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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第十二讲第十二讲第十二讲第十二讲 函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能
2、较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第七、八节 函数的连续性及其性质一、一、连续函数的概念二. 函数的间断点三.连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义 (极限形式) 可减弱：x0 为聚点 函数的
3、连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.定义定义定义定义是整个邻域函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.又且 y = x 2 在 U(0) 内有定义,例1解 函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用 语言描述它.2.连续性的 语言形式设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. , 若 , 当 | x x0 | 时, 有则称函数 f (x) 在点 x0
4、 处是连续的.| f (x) f (x0) | 0,sgn x|x=0=sgn 0 = 0故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.0,x = 0,1,x 1, 但由于例4解5.函数在区间上的连续性设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为f (x)C( (a, b) ).定义定义定义定义若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记
5、为f (x)C( a, b ).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义定义定义定义一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I上连续, 则记为 f (x) C( I ) .例5介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、 赫尔德(hlder)连续性.例例二. 函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(1) f (x) 在 x0 处无定义.1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x)
6、若函数 f (x) 在内有定义, 且在点 x0 处在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：定义定义定义定义求函数间断点的途径:(1) f (x)在 x0 处无定义, 但 f (x) 在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在, 但不相等.(4)但 a f (x0 ).2.函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f (x) 的第一类间断点.则称 x0 为函数定义定义定义定义讨论函数 f (x)=x +1 x 0sinx x 0在 x = 0 处的连续性.yxO1
7、y = sinxyx+1 由图可知, 函数在 点 x0 处间断.例6故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. 将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.解讨论函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点. x =1 为函数的间断点.yxO11P(1,2)y x + 1 进一步分析该间断点的特点.例7解补充定义则函数 f *(x) 在 x =1 连续.f * (x) =2 x = 1 即定义分析这种间断点称为可去间断点.处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义
8、f * (x) =, x = x0 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义(2) 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义定义定义定义即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数xyO在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例8解在 x = 0 处无定义,又不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形.例9解O11xy 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少
9、有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡三.连续函数的运算 及其基本性质 回忆函数极限的四则运算回忆函数极限的四则运算则回忆函数极限的四则运算回忆函数极限的四则运算则现在怎么说?1.连续函数的四则运算 设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 则即(1) 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 (2) 在点 x0 处连续的函数. 即(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即2.几个重要定理 这些定理与极限中的定理类似xy
10、y = f (x)y = | f (x) |O若 f (x) 在区间 I 上连续, 则 | f (x) | 仍在 I 上连续.定理定理定理定理 1 1 x0I , 由 f (x) 在 x0 的连续性: , 当| x x0 | 时, 有| f ( x) f (x0) | 此时, 由绝对值不等式得 | | f (x) | | f (x0)| | | f (x) f (x0) | 0, (或 f (x0) 0, 使当 xU(x0, )时, 有 f (x) 0 (或 f (x) 0, 使当 xU(x0 , ) 时, 有若 f (x0) 0, 推论推论反函数的连续性 y = f 1(x) 的图形只是 y
11、 = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x = f 1(y) 与 y = f (x)的图形相同,连续性保持. 从而, 单调性、设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加(减少) 且连续, 则其反函数在相应的区间 I* = y | y = f (x) , xI 上严格单调增加 (减少) 且连续.定理定理定理定理 3 3(反函数连续性定理)xy11Oxy11O例11讨论复合函数的连续性如果 y = f (u) 在 u0 处连续,则 , 当 | u u0| 时, 有 | f (u) f (u0) | 再假设 u = (x) ,
12、 且在 x0 处连续, 即亦即| u u0 | = | (x) (x0) | 故 对上面的 , , 当 | x x0| 时, 有则 , 当 | x x0| 时, | u u0 | = | (x) (x0) | 且有（假设可以构成复合函数）| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | 0. 时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0(3)(2)(1)例15四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续. 注意两者的区别！求 连续性给极限运算带来很大方便.例16解注意夹逼定理例17解解由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,夹逼定理所以在其上是连续的.例18解处连续即可. 即应有解此方程组得所求:谢谢观看！
