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1、选修选修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程1、2班班1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时飞行员应如何确定投放时机呢？机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点xy500o1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架
2、救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时飞行员应如何确定投放时机呢？机呢？(x,y)（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参数简称参数. 相对于参
3、数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果
4、曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。 一架救援飞机以一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离灾在离灾区指定目标区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重重力加速力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到（
5、精确到1m）变式变式:训练11、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、B( )C 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.解解:(1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 代入第二个方程得代入第二个方程得: 训练2：小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平
6、面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 （2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。选修选修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程信宜第二中学信宜第二中学 高二数学高二数学1、2班班yxorM(x,y)圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有
7、不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。例、例、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+
8、y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1， 参数方程为参数方程为(为参数为参数)例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ选修选修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程信宜第二中学信宜第二中学 高二数学高二数学1、2班班（1 1）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加
9、减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保的取值范围保持一致。持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？表示什么曲线？练习、练习、将下列参数方程化为
10、普通方程：将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。例、例、求参数方程求参数方程表示表示（ ）（A）双曲线的一支）双曲线的一支, 这支过点（这支过点（1,1/2）：）：（B）抛物线的一部分）抛物线的一部分, 这部分过（这部分过（1,1/2）：）：（C）双曲线的一支）双曲线的一支, 这支过点（这支过点（1, 1/2)（D）抛物线的一部分）抛物线的一部分, 这
11、部分过（这部分过（1,1/2)B小结小结: : 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：见方法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消然后代入消 去参数去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征, ,从从 整体上消去。整体上消去。化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中注：在消参过程中注意意变量变量x x、y y取值范围
12、的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取，必须根据参数的取值范围，确定值范围，确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（2 2）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为参数）参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化可以化为参数方程参数方程 （为参数）例例3 3 思考：为什么思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数
13、方程？的参数方程？x,yx,y范范围与与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范的范围相同，相同，代入代入y=xy=x2 2后后满足足该方程，从而方程，从而D D是曲是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .2 2、曲、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在在y=xy=x2 2中，中，xR, y0xR, y0，分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,yx,y的范围都的范围都而在中，且以练习练习: :普通方程参数方程引入参数消去参数小结小结
