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1、第六类函数与导数问题重在第六类函数与导数问题重在“分分”分离、分解分离、分解以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.【例6】 (2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)22.(1)解f(x)的定义域为(0,),设g(x)axaln x,则f(x)xg(x),
2、(分离)f(x)0等价于g(x)0,因为g(1)0,g(x)0,故g(1)0,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增,所以x1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)0.综上,a1.(2)证明由(1)知f(x)x2xxln x,f(x)2x2ln x,设h(x)2x2ln x,(分解)因为f(x)h(x),所以xx0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)0得ln x02(x01),故f(x0)x0(1x0).因为xx0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e1(0,1),f(e1)0得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)22.探究提高1.(1)分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.(2)分解:构造h(x)2x2ln x.2.破解策略:函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以把参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步;注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.【训练6】 (2018石家庄调研)已知函数f(x)(2xb)ex,F(x)bxln x,bR.(1)若bb对任意x(0,)恒成立,求实数b的取值范围.解(1)f(x)ex(2xb2),b0,F(x)b得ln(x1)bx0.g(x)在(0,)上递减,g(x)g(0)0.因此实数b的取值范围是1,).