作是由各质点的惯性力惯性力 共同共同作用产生的静力位移。采用图作用产生的静力位移。采用图11-40b所示的柔度系数，仿照两个自由度体所示的柔度系数，仿照两个自由度体系的情形，可写出系的情形，可写出n个自由度体系自个自由度体系自由振动由振动n个位移方程个位移方程 26上式用矩阵形式表示如下上式用矩阵形式表示如下 上式可简写为上式可简写为 式中，式中， 和和M分别是柔度矩阵和质量矩阵：分别是柔度矩阵和质量矩阵： 27由位移互等定理，由位移互等定理， ，故，故 是对称矩阵
21、。对于质点体系，是对称矩阵。对于质点体系，M是是对角矩阵。对角矩阵。 2.频率和振型的计算频率和振型的计算设其特解为设其特解为 yi(t)=Aisin( t+ ) (i=1,2,n) 即各质点的振动频率和相位相同。上式写成矩阵形式即各质点的振动频率和相位相同。上式写成矩阵形式 式中式中 为振幅列阵，即为振幅列阵，即 28将特解代入运动方程将特解代入运动方程,并令并令 得得上式称为上式称为振型方程振型方程，它是位移幅值的齐次线性代数方程组，欲使具有非零解，它是位移幅值的齐次线性代数方程组，欲使具有非零解，则方程组的系数行列式必须等于零，即则方程组的系数行列式必须等于零，即 =0上上式式就是就是n
22、个自由度体系的频率方程个自由度体系的频率方程，其展开形式如下：，其展开形式如下： 29由此得到关于由此得到关于的的n次代数方程，可解出次代数方程，可解出n个根个根 。因此，可求。因此，可求出出n个频率个频率 ，它们按数值由小到大依次排列，分别称为第一、，它们按数值由小到大依次排列，分别称为第一、第二、第二、第、第n频率，总称为频率谱。频率，总称为频率谱。 为了求得主振型，将所求得的为了求得主振型，将所求得的k(k=1,2,n)代入振型方程，即得代入振型方程，即得 (K=1,2,n)由于上式的系数行列式等于零，故其由于上式的系数行列式等于零，故其n个方程中只有个方程中只有(n- -1)个是独立的
23、，不能个是独立的，不能求得求得 的确定值，但可求出各质点振幅间的相对比值。通常令的确定值，但可求出各质点振幅间的相对比值。通常令 中的一个元素为中的一个元素为1，其余的元素则可从上式中的，其余的元素则可从上式中的(n- -1)个方程解得。这样就确定个方程解得。这样就确定了主振型。上式中的了主振型。上式中的 30称为称为振型列阵振型列阵。将所求得的各振型列阵对应于频率依次排列。将所求得的各振型列阵对应于频率依次排列 ，称为第一、第二、称为第一、第二、第、第n振型。振型。 3.方程的通解方程的通解n个自由度体系有个自由度体系有n个自振频率和相应的个自振频率和相应的n个主振型，它们都是振动微分方个主振型，它们都是振动微分方程的特解。这些特解的线性组合，就构成振动微分方程的通解：程的特解。这些特解的线性组合，就构成振动微分方程的通解： (i=1,2,n) 31
