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1、第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准一、问题的提出一、问题的提出二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性五、小结五、小结一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用用不同的估计方法求出的估计量可能不相同不同的估计方法求出的估计量可能不相同, 而而且且, 很明显很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量参数的估计量.问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标
2、准下面介绍几个常用标准. 估计量是随机变量，对于不同的样本值估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准这就导致无偏性这个标准 . 1.1 无偏性无偏性则称则称 为为 的无偏估计的无偏估计 .设设是未知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若真值真值 我们不可能要求每一次由样本得到的我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相
3、等计值的期望与真值相等.定义的合理性注注: 例例如如，用用样样本本均均值值作作为为总总体体均均值值的的估估计计时时，虽虽无无法法说说明明一一次次估估计计所所产产生生的的偏偏差差，但但这这种种偏偏差差随随机机地地在在0的的周周围围波波动动，对对同同一一统统计问题大量重复使用不会产生系统偏差计问题大量重复使用不会产生系统偏差 .无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .证证例例1特别的特别的:不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,证证
4、例例2(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).证证例例3证明证明例例4 由以上两例可知由以上两例可知,一个参数可以有不同的无一个参数可以有不同的无偏估计量偏估计量.分析分析例例5 5 设总体设总体X的方差的方差D(X)存在，且存在，且 D(X) 0,(X1, X2 , , Xn ) 为来自总体为来自总体X的样本，试选择适的样本，试选择适当的常数当的常数C，使得使得为为D(X)的无偏估计的无偏估计.需选择需选择C，使使而而X1, X2 , , Xn 相互独立，且与相互独立，且与X 同分布同分布解解依题意，要求：依题意，要求：注一般地，一个参数一般地，一个参数 的无偏估计量的无偏估计量不唯一不唯
5、一.如：设样本如：设样本(X1, X2 , , Xn ) 来自总体来自总体X，E(X)= ,也均是也均是 的无偏估计的无偏估计.问题：问题：对于同一个参数的多个无偏估计量，对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？如何评价它们的优劣？所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了这就引进了有效性这一概念有效性这一概念 .的大小来决定二者的大小来决定二者和和一个参数往往有不止一个无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计, 若若 和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，比较比较我们可以我们可以谁更优谁更优 .由于由于1.2 有效性有效性D( ) D( )则称则
6、称 较较 有效有效 .都是参数都是参数 的无偏估计量，若有的无偏估计量，若有设设和和.真值真值真值真值.蓝色是采用估计量蓝色是采用估计量 ，14组样本得到的组样本得到的14个估计值个估计值.红色是采用估计量红色是采用估计量 ，14组样本得到的组样本得到的14个估计值个估计值.真值真值例例6来自总体来自总体X的样本，问：下列三个对的样本，问：下列三个对 的无偏估的无偏估计量哪一个最有效？计量哪一个最有效？解解注注 一般地，在一般地，在 的的无偏估计量无偏估计量可用求条件可用求条件极值的拉格极值的拉格朗日乘数法朗日乘数法证明证明证明证明例例71.3 一致性（相合性）一致性（相合性）例如例如 一致性
7、估计量仅在样本容量一致性估计量仅在样本容量 n 足够大足够大时时,才显示其优越性才显示其优越性.证明证明 由切比雪夫大数定律知由切比雪夫大数定律知, 例例8由大数定律知由大数定律知, 通过此例题通过此例题,我们看到我们看到,要证明一个估计量要证明一个估计量具有相合性具有相合性,必须证明它依概率收敛必须证明它依概率收敛,这有时很这有时很麻烦麻烦.因此因此,我们下面我们不加证明的给出一个我们下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理相合性的判定定理.五、小结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性一致性是对估计量的一个基本要求一致性是对估计量的一个基本要求, 不具备不具备一一致性的估计量是不予以考虑的致性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条在一定条件下也具有一致性件下也具有一致性. 估计量的一致性只有当样本估计量的一致性只有当样本容量相当大时容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性, 这在实际中这在实际中往往难以做到往往难以做到,因此因此,在工程中往往使用无偏性在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准和有效性这两个标准.
