线性变换的定义与性质

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1、一、线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质二、线性变换的简单性质7.1 线性变换的定义线性变换的定义引入引入在在讨论线性空性空间的同构的同构时，我，我们考考虑的是一种的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我我们常称常称线性变换线性变换.映射映射. 本节要讨论的是在线性空间本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射上的线性映射两两线性空性空间之之间保持加法和数量乘法的映射保持加法和数量乘法的映射为线性线性一、一、 线性变换的定义线性变换的定义 设V为数域数域P上的上的线性空性空间，满足：满足：则称为线性空间则称为线性空间V上的上的线性变换线性变

2、换.若变换若变换注：注：几个特殊线性变换几个特殊线性变换 由数由数k决定的决定的数乘变换：数乘变换： 事实上，事实上， 单位变换单位变换( (恒等变换恒等变换) )：零变换：零变换：例例1. (实数域上二数域上二维向量空向量空间)，把，把V中每中每一向量绕坐标原点旋转角，一向量绕坐标原点旋转角，表示，即表示，即用用这里，这里， 易验证：易验证： 就是一个就是一个线性变换线性变换，例例2上的求微商上的求微商用用D表示，即表示，即 例例3. 闭区区间 上的全体上的全体连续函数构成的函数构成的线性空性空间 是一个是一个线性变换线性变换. 上的变换上的变换是一个是一个 线性变换线性变换，例例4 为一固

3、定非零向量，一固定非零向量，一个向量一个向量变成它在上的内射影是成它在上的内射影是V上的一个上的一个线性性变换. 用用 表示，即表示，即这里表示内里表示内积.易验证：易验证： 把把V中每中每1 为V的的线性性变换，则 2线性变换保持线性组合及关系式不变，即线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若若 则则 3线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关二、二、 线性变换的简单性质线性变换的简单性质 的向量组的向量组. 即即若若 线性相关，线性相关，也线性相关也线性相关.事实上，若有不全为零的数使事实上，若有不全为零的数使则由则由2即有，即有， 线性相关的向量组线性相关的向量组. 如零变换如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意：注意：3的逆不成立，的逆不成立，线性相关，线性相关，即即未必线性相关未必线性相关.则则练习：练习：下列变换中，哪些是线性变换？下列变换中，哪些是线性变换？3在在线性空间线性空间V中，中，非零固定非零固定.4在中，在中，固定固定.2在在 中，中，1在在 中，中，5复数域复数域C看成是自身上的线性空间，看成是自身上的线性空间，6C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间，上的线性空间，