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1、二、古巴比伦的数学二、古巴比伦的数学两河流域两河流域 Tigris R and Euphrates R巴比伦文明巴比伦文明 也称为也称为“美索不达米亚美索不达米亚Mesopotamia数学数学”，早在，早在-4000年，苏美尔人年，苏美尔人Sumerian就在这就在这里建立起了城邦国家，并创造了文字。里建立起了城邦国家，并创造了文字。-1900年，形成了奴隶制的巴比伦王国（现年，形成了奴隶制的巴比伦王国（现伊拉克伊拉克Iraq一带），历时一带），历时1500年。年。古巴比伦人和古埃及人一样，他们也没有古巴比伦人和古埃及人一样，他们也没有建成一门系统的科学。建成一门系统的科学。书写材料书写材料泥
2、板泥板Tablets用断面呈三角形的用断面呈三角形的笔泥板上刻出楔形笔泥板上刻出楔形的痕迹的痕迹楔形文字楔形文字Cuneiform.已发掘已发掘的的50万块泥板中万块泥板中, ,有有400块是数学泥板块是数学泥板. .1 1、古巴比伦的计数法、古巴比伦的计数法Sccale和六十进位制：和六十进位制：（1 1）计数法：用二种基本形状表示所有的数）计数法：用二种基本形状表示所有的数 1 10古巴比伦计数表古巴比伦计数表25（2 2）巴比伦数学的特点）巴比伦数学的特点60进位制进位制60 system在在1854年发现的两块泥板中有一列数：年发现的两块泥板中有一列数：1,4,9,16,25,36,4
3、9,14,121,.,581这个问题只有在这个问题只有在60进位计数中才能得到妥善的进位计数中才能得到妥善的解释解释. .因为当时尚未引入零以及小数点，所以这种计因为当时尚未引入零以及小数点，所以这种计数法存在许多不确切之处。数法存在许多不确切之处。 如何表示零？如何表示零？用留空位的方法。用留空位的方法。 （3）分数分数以常数以常数 为分母为分母. .但但无分数的记号无分数的记号, ,与表示整数的记号混合使用与表示整数的记号混合使用. .（4）为何采用为何采用60进位制进位制： 60是许多简单数字如是许多简单数字如2，3，4，5，6，10，12.的公倍数的公倍数； 60使一些较小的单位如使一
4、些较小的单位如1/2，1/3，2/3，1/10.在转化为较大单位时成为整数在转化为较大单位时成为整数； 60=125，12是是12个月个月，而而5是一只手的手是一只手的手指数指数.2 2、古巴比伦的、古巴比伦的算术算术arithmetic运算运算：（1 1）加法无专门记号，减法）加法无专门记号，减法 （2 2）乘法记号）乘法记号 365=305+65365=305+65乘法分配律的萌芽乘法分配律的萌芽-2000-2000年，已有从年，已有从1111到到60606060的乘法表的乘法表（3 3）除法）除法与倒数相乘，于是要使用分数与倒数相乘，于是要使用分数在古巴比伦人遗留下来的在古巴比伦人遗留下
5、来的200200多块数学泥板多块数学泥板中有许多数表（主要有倒数表，乘法表，中有许多数表（主要有倒数表，乘法表，平方表，立方表，平方根等表），内容是平方表，立方表，平方根等表），内容是把把 形式的数化为有限位的形式的数化为有限位的6060进制进制“小数小数”. . 如如 对不能写成有限位对不能写成有限位“小数小数”的数如的数如 等，用近似值表示。等，用近似值表示。 程序化算法程序化算法procedure arithmetic的熟练技巧的熟练技巧开平方根计算开平方根计算 设设 是所求的平方根，并设是所求的平方根，并设 是这是这根的首次近似；由方程根的首次近似；由方程 求出第二求出第二次近似次近似
6、 ，若，若 偏小，则偏小，则 偏大，反之偏大，反之亦然。取算术平均数亦然。取算术平均数 为下为下一步近似，因为一步近似，因为 总是偏大，再下一步近总是偏大，再下一步近似似 必偏小必偏小, ,取算术平均取算术平均 将得到更好的结果。这一程序实际上可以将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去无限继续下去. .在耶鲁大学收藏的一块数学泥板（编号在耶鲁大学收藏的一块数学泥板（编号72897289）其上载有）其上载有 的近似值，结果准确到的近似值，结果准确到六十进制三位小数，用现代的符号写出来六十进制三位小数，用现代的符号写出来是：是：1;24,51,101.414213，它相当于按上述，它相当
7、于按上述程序取程序取 =1;30而取得的近似值而取得的近似值 . .在平方表中给出了一些很好的近似值在平方表中给出了一些很好的近似值. .如：如： （真值为（真值为1.414） （真值为（真值为0.7071） 将其平方后，其结果总比原数大到了希腊将其平方后，其结果总比原数大到了希腊时期，著名数学家阿基米德时期，著名数学家阿基米德( (Archimedes) )、海伦海伦( (Heron) )创造出了平方后比原数小的近似创造出了平方后比原数小的近似公式公式3 3、古巴比伦的代数、古巴比伦的代数algebra知识：知识：-2000-2000年，古巴比伦人已能使用代表抽象概念年，古巴比伦人已能使用代
8、表抽象概念的代数语言的代数语言, ,常常用常常用“长长length”,“宽宽breadth”，“面积面积area”来代表未知数与它们的乘法等来代表未知数与它们的乘法等. .（1 1）已会解含有两个未知数的二次方程）已会解含有两个未知数的二次方程 例：例：“给定矩形的周长和面积给定矩形的周长和面积, ,试求边长试求边长.”.”相当于求解方程组相当于求解方程组在在赛赛凯凯莱莱( (Senkereh) )出出土土的的古古巴巴比比伦伦( (汉汉穆穆拉拉比比王王朝朝时时期期) )的的原原典典AO8862，记记载载着着很很多多的的数数学学问问题题 （2 2）早期巴比伦代数中的一个基本问题：）早期巴比伦代数
9、中的一个基本问题：“求一个数，使它和它的倒数之和等于一个求一个数，使它和它的倒数之和等于一个给定的数。给定的数。” ” 即即 解为解为和和（3 3）求解一些高次方程：）求解一些高次方程： 例：例：“我把长乘宽的面积我把长乘宽的面积1010，我把长自，我把长自乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再把乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以这个结果乘以9 9，这个面积等于长自乘的面，这个面积等于长自乘的面积，问长和宽各是多少？积，问长和宽各是多少？” 若设长为若设长为 ，宽为，宽为 ，则，则 （4）指数方程指数方程求复利问题求复利问题 例：例：“有一笔钱，利息为每年有一笔钱，利息为每年20%，
10、问经问经过多长时间以后利息与本金相等？过多长时间以后利息与本金相等？” ” 解得解得 （5）哥伦比亚大学的普林顿第哥伦比亚大学的普林顿第322号泥板号泥板Princeton 322th tablets毕达哥拉斯数毕达哥拉斯数泥板长泥板长12.7cm，宽，宽8.8cm，约，约-1600年以前年以前普林斯顿普林斯顿322322号包括基本上完整的三列数字。左号包括基本上完整的三列数字。左边还应有第四列数，但已佚失。边还应有第四列数，但已佚失。最右列表示行数，两列中的对应数字（除最右列表示行数，两列中的对应数字（除四个例外）正好构成一个边长为正整数的四个例外）正好构成一个边长为正整数的直角三角形的斜边
11、和一个直角边。直角三角形的斜边和一个直角边。现在我们已经证明了所有的素毕氏三数现在我们已经证明了所有的素毕氏三数能用下列参数表达式表达：能用下列参数表达式表达： 现在我们补充所佚失的第四列，并列出这现在我们补充所佚失的第四列，并列出这些毕氏三数的参数值些毕氏三数的参数值u和和v，便得到了下图。，便得到了下图。 对此数学泥板的解释工作目前还在继续进对此数学泥板的解释工作目前还在继续进行，今后也许还会有新的发现。行，今后也许还会有新的发现。除第除第1111行和行和1515行外，都是素毕氏三数行外，都是素毕氏三数4 4、古巴比伦的几何知识：、古巴比伦的几何知识：主要成就：主要成就：-2000到到-1
12、600 年，长方形，直年，长方形，直角三角形，等腰三角形及梯形的面积计算，角三角形，等腰三角形及梯形的面积计算，长方体，直棱柱等简单立方体的体积，圆长方体，直棱柱等简单立方体的体积，圆的周长，面积。的周长，面积。=3.125总结：如上所述，古巴比伦数学具有算术总结：如上所述，古巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法，这同古希腊的数学形成鲜明的一种方法，这同古希腊的数学形成鲜明的对照。对照。结束语：结束语：总的来说，古巴比伦数学主要是解决各类总的来说，古巴比伦数学主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法的积具体问题的实用知识，处于
13、原始算法的积累时期。累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。巴比伦泥板中所汇集的各种几何图形的计巴比伦泥板中所汇集的各种几何图形的计算法则，本质上还属于算术的应用。算法则，本质上还属于算术的应用。向理论数学的过渡向理论数学的过渡“海洋文明海洋文明”，带，带来了初等数学的第一个黄金时代来了初等数学的第一个黄金时代以论以论证几何为主的希腊数学时代。证几何为主的希腊数学时代。空中花园空中花园-600-600年年, ,尼布甲尼撒二世为米底亚公主所建尼布甲尼撒二世为米底亚公主所建传说中的空中花园现在早已湮没无踪。据传说中的空中花园现在早已湮没无踪。据史料记载，
14、它是一座依次向上递减的平台史料记载，它是一座依次向上递减的平台式建筑，高达式建筑，高达110 110 米，每层之间有巨大的米，每层之间有巨大的廊柱支撑，廊柱支撑， 平台顶部先铺上用沥青粘合的平台顶部先铺上用沥青粘合的芦苇，再在其上砌以烧砖，最后铺上泥土，芦苇，再在其上砌以烧砖，最后铺上泥土，种植各种花草树木。人们还用巧妙的机械种植各种花草树木。人们还用巧妙的机械从幼发拉底河中将水抽到空中。这些水不从幼发拉底河中将水抽到空中。这些水不仅用于灌溉，还形成了溪流、瀑布等水景，仅用于灌溉，还形成了溪流、瀑布等水景，可见规模之大。可见规模之大。 古巴比伦空中花园古巴比伦空中花园古巴比伦空中花园古巴比伦空
15、中花园古巴比伦空中花园古巴比伦空中花园世界八大建筑奇迹世界八大建筑奇迹1.1.中国，万里长城中国，万里长城 2.2.约旦，佩特拉古城约旦，佩特拉古城 3.3.巴西里约热内卢，基督像巴西里约热内卢，基督像 4.4.秘鲁，马丘比丘秘鲁，马丘比丘 5.5.墨西哥犹卡坦，奇琴伊察金字塔墨西哥犹卡坦，奇琴伊察金字塔 6.6.意大利罗马，罗马竞技场意大利罗马，罗马竞技场 7.7.印度，泰姬陵印度，泰姬陵 8.8.埃及，吉萨金字塔埃及，吉萨金字塔汉穆拉比法典汉穆拉比法典汉穆拉比法典汉穆拉比法典是目前所知的世界上第一是目前所知的世界上第一部比较完整的成文法典。法典竭力维护不平部比较完整的成文法典。法典竭力维护
16、不平等的社会等级制度和奴隶主贵族的利益，比等的社会等级制度和奴隶主贵族的利益，比较全面地反映了古巴比伦社会的情况。法典较全面地反映了古巴比伦社会的情况。法典分为序言、正文和结语三部分。正文共有分为序言、正文和结语三部分。正文共有282282条，内容包括诉讼程序、保护私产、租佃、条，内容包括诉讼程序、保护私产、租佃、债务、高利贷和婚姻家庭等。债务、高利贷和婚姻家庭等。汉谟拉比法典汉谟拉比法典（英文名称：（英文名称：The Code of The Code of HammurabiHammurabi）；它刻在一根高）；它刻在一根高2.252.25米，上周长米，上周长1.651.65米，底部周长米，
17、底部周长1.901.90米的黑色玄武岩柱上，米的黑色玄武岩柱上，共共35003500行，正文有行，正文有282282条内容，用阿卡德语写条内容，用阿卡德语写成。是汉谟拉比为了向神明显示自己的功绩成。是汉谟拉比为了向神明显示自己的功绩而纂集的。而纂集的。 汉谟拉比法典的石碑汉谟拉比法典的石碑三、古印度的数学三、古印度的数学印度河和恒河印度河和恒河 古印度是指现在除尼泊尔等国之外的全古印度是指现在除尼泊尔等国之外的全部南亚次大陆（我国古称部南亚次大陆（我国古称“天竺天竺”）. . 约约-2500-2500年至年至-1500-1500年之间，印度的城市年之间，印度的城市文化即已达到相当高的水平文化即
18、已达到相当高的水平. . 约约-1000-1000年初，开始出现了奴隶制国家年初，开始出现了奴隶制国家 到了孔雀王朝（到了孔雀王朝（-324-324-185-185）的阿育王）的阿育王时代基本上建成了印度历史上第一个统一的时代基本上建成了印度历史上第一个统一的帝国帝国. .1. 1. 书写材料：树皮或树叶书写材料：树皮或树叶2. 2. 印度数学与宗教印度数学与宗教3.3.3世纪，有了数字符号世纪，有了数字符号600年，十进制和年，十进制和“0”的出现和使用的出现和使用k0=0，k-0=k，k/0为无穷量为无穷量最早关于无最早关于无穷量的认识。穷量的认识。 零号零号“0” ” 是印度人的发明的吗
19、？是印度人的发明的吗？4.4.6世纪世纪， 5.5.公元二世纪到十二世纪，明确了负数及其公元二世纪到十二世纪，明确了负数及其四则运算，并指出负数没有平方根四则运算，并指出负数没有平方根6.6.婆罗门笈多婆罗门笈多Brahmagupta的四边形面积公式的四边形面积公式7.7.创造了现代的十进位位值制，最早的刻板创造了现代的十进位位值制，最早的刻板记录见于公元记录见于公元595595年，但比我国约晚两千年年，但比我国约晚两千年8.8.由几何计算导致了一些求解一、二次代数由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度人用算术方法给出了求解方程问题，印度人用算术方法给出了求解公式。公式。印度数学的全盛时期：印度数学的全盛时期： 5 51212世纪之间，世纪之间，印度数学家的著作主要是天文学和算术，印度数学家的著作主要是天文学和算术，代数方面的，有时也涉及到度量术和三角代数方面的，有时也涉及到度量术和三角学。十二世纪后，印度数学开始停滞。学。十二世纪后，印度数学开始停滞。Brahmagupta,598-670
